高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第十章　10.1　10.1.4　概率的基本性质含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第十章10.110.1.4概率的基本性质含答案10.1.4概率的基本性质【学习目标】【素养达成】1.理解概率的基本性质.数学抽象2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题的方法.数学运算概率的基本性质性质1对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).推广如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性质4如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).【教材深化】利用互斥事件求概率的关注点(1)将一个事件拆分为若干个互斥事件,分别求出各事件的概率,然后用加法公式计算结果.(2)在运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件,做到不重不漏.【教材挖掘】(P243思考)问题:一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗?如果不相等,请你说明原因,并思考如何计算P(R1∪R2).提示:P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,所以P(R1)+P(R2)=612+612=1,P(R1∪R2)=1012,而P(R1∩R2因此P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2).【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).(×)提示:不一定,只有A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.(2)对于互斥事件A与B,一定有P(A)+P(B)=1.(×)提示:只有两事件A与B对立,才有P(A)+P(B)=1.(3)若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件.(×)提示:P(A)+P(B)=1,事件A和事件B可以对立也可以不对立.类型一概率性质的直接应用(数学运算)【典例1】(1)(2024·安庆高一检测)下列说法正确的是()A.若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)B.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1C.若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1D.若A⊆B,则P(A)<P(B)【解析】选C.对于A,当A,B为互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),所以A错误;对于B,当事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,所以B错误;对于C,当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,所以C正确;对于D,由概率的性质可知,若A⊆B,则P(A)≤P(B),所以D错误.(2)(2024·沈阳高一检测)抛掷一枚质地均匀的六面骰子,记事件A=“向上的点数为1或4”,事件B=“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是()A.A与B互斥 B.A与B对立C.P(A+B)=23 D.P(A+B)=【解析】选C.当向上的点数为1时,A,B同时发生,则A与B不互斥,也不对立.因为P(A)=26=13,P(B)=36=12,P(AB)=16,所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB【备选例题】(2024·阜阳高一检测)下列说法正确的是()A.事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件B.互斥事件一定是对立事件C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1D.若A∩B为不可能事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)【解析】选D.对于A选项,例如在编号为1,2,3,4,5的小球中任取一球,定义事件A:所取小球的编号不小于3,定义事件B:所取小球的编号不小于4,则B⊆A,且P(A)+P(B)=35+2对于B选项,互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件,B错;对于C选项,若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=P(A∪B∪C)≤1,C错;对于D选项,若A∩B为不可能事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B),D对.【总结升华】关于概率性质的直接应用(1)明确各个事件的概率,若涉及对立事件,则利用性质4求出对立事件的概率;(2)判断事件的关系,选择P(A∪B)=P(A)+P(B)、P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)等性质解题.【即学即练】(多选)(2024·合肥高一检测)若事件A,B为互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,则以下结论正确的是()A.P(AB)=0B.P(AB)=[1-P(A)]P(B)C.P(A+B)=1D.P(A+B)=P(A)+P(B)【解析】选AC.对于A,因为事件A,B为互斥事件,所以A∩B=⌀,所以P(AB)=0;对于B,因为事件A,B为互斥事件,所以B⊆A,所以P(AB)=P(B);对于C,P(A+B)=1-P(AB)=1-0=1;对于D,由A,B互斥知P(AB)≠0,即事件A,B不互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).【补偿训练】若A,B为互斥事件,则()A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1【解析】选D.因为A,B为互斥事件,所以A∪B是随机事件或必然事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1,当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1.