第十二节导数同构问题总结讲义-高二下学期数学人教A版选择性（答案详解）

第十二节专题:导数的同构问题重点题型专练【1】1解析:∵x1<x由题意可得:lnx1−lnx∴fx=lnx−x在m,+∞上单调递减,则f′x=1x−1≤0在m,+∞上恒成立,即故答案为:1.【2】[解析:令gx=fx−所以fx1−4x易得gx不是常数函数,所以gx在0故g′x=ax+1即a≥−1x2+4令ℎx=−1x2所以ℎxmax=ℎ即a的取值范围为[4,+∞).故答案为:【3】[e,+∞)解析:由题意m>令fx=lnxx所以当x∈0,e时,f′x所以fx在(0,e)上单调递增,在e,+∞因为x1由题意当x1,x2∈m,+∞且x1<x所以fx在m,+∞上单调递减,故所以实数m的取值范围是[e,+∞).故答案为:[e,+∞).【4】C解析:依题意,x1令fx则对任意的x1,x2∈(1,3],当x1<x2因此,∀x∈(1,3],f′x所以实数a的取值范围是[9,+∞).【5】B解析:不妨设1≤由x1lnx2−即x1lnx2+a<x2lnx1+a,两边同时除以x1x2,得lnxf′x=1−ln所以a≥1−lnx,x∈1,e上恒成立,函数y=1−lnx在区间1【6】B解析:因为x1<x2,即lnx令fx=lnx+2x,则上式等价于根据题意,fx在m,+∞又f′x=−lnx−1x2,令f′1e,+∞,要满足题意,只需m≥1e,即m的最小值为【7】A解析:由题意可知,不等式e2x1e2两边取对数得lne2x1x则2x设gx=2x−mlnx,由题意可知,函数g′x=2−mx≥0,在区间1所以m≤2.【8】(1)x解析:(1)由题意知f则曲线y=fx在x=(2)不妨设x1则f⇒则设gx=fx−mx2=2x则g′x则2mx设ℎ则当x∈e2,+∞时,当x∈0,e2则ℎ则实数m的取值范围为−∞,−1【9】(1)[0,+∞)解析:(1)因为y=fx为故f′x=a+1所以2ax2+a+1所以a≥0a+1≥0等号不同时取到,故实数(2)不妨设x1<x2,由(1)可知函数y=fx此时,不等式fx1−fx令gx所以函数y=gx在故g′x≥0在0,+∞求导可得g因为a>所以g′当且仅当2ax=a+1x,即x【10】B解析:设ft当t>0时,f所以ft在0,+∞原不等式变形为e2x−sin2x>ey−siny,即【11】C解析:由lnx+lny=1构造函数fx=lnx+x可知fx=lnx+x结合lnx+x=ln1y+1由基本不等式可知:x+当且仅当x=y=1时等号成立,所以【12】D解析:由题意得a=设fx=lnxx当0<x<e时,f′x>0,所以fx单调递增,当x>e又e<3<4<e2,所以所以a<b<【13】C解析:构造函数fx所以fm因为y=x,y=ex,y=函数fx,gx与函数由图可知,0<又f1所以m<1,n<1.【14】C解析:构造函数fx当0<x<1时,当x>1时,fabc−因为5>4>3>1,所以而a,b,c【15】A解析:设fx=x−lnx由f′x>0⇒所以函数fx在(0,1)上递减,在1,+∞所以fx又a=e0.99−0.99再设gx=x−x由g′x>0⇒所以函数gx在1,+∞所以gx又c=1.01−1.01ln故a>b>【16】1解析:由memx≥lnx⇒mxemx≥xlnx=e且fmx≥flnx,所以mx≥lnx,即令gx=lnxx,则g′x=1−lnxx2,所以当x故gx在[1,+∞)上的最大值是1e,所以m≥1e,即实数m的最小值是【17】B解析:因为ex+x−lny而y=x+lnx为0,+∞上的增函数,故ex=ey设sx=xex当x<−1时,s′x<0,故s当x>−1时,s′x>0,故s故sxmin=【18】0解析:令fx=ex+x,则fex+x=ax+lnax,即∵正实数x0是方程ex∴fx0=flnax0,则x故答案为:0【19】a解析:fx=xex−ax+lnx=ex+lnx−ax+lnx,令t=x+lnx,t∈R,显然该函数单调递增,即et【20】B解析:构造fx则fx在R由ex+e即ex∴x∴a令gx则g′由g′x>0得由g′x<0得∴g∴a≥−1【21】3解析:fx>x3−令gx=ex+x,则g所以e2ax+2ax>e所以2ax>3lnxx令ℎx=3lnx所以在(0,e)上,ℎ′x在e,+∞上,ℎ′x所以ℎxmax=ℎe所以实数a的取值范围为32e,+∞.