立体图形的直观图 课时规范训练 答案

课时规范训立体图形的直观图A基础巩固练1．(多选)(2024·武汉月考)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是()A．平行线段在直观图仍是平行线段B．相等的角在直观图仍是相等的角C．菱形的直观图是菱形D．梯形的直观图是梯形解析：AD根据题意，依次分析选项：对于A，由斜二测画法的法则，平行线段在直观图中仍然平行，A正确；对于B，如图为正方形OABC和其直观图，原图中，∠A＝∠B，但直观图中两个角不等，B错误；对于C，由B的结论，菱形OABC的直观图不是菱形，C错误；对于D，梯形的直观图是梯形，D正确．故选AD.2．水平放置的△ABC的直观图如图所示，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，则A′B′，A′D′，A′C′对应于原△ABC中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，判断正确的是()A．最短的是AD B．最短的是ACC．AB＞AC D．AD＞AC解析：A因为A′D′平行于y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，所以D是BC的中点，所以AB＝AC＞AD.故选A．3.(2024·黎川县校级期末)已知直角梯形OABC上下两底分别为2和4，高为2eq\r(2)，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为()A．6eq\r(2) B．3eq\r(2)C．3 D．6解析：C根据斜二测画法可知，y轴上的OC，在新系中在y′轴上，且OC′＝eq\f(1,2)OC＝eq\r(2)，作C′D⊥x轴于D，则C′D＝1，又C′B′＝CB，C′B′∥CB，∴SOC′B′A＝eq\f(1,2)×(2＋4)×1＝3.故选C.4.(2024·商洛期末)如图，△OAB的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，y′轴经过A′B′的中点，则AB＝()A．2eq\r(3) B．4C．4eq\r(3) D．2eq\r(6)解析：C根据题意，在直观图中，过点B′，分别作x′轴和y′轴的平行线，与x′轴和y′轴分别交于点M，N，由于△OAB的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，则O′A′＝O′B′＝2，A′B′＝2eq\r(2)，则A′的坐标为(2，0)，则MB′＝A′B′＝2eq\r(2)，B′N＝OM＝2，故原图中，B的坐标为(－2，4eq\r(2))，A的坐标为(2，0)，故AB＝eq\r(16＋32)＝4eq\r(3).故选C.5．在平面直角坐标系xOy中，O(0，0)，B(4，0)，C(0，2eq\r(2))，用斜二测画法把△OBC画在对应的x′O′y′坐标系中时，B′C′的长是________．解析：由题设知，OB＝4，OC＝2eq\r(2)，∠COB＝90°.根据斜二测画法的规则可得O′B′＝4，O′C′＝eq\f(2\r(2),2)＝eq\r(2)，∠C′O′B′＝45°.在△C′O′B′中，由余弦定理，得B′C′＝eq\r(（\r(2)）2＋42－2×\r(2)×4×\f(\r(2),2))＝eq\r(10).答案：eq\r(10)6．如图是梯形ABCD按照斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，则原梯形ABCD的面积为________．解析：如图，还原梯形，BC＝4，AB＝2，AD＝2，梯形为直角梯形，所以原梯形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6.答案：67.如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，则原图形是________，其面积为________．解析：如图，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6cm，OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm，所以OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋22)＝6(cm)，所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形．S四边形OABC＝OA×OD＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2)(cm2)．答案：菱形24eq\r(2)cm28.用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．解：(1)画x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上取点H，使O′H＝3，作HA′∥y′轴，并取A′H＝1(A′在x′轴下方)，在y′轴正半轴上取点C′，使O′C′＝1.在x′轴正半轴上取点B′，使O′B′＝4，顺次连接O′，A′，B′，C′，如图①所示．(3)擦去作为辅助线的坐标轴、线段A′H、点H，便得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′，如图②所示．图①图②9．(2024·苏州模拟)用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图．解：根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形，①画出水平放置的长、宽分别是8cm、6cm的矩形ABCD的直观图；②作Az垂直于平面xAy，在Az轴上截取AA′＝3cm，分别过点B、C、D作BB′∥AA′，CC′∥AA′，DD′∥AA′，且BB′＝CC′＝DD′＝AA′＝3cm；③连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，即得所画的直观图，如图所示．B能力进阶练10.(2024·越秀区校级期中)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是()A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等边三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形解析：C将其还原成原图，如图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，从而AB＝BC＝eq\r(2)，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．故选C.11.(多选)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝eq\r(5)，则在△ABC中()A．AC＝BC B．AB＝2C．AC＝2eq\r(5) D．S△ABC＝4eq\r(2)解析：BD如图1，在直观图△A′B′C′中，过C′作C′D′⊥A′B′于点D′.因为A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝eq\r(5)，所以A′D′＝1，C′D′＝eq\r(A′C′2－A′D′2)＝2.又∠C′O′D′＝45°，所以O′D′＝2，O′A′＝1，O′C′＝2eq\r(2).将直观图△A′B′C′还原为原平面图形△ABC，如图2.OC＝4eq\r(2)，OA＝1，AB＝2，故B正确．又AC＝eq\r(OA2＋OC2)＝eq\r(33)，BC＝eq\r(OB2＋OC2)＝eq\r(41)，故A、C错误．S△ABC＝eq\f(1,2)AB·OC＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2)，故D正确．故选BD.图1图212.如图所示，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝eq\r(2)，则这个平面图形的面积是________．解析：因为Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝eq\r(2)，且△O′A′B′是等腰直角三角形，所以△O′A′B′的面积是eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，所以原平面图形的面积是1×2eq\r(2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2).13.如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与原点O重合，在x轴上取点C，使AC＝eq\r(2)，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形，如图所示．易知四边形ABCD为平行四边形．∵AD＝2，AC＝eq\r(2)，∴S□ABCD＝2×eq\r(2)＝2eq\r(2)，即原图形的面积为2eq\r(2).C探索创新练14.(多选)(2024·福州期末)如图所示，四边形A′B′C′D′是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD水平放置的直观图，其中，A′D′＝5，C′D′＝C′B′＝2，点P′在线段C′D′上，P′对应原图中的点P，则在原图中下列说法正确的是()A．四边形ABCD的面积为18B．与eq\o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量的坐标为(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))C.eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量的坐标为(eq\f(9,5)，－eq\f(12,5))D．|3eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值为17解析：BD由直观图可得，四边形ABCD为直角梯形，且AD＝5，CD＝4，BC＝2，则四边形ABCD的面积为eq\f(（2＋5）×4,2)＝14，故A错误；如图，以点D为坐标原点建立平面直角坐标系，则D(0，0)，A(5，0)，C(0，4)，B(2，4)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，4)，所以与eq\o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量的坐标为eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))，故B正确；eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－5，0)，则eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量的坐标为eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5)×eq\f(（－3，4）,5)＝(－eq\f(9,5)，eq\f(12,5))，故C错误；设P(0，y)，y∈[0，4]，则eq\o(P