类型二互斥事件的概率(数学运算、逻辑推理)【典例2】(2024·泰州高一检测)在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如表:年最高水位(单位:m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18]概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内,这条河流这一处的年最高水位(单位:m)在下列范围内的概率:(1)[10,16);(2)[8,12);(3)[14,18].【解析】记这条河流这一处的年最高水位(单位:m)在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18]内分别为事件A,B,C,D,E,且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38.(3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.所以这条河流这一处的年最高水位(单位:m)在[10,16),[8,12),[14,18]内的概率分别为0.82,0.38,0.24.【即学即练】(2024·承德高一检测)从一副混合后的扑克牌(不含大小王)中,随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”,则P(A∪B)=()A.726 B.1126 C.1526 【解析】选A.一副混合后的扑克牌(不含大小王)共有52张,则事件A的概率为P(A)=152.一副扑克牌有13张黑桃,则事件B的概率为P(B)=1352=14,又因为事件A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=152+【补偿训练】一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出的1球是红球或黑球的概率;(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.【解析】记事件A1=“取出的1球为红球”,A2=“取出的1球为黑球”,A3=“取出的1球为白球”,A4=“取出的1球为绿球”,则P(A1)=512,P(A2)=13,P(A3)=16,P(A4)=112.根据题意,可知事件A1,A2,A3(1)取出的1球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=512+13=(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+13+16类型三对立事件的概率(数学运算)【典例3】一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.【解析】先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,这16个结果出现的可能性是相等的.又满足条件n≥m+2的有(1,3),(1,4),(2,4),共3个.所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=316故满足条件n<m+2的事件的概率为1-P1=1-316=13【总结升华】利用对立事件的概率公式解题的思路(1)当对立事件A,B中一个事件的概率易求,另一个事件的概率不易求时,直接计算符合条件的概率较烦琐,可以先间接地求出其对立事件的概率,再由公式P(A)+P(B)=1求得符合条件的事件的概率.(2)应用对立事件的概率公式时,一定要分清事件和其对立事件到底是什么.该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解.【补偿训练】1.(教材P243例11)甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为1(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率.【解析】(1)“甲获胜”和“和棋”或“乙获胜”是对立事件,所以“甲获胜”的概率P=1-12-13=(2)方法一:设事件A为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋”这两个是互斥事件,所以P(A)=16+12=方法二:设事件A为“甲不输”,是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)=1-13=2即甲不输的概率是232.甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2,已知1P1,1P2是方程x2-5x+6=0的根,且P1满足方程x2-x+14=0.答案:12【解析】由P1满足方程x2-x+14=0知,P12-P1+14=0,解得P1=12;因为1P1,1P2是方程x2-5x+6=0的根,所以1P1·1P2=6,解得P10.2事件的相互独立性(1)【学习目标】【素养达成】1.结合有限样本空间,了解两个事件相互独立的概念.数学抽象2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.数学运算事件的相互独立性1.相互独立事件的概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.2.相互独立事件的性质:(1)如果事件A与事件B相互独立,那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.(2)一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积.【教材挖掘】(P249,P250探究)问题1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现?提示:用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率公式,得P(A)=P(B)=12,P(AB)=14.于是P(AB)=P(A)P(B问题2:互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B相互独立,那么它们的对立事件是否也相互独立?以课本试验2有放回摸球试验为例,分别验证A与B,A与B,A与B是否独立,你有什么发现?提示:对于A与B,因为A=AB∪AB,而且AB与AB互斥,所以P(A)=P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(AB),所以P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B).由事件的独立性定义,A与B相互独立.类似地,可以证明事件A与B,A与B也都相互独立.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.(√)提示:不可能事件,总不会发生,也不受任何事件是否发生的影响.