2025年高考数学核心考点归纳第74讲、存在性问题的探究特训(学生版+解析)

第74讲存在性问题的探究知识梳理题型一：存在点使向量数量积为定值例1．（2024·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．求椭圆E的方程；过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．例2．（2024·山西大同·高二统考期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值?若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由.例3．（2024·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为.点在椭圆上，且满足的周长为6.（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一定点，使得恒为定值？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由.变式2．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）已知为双曲线的左、右焦点，的离心率为为上一点，且.(1)求的方程；(2)设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，且点在以线段为直径的圆上，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.变式3．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．变式4．（2024·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．(1)求的内心坐标；(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．题型二：存在点使斜率之和或之积为定值例4．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知为坐标原点，，，和交点为.(1)求点的轨迹；(2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由.例5．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点，，是异于A，的动点，，分别是直线，的斜率，且满足.(1)求动点的轨迹方程；(2)在线段上是否存在定点，使得过点的直线交的轨迹于，两点，且对直线上任意一点，都有直线，，的斜率成等差数列.若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.例6．（2024·吉林·吉林省实验校考模拟预测）以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点(1)求的方程.(2)在轴上是否存在定点，过点任意作一条不与坐标轴垂直的直线，当与交于两点时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.变式5．（2024·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习）已知圆C方程为，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；（2）判断直线与圆C的位置关系，并证明你的结论；（3）当时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线，的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.变式6．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，实轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2）设过点不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个点，使得直线，的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由.变式7．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6.（1）求椭圆的方程；（2）设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点，，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.变式8．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的离心率是，过点的动直线于椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得弦长为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在上是否存在与点不同的定点，使得直线和的倾斜角互补？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．题型三：存在点使两角度相等例7．（2024·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆的左右焦点分别为，分别为椭圆的上，下顶点，到直线的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别交x轴于两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．例8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.例9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交AC于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点．问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．变式9．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点.(1)求面积的最大值，并求此时直线的方程；(2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.变式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线交椭圆于两点，轴上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．变式11．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知直线：与曲线交于两点，问曲线上是否存在两点满足，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.题型四：存在点使等式恒成立例10．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且．(1)求椭圆的离心率；(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；(3)设．过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．例12．（2024·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得(其中，为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．变式12．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点和右焦点分别为，动点满足，记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)设点在上，过作的两条切线，分别与轴相交于两点.是否存在点，使得等于的短轴长？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.变式13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.变式14．（2024·北京海淀·中关村中学校考三模）已知椭圆的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.问：平面内是否存在定点，使得恒在直线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.题型五：存在点使线段关系式为定值例13．（2024·全国·高三专题练习）椭圆经过两点，，过点的动直线与椭圆相交于，两点．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：；(3)设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？只需写出点的坐标，无需证明．例14．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且过点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.