高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价专题突破练一含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价专题突破练一含答案专题突破练一(时间:45分钟分值:55分)1.(5分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=2,AD=3,∠BAD=90°.若P为线段AB上一动点,则·的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.7【解析】选C.以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(2,3),D(0,3),设P(x,0),其中0≤x≤3,则=(x-2,-3),=(x,-3),所以·=x(x-2)+3=x2-2x+3=(x-1)2+2,当x=3时,·有最大值6.2.(5分)若单位向量e1,e2的夹角为120°,则当|e1-λe2|(λ∈R)取得最小值时,λ的值为()A.-2 B.-1 C.-12 D.【解析】选C.由题意知e1·e2=cos120°=-12,因为|e1-λe2|2=λ2+λ+1,所以当λ=-1【补偿训练】设0≤θ<2π,已知两个向量=(cosθ,sinθ),=(2+sinθ,2-cosθ),则向量的长度的最大值是()A.2 B.3 C.32 D.23【解析】选C.因为=-=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ),所以||=(=10-因为0≤θ<2π,所以-1≤cosθ≤1,所以2≤10-8cosθ当cosθ=-1时,||有最大值32.3.(5分)(2024·合肥高一检测)设θ为两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|a+tb|的最小值为1,则()A.若θ确定,则|a|唯一确定B.若θ确定,则|b|唯一确定C.若|a|确定,则θ唯一确定D.若|b|确定,则θ唯一确定【解析】选A.如图,记=a,=b,=tb,则=a+tb,则当b⊥(a+tb)时,|a+tb|取得最小值1,若θ确定,则|a|唯一,|b|不确定,若|a|确定,θ可能有两解(图中=a或=a),若|b|确定,则a不确定,从而θ也不确定.4.(5分)已知平面向量a,b满足|a|=2,a与a-b的夹角为120°,记m=ta+(1-t)b(t∈R),则|m|的取值范围为()A.[3,+∞) B.[2,+∞)C.[1,+∞) D.12,+∞【解析】选A.设a=,b=,如图所示:则a-b=-=,因为a与a-b的夹角为120°,所以∠OAB=120°,∠OAC=60°,因为m=ta+(1-t)b(t∈R),且t+1-t=1,m,a,b的起点相同,所以其终点共线,即在直线AB上,所以当m⊥时,|m|最小,最小值为3,无最大值,所以|m|的取值范围为[3,+∞).5.(5分)(2023·长春高一检测)如图,扇形AOB中,点C是AB上一点,且∠AOB=3π4.若=x+y,则x+2y的最大值为()A.10 B.3 C.2 D.1【解析】选A.由题意,建立如图所示的坐标系,设扇形半径为2a,由∠AOB=3π4可得A(-2a,2a),B(2a,0),设C(2acosθ,2asinθ),θ∈0,3π4,由=x+y,可得(2acosθ,2asinθ)=x(-2a,2a)+y(2a,0),所以2a整理得:x=则x+2y=22sinθ+2cosθ=10sin(θ+φ),其中tanφ=12,所以当sin(θ+φx+2y有最大值10.6.(5分)(多选)在边长为2的正方形ABCD中,P,Q在正方形(含边)内,满足=x+y,则下列结论正确的是()A.若点P在BD上,则x+y=1B.x+y的取值范围为[1,2]C.若点P在BD上,则·=4D.若P,Q在线段BD上,且=2,则·的最小值为1【解析】选ACD.当点P在BD上时,因为=x+y,所以x+y=1,故A正确;因为P在边长为2的正方形ABCD(含边)内,且=x+y,所以x∈[0,1],y∈[0,1],则x+y∈[0,2],故B错误;当点P在BD上时,=x+y=x+(1-x),=+,所以·=[x+(1-x)]·(+)=x+(1-x)=4,故C正确;若P,Q在线段BD上,且=2,如图建立平面直角坐标系,设P(a,2-a),则Q(a+2,2-2-a),a∈[0,2-2],所以·=(a,2-a)·(a+2,2-2-a)=a(a+2)+(2-a)(2-2-a)=2a2-(4-22)a+4-22=2a-2-222所以当a=2-22时,·有最小值为1,故D正确7.(5分)已知正方形ABCD的边长为1,若点E是AB边上的中点,则·的值为__________,若点E是AB边上的动点,则|·|的最大值为__________.