【22】e解析:ex因函数y=ex,y=x均在0,+∞上单调递增,则又ex+x≥e构造函数fx=x−lnxf′x>0⇒x>1;f则x−lnxmin=f1=1【23】e解析:由于klnkx−ex≤则elnkxlnkx=kx令fx=xex所以fx在0,+∞当lnkx>0时,由elnkx当lnkx≤0时,由x>0综上所述:lnkx≤x,可得kx≤e令gx=exx当0<x<1时,当x>1时,g所以gxmin=g1=e,所以0<k≤e,则k解析:由题意λ>0,不等式即2λe2λx≥lnx,进而转化为2λxe2λx≥当x>0时,g′x>0,所以g则不等式等价于g2λx≥因为λ>0,x>所以2λx≥lnx对任意x>1恒成立,即设ℎt=lntt当1<t<e时,ℎ′t>0,ℎt所以t=e时,ℎt有最大值ℎe=1e,于是故答案为:12【25】1解析:由fx≤0,即lnx−因为x≥1e,所以设gx=xlnx因为x≥1e,所以g′x≥0,所以因为xlnx≤eaxlneax,所以gx≤geax,所以x≤eax,所以lnx≤ax,所以a≥lnxx.设ℎx=lnxx,则ℎ′x=1−lnxx2.由ℎ′x<0,得x>e,则ℎx在e,+∞上单调递减;由ℎ′x<0,得0<x<e,则ℎx在(0,e)上单调递增.故ℎ即Fax≥Flnx,结合F整理得a≥lnxx在令gx=lnxx当x∈0,e时,当x∈e,+∞时,g所以gx的最大值为ge=1e所以a的取值范围是1e,+∞.故答案为:【27】log解析:log⇒即log【28】1解析:a⇒构造函数gx=ex而g′x=ex+1>令y=lnx−x,则y′=1−x对于lna+ln【29】1解析:由a⋅又x>0,所以设fx=x⋅2所以fx在0,+∞所以xx>设gx=log2x由g′xg所以gx在(0,e)上单调递增,在e,+∞所以gx因为存在正实数x,使得不等式a⋅2a≤1eln2.即a【30】B解析:由题意得,当x>0时,即ex令Fx=ex+e因为F′x=ex+e>0恒成立,故故x+lna≥lnx令ℎx则ℎ′当x∈0,1时,当x∈1,+∞时,故ℎx=lnx−x在x故lna≥−1,解得【31】(1)答案见解析(2)1解析:(1)因为fx=aex−x,定义域为当a≤0时,由于ex>0,则ae所以fx在R当a>0时,令f′x=当x<−lna时,f′x<0,则f当x>−lna时,f′x>0,则f综上:当a≤0时,fx在当a>0时,fx在−∞,−lna上单调递减,在−lna,+∞所以fx+x+lna令gx=ex+x,上述不等式等价于g∴原不等式等价于lna+x≥lnx令ℎx=lnx−x在(0,1)上ℎ′x>0,ℎx单调递增;在∴ℎlna≥−1=ln1∴a的取值范围是1【32】(1)f1.33>0.33,证明见详解(2)−∞,−1e(3)证明见详解解析:(1)设g令ℎx=fx−ℎ因为0<x<1时,lnx<x≥1时,lnx≥0所以ℎx在x=1处取最小值,所以ℎ1.33=f1.33−即f1.33(2)因为fe所以f′当x<1时,f′e−x当x≥1时,f′e−x所以fe−x在x=1若fe−x≥a恒成立,即f所以实数a的取值范围为−∞,−1(3)当x>1时,要证x−1ln即证明ex−1lne因为fx=x⋅lnx,当x所以fx在1,+∞设tx=ex−因为x>1,所以ex−1所以tx在1,+∞上单调递增,则tx>t所以fex−1>【33】(1)fx的单调增区间(0,1),单调减区间1,+∞(2)(0,e]解析:(1)当a=1时,fx=2lnx−12x2−x,x>0所以f′x=2x−x−1=−x2−x+2x=−构造函数gt=所以由2lnxa+xa≤ex+当x=1时,此不等式为0当x>1时,可得a构造函数ℎx求导可得:ℎ当x>e时,ℎ′x>0,ℎx时,ℎ′x<0所以ℎminx=ℎe=e,所以a≤【34】(1)(2e+1)x−y−e=0(2)fx在解析:(1)因为a=0,所以fx=x又f1故曲线y=fx在点1,f即2e+(2)当a=1时,所以fx=x令gx=ex−当x∈0,+∞时,g′x>e当x∈0,1时,x∈1,+∞时,故ℎx≤ℎ1=从而f′x=x+1成立,则fx在0,+∞(3)fx≥alnxxex+1≥a若a≤0,则alnxea若a>0,则alnx>0在φ′t=t+1即φt=tet+1在0,+∞则x≥alnx令Hx=xlnx当x∈1,e时,H′时,H′x>0,Hx单调递增,故综上所述,a的取值范围为(−∞,e].【35】(1)极小值为1,极大值为3ln2−1.(2)答案见解析(解析:(1)当a=2时,fx=3∴f当0<x<1或x>2时,f′x<∴fx在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,在2∴fx的极小值为f1=1(2)由题意知fx的定义域为0f当a≤0时,若0<x<1,则f′x>∴fx在(0,1)上单调递增,在1当0<a<1时,若0<x<a或x>1,则f′x<0,若a<x<1,则f′x>0,∴fx在(0,a)上单调递减,在(a,1)上单调递增,在1,+∞上单调递减;当a=1时,f′x≤0,∴fx在0,+∞上单调递减;当a>1时,若0<x<1或x>a,则f′x<0,若1<x<a,则f′x>0,∴fx在(0,1)上单调递减,在(1,a)上单调递增,在a,+∞上单调递减;综上所述,当a(3)由题知,gx∵gx恰有2个零点,∴方程1−a即方程xe−x−即e−x+ln