当然,它也不影响其他事件是否发生.(2)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.(√)提示:根据相互独立事件的定义,可知正确.(3)若两个事件互斥,则这两个事件相互独立.(×)提示:互斥事件是两个事件不能同时发生,而相互独立事件是两个事件的发生彼此互不影响,所以两事件互斥,它们一定不独立.类型一相互独立事件的判断(数学抽象)【典例1】(1)判断下列各对事件是不是相互独立事件.①一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内,再从筐内任意取出1个,取出的是梨”;②一个布袋里有大小完全相同的3个白球,2个红球,“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回,再从中任意取1个球是红球”.【解析】①由于把取出的水果放回筐内,故“从中任意取出1个,取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个,取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响,所以二者是相互独立事件;②不放回地取球,前者的发生影响后者发生的概率,所以二者不是相互独立事件.(2)(多选)(2024·怀化高一检测)抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第1枚正面向上”,事件B=“第2枚反面向上”,事件C=“恰有1枚正面向上”,事件D=“两枚都正面向上”,则()A.A与B相互独立 B.A与C相互独立C.A与D相互独立 D.B与D互斥【解析】选ABD.第1枚正面向上和第2枚反面向上互不影响,所以事件A和B相互独立,A正确.m,M分别表示第1枚正面向下、向上,n,N分别表示第2枚正面向下、向上,抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空间为{(m,n),(m,N),(M,n),(M,N)},共包含4个样本点,A={(M,n),(M,N)},B={(m,n),(M,n)},C={(m,N),(M,n)},D={(M,N)},所B与D互斥,D正确.P(A)=P(C)=12,P(D)=14,P(AC)=P(AD)=14,故P(AC)=P(A)P(C),P(AD)≠P(A)P(【备选例题】(多选)下列各对事件中,为相互独立事件的是()A.掷一枚骰子一次,事件M=“出现偶数点”,事件N=“出现3点或6点”B.袋中有3个白球、2个黑球,从中依次有放回地摸2个球,事件M=“第一次摸到白球”,事件N=“第二次摸到白球”C.袋中有3个白球、2个黑球,从中依次不放回地摸2个球,事件M=“第一次摸到白球”,事件N=“第二次摸到黑球”D.甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M=“从甲组中选出1名男生”,事件N=“从乙组中选出1名女生”【解析】选ABD.在A中,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},M={2,4,6},N={3,6},MN={6},所以P(M)=36=12,P(N)=26=13,P(则P(MN)=P(M)P(N),故事件M与N是相互独立事件.在B中,根据有放回抽样的特点易知,事件M是否发生对事件N的发生没有影响,故M与N是相互独立事件.在C中,由于第一次摸到球不放回,因此会对第二次摸到球的概率产生影响,故M与N不是相互独立事件.在D中,从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生相互之间没有影响,所以M与N是相互独立事件.【总结升华】判断两个事件是否相互独立的方法(1)定量法:利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立.(2)定性法:直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响,若没有影响就是相互独立事件.【即学即练】(教材P251例1改编)分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号)

①A,B;②A,C;③B,C.答案:①②③【解析】根据事件相互独立性的定义判断,只要P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式计算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.【补偿训练】一个不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为红、黄、蓝的3个球.(1)从口袋内有放回地抽取2个球,记事件A=“第一次抽到红球”,B=“第二次抽到黄球”;(2)从口袋内无放回地抽取2个球,记事件A=“第一次抽到红球”,B=“第二次抽到黄球”.试分别判断(1)(2)中的事件A,B是否为相互独立事件.【解析】(1)有放回地抽取小球,事件A是否发生对事件B是否发生没有影响,它们是相互独立事件.(2)无放回地抽取小球,记红、黄、蓝球的号码分别为1,2,3,则样本空间Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},共包含6个样本点,A={(1,2),(1,3)},B={(1,2),(3,2)}.因为P(A)=26=13,P(B)=26=13,P(所以P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不是相互独立事件.类型二相互独立事件的性质(数学抽象、逻辑推理)【典例2】(多选)设M,N为两个随机事件,给出以下命题正确的是()A.若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则MB.若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则MC.若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则MD.若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=56,则M【解析】选ABD.若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则P(MN)=P(M)P则M,N为相互独立事件,故A正确;若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=则P(M)=1-P(M)=12,P(MN)=P(M)P(N则M,N为相互独立事件,故B正确;若P(M)=12,P(N)=1则P(N)=1-P(N)=23,P(MN)=12×23=13≠16若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=则P(MN)=1-P(MN)=16=P(