【解析】如图分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系.则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),=(0,-1),=(1,1),若点E是AB边上的中点,则E12,0,所以=12,-1,所以·=0×12+(-1)×(-1)=1;若点E是AB边上的动点,设E(x,0)(0≤x≤1),所以=(x,-1),所以|·|=|x-1|,由0≤x≤1,可得0≤|·|≤1,所以当x=0时,|·|的最大值为1.答案:11【补偿训练】(2024·商丘高一检测)如图,菱形ABCD的边长为6,=14,=34,则·的取值范围为__________.

【解析】设∠BAD=θ,θ∈(0,π),则·=36cosθ,因为=14,=34,所以=+=+14=+14,=+=34+34=34-34,所以·=+14·34-34=34·-34+316-316·=34×36cosθ-34×36+316×36-=814cosθ-81因为θ∈(0,π),所以cosθ∈(-1,1),所以-812<814cosθ-所以·的取值范围为-812,0.答案:-812,08.(5分)已知菱形ABCD的边长为a(a>0),则||的取值范围是__________.

【解析】如图所示:易知=+,且||=||=a,<,>∈(0,π),所以||2=(+)2=a2+a2+2a2cos<,>,易知cos<,>∈(-1,1),所以||2=a2+a2+2a2cos<,>∈(0,4a2),因此||∈(0,2a).答案:(0,2a)9.(5分)(2023·深圳高一检测)图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘,已知图二中正六边形的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则·的取值范围是__________.

【解析】连接AB,OM,如图所示:·=(+)·(+)=+·+·+·=+·(+)-1=-1.根据图形可知,当点M位于正六边形各边的中点时,|MO|有最小值为3,此时-1=2,当点M位于正六边形的顶点时,|MO|有最大值为2,此时-1=3,故2≤·≤3,即·的取值范围是[2,3].答案:[2,3]10.(10分)(2024·泰安高一检测)已知a,b,c为平面向量,|a|=2,|b|=3,|c|=1,(a-c)·(b-c)=5.(1)求a·b的取值范围;(2)设a+b与a-b的夹角为β,求cosβ的最小值.【解析】(1)因为(a-c)·(b-c)=5,所以a·b-c·(a+b)+c2=5,因为|c|=1,所以a·b-c·(a+b)=4,设c与a+b的夹角为θ,θ∈[0,π],由上式可得a·b-|c|·|a+b|·cosθ=4.又|a+b|=(a+b)2所以cosθ=a·令m=a·b,a与b的夹角为α,α∈[0,π],所以m=a·b=|a|·|b|cosα=23cosα,所以-23≤m≤23.因为|cosθ|=|a·b-所以m2-10m+9≤0,解得1≤m≤9.综上可得1≤m≤23,即1≤a·b≤23;(2)因为cosβ=(=a=149所以由(1)可知:当a·b=1时,cosβ的值最小,代入,得:cosβ=149-4×所以cosβ的最小值等于515专题突破练五(时间:45分钟分值:65分)1.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法中正确的是()A.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解析】选A.对于A,若m⊥α,n⊂α,根据线面垂直的性质可得m⊥n,故正确;对于B,若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或者异面,故错误;对于C,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故错误;对于D,若m∥α,m⊥n,则n与α相交、平行或n⊂α,故错误.2.(5分)如图,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时∠B'AC=60°,则这个二面角大小是()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选D.如图,连接B'C,则△AB'C为等边三角形.由题意可知,∠B'DC为所求二面角的平面角.设AD=a,则B'C=AC=2a,B'D=DC=a,所以B'C2=B'D2+DC2,所以∠B'DC=90°.3.(5分)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=6,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,则PC=()A.6 B.26 C.10 D.210【解析】选C.因为PA=PB=6,PA⊥PB,所以AB=23,因为AB⊥BC,∠BAC=30°,所以BC=ABtan30°=2,因为平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,平面PAB∩平面ABC=AB,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以PC=PB2+4.(5分)空间四边形P-ABC的各边及对角线长度都相等,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下列四个结论中不成立的是()A.DF∥平面PBCB.AB⊥平面PDCC.平面PEF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面PBC【解析】选C.因为空间四边形P-ABC的各边及对角线长度都相等,D,E,F,G分别是AB,BC,CA,AP的中点,连接GD,GF,DF,AE,PE,DC,PD,所以BC∥DF,又DF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以DF∥平面PBC,故A正确;因为PD⊥AB,CD⊥AB,PD∩CD=D,所以AB⊥平面PDC,故B正确;因为PE⊥BC,AE⊥BC,PE∩AE=E,所以BC⊥平面PAE,因为BC⊂平面ABC,所以平面PAE⊥平面ABC,故D正确;只有C不正确.5.(5分)(多选)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE的值可能是()A.a B.32a C.2a D.5【解析】选AC.由已知,得A1B1=B1C1,又D是A1C1的中点,所以B1D⊥A1C1,又侧棱AA1⊥底面ABC,可得侧棱AA1⊥平面A1B1C1,又B1D⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥B1D,因为AA1∩A1C1=A1,所以B1D⊥平面AA1C1C,又CE⊂平面AA1C1C,所以B1D⊥CE,若CE⊥平面B1DE,则CE⊥DE.设AE=x(0<x<3a),则CE2=x2+4a2,DE2=a2+(3a-x)2,又CD2=a2+9a2=10a2,所以10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或2a.6.(5分)平行四边形ABCD中,AB>AD,将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A'BD,则下列直线中有可能与直线A'B垂直的是________(填所有符合条件的序号).

①直线BC;②直线CD;③直线BD;④直线A'C.【解析】对于①,若BC⊥BD,当平面A'BD⊥平面BCD时,BC⊥平面A'BD,则此时BC⊥A'B,故①成立;对于②,若∠ABD>45°,则在翻折的过程中,∠A'BA可超过90°,故存在∠A'BA=90°,因为AB∥CD,所以CD⊥A'B,故②成立;对于③,在△ABD中,因为AB>AD,所以∠ABD为锐角,即∠A'BD为锐角,故直线BD不可能和直线A'B垂直,故③不成立;对于④,因为AB>AD,所以在△A'BC中,A'B>BC,所以∠BA'C始终为锐角,故直线A'C不可能和直线A'B垂直,故④不成立.答案:①②7.(5分)如图,PA垂直于圆所在平面,AC为圆的直径,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC,AN⊥PB,且S,N都为垂足,请写出一个与平面ANS垂直的平面________.

【解析】因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又因为AC是直径,所以AB⊥BC,且PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,AN⊂平面PAB,所以BC⊥AN,又因为AN⊥PB,且BC∩PB=B,所以AN⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,所以AN⊥PC,又AS⊥PC,AN∩AS=A,所以PC⊥平面ANS,PC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ANS,PC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面ANS,所以与平面ANS垂直的平面是平面PAC和平面PBC.答案:PAC(或PBC)8.(10分)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为3,求P到平面ABC的距离.【解析】如图,过点P作PO⊥平面ABC于O,则PO为P到平面ABC的距离.再过O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,连接PC,PE,PF,则PE⊥AC,PF⊥BC.又PE=PF=3,所以OE=OF,所以CO为∠ACB的平分线,即∠ACO=45°.在Rt△PEC中,PC=2,PE=3,所以CE=1,所以OE=1,所以PO=PE2-OE9.(10分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,PA=PB,PC=PD.(1)证明:CD与平面PAD不垂直;(2)证明:平面PAB⊥平面ABCD.【证明】(1)若CD⊥平面PAD,则CD⊥PD,由已知PC=PD,得∠PCD=∠PDC<90°,这与CD⊥PD矛盾,所以CD与平面PAD不垂直.(2)取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF,由PA=PB,PC=PD,得PE⊥AB,PF⊥CD,所以EF为直角梯形的中位线,所以EF⊥CD,又PF∩EF=F,所以CD⊥平面PEF,由PE⊂平面PEF,得CD⊥PE,又因为AB⊥PE且梯形两腰AB,CD必交,所以PE