例15．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．变式15．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，.直线（不经过点）与椭圆交于两点，，直线与椭圆交于另一点，点满足，且在直线上.(1)求的方程；(2)证明：直线过定点，且存在另一个定点，使为定值.变式16．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.(1)求双曲线的方程.(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.变式17．（2024·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．变式18．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线.①过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径；②点到的距离比到y轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件:(1)选择条件：求曲线的方程；(2)在轴正半轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于两点时，为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.变式19．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知椭圆的离心率为，且经过点．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．(1)若，，求面积的最大值；(2)是否存在点P，使得过点P作圆的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由本资料陈飞老师主编，可联系微信：renbenjiaoyu2,加入陈老师高中数学永久QQ资料群下载（群内99%以上资料为纯word解析版），群内资料每周持续更新！高一资料群内容：1、高一上学期同步讲义（word+PDF）2、高一下学期同步讲义（word+PDF）3、寒暑假预习讲义（word+PDF）4、专题分类汇编（纯word解析版）5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）6、期中期末考试串讲（word+PDF）…………更多内容不断完善高二资料群内容：1、高二上学期同步讲义（word+PDF）2、高二下学期同步讲义（word+PDF）3、寒暑假预习讲义（word+PDF）4、专题分类汇编（纯word解析版）5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）6、期中期末考试串讲（word+PDF）…………更多内容不断完善高三资料群内容：1、高三大一轮复习讲义（word+PDF）2、高三二轮冲刺讲义（word+PDF）3、高三三轮押题（纯word解析版）4、高考真题分类汇编（纯word解析版）5、专题分类汇编（纯word解析版）6、圆锥曲线专题（word+PDF）7、导数专题（word+PDF）8、全国名校期中期末一模二模（纯word解析版）…………更多内容不断完善第74讲存在性问题的探究知识梳理解决存在性问题的技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．必考题型全归纳题型一：存在点使向量数量积为定值例1．（2024·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．求椭圆E的方程；过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】设椭圆E的方程为，由已知得，解得：，所以．所以椭圆E的方程为．假设存在符合条件的点，设，，则，，，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由，得：，，，，，对于任意的k值，上式为定值，故，解得：，此时，为定值；当直线l的斜率不存在时，直线l：，，，，由，得为定值，综合知，符合条件的点M存在，其坐标为．例2．（2024·山西大同·高二统考期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值?若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，所以，因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以，可求得a=2.故椭圆的方程为.（2）假设存在满足条件的点，当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为，由得，设，所以，则，要使为定值，令，即，此时.当直线的斜率不存在时，不妨取，由，可得，所以.综上所述，存在点，使为定值.例3．（2024·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为.点在椭圆上，且满足的周长为6.（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一定点，使得恒为定值？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）所以椭圆的方程为（Ⅱ）假设存在这样的定点，设，直线方程为则=联立消去得令即，当轴时，令,仍有所以存在这样的定点，使得变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意，，，得，所以椭圆C的方程为.（2）当的斜率存在时，设，，，，则联立方程组消去y得，.∴，.∵为定值.∴，解得.此时的值为.当的斜率不存在时，的方程为，解得，.又，则.∴，此时也满足条件.综上所述，在x轴上存在定点，使为定值.变式2．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）已知为双曲线的左、右焦点，的离心率为为上一点，且.(1)求的方程；(2)设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，且点在以线段为直径的圆上，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，又，所以，则，所以，因为，所以，故双曲线的方程为.（2）因为点满足，所以点在双曲线的左支上，又因为点在坐标轴上，则，设，当的斜率存在时，设的方程为，联立方程，整理得,则，,即,，因为在以线段为直径的圆上，所以，则，又，，则，所以，即，整理得，即，解得或，经检验均满足，当时，直线的方程为，则直线过点，不合题意，舍去；当时，直线的方程为，则直线恒过定点，符合题意.当的斜率不存在时，，，，，又，解得（舍去）或，所以直线方程为，则直线恒过定点.综上，直线恒过定点.因为，所以是以为斜边的直角三角形，即点在以为直径的圆上，则点为该圆的圆心即斜边的中点，又，，所以，为该圆的半径，即，故存在点，使得为定值.变式3．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由得直线是抛物线的一条切线．所以，所以椭圆（2）当直线与轴平行时，以为直径的圆方程为当直线与轴重合时，以为直径的圆方程为所以两圆的交点为点猜想：所求的点为点．证明如下．当直线与轴垂直时，以为直径的圆过点当直线与轴不垂直时，可设直线为：由得，设，则则所以，即以为直径的圆过点所以存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点．变式4．（2024·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．(1)求的内心坐标；(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）∴椭圆的标准方程为，不妨取，则；因为中，，所以的内心在轴，设直线平分，交轴于，则为的内心，且，所以，则；（2）∵椭圆和弦均关于轴上下对称．若存在定点，则点必在轴上∴设当直线斜率存在时，设方程为，直线方程与椭圆方程联立，消去得，则①∵点的横坐标为1，均在直线上，，整理得，因为点在椭圆外，则直线的斜率必存在．∴存在定点满足题意题型二：存在点使斜率之和或之积为定值例4．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知为坐标原点，，，和交点为.(1)求点的轨迹；(2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由.【解析】（1）设点，，，即，点坐标为，，即，点坐标为，根据两点坐标可得，直线方程为：，直线方程为：，两式移项相乘得：，整理得，点的轨迹为以为焦点，长轴长为的椭圆，即其方程为.（2）假设存在定点，设点坐标为，，联立方程组消得，直线与椭圆交于两点，即，，，，，，整理得：，，对恒成立，，得，，所以存在定点坐标为或.例5．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点，，是异于A，的动点，，分别是直线，的斜率，且满足.(1)求动点的轨迹方程；(2)在线段上是否存在定点，使得过点的直线交的轨迹于，两点，且对直线上任意一点，都有直线，，的斜率成等差数列.若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意，即，又直线，的斜率存在，所以点的轨迹方程为（2）若存在这样的定点，不妨设为，令，，，直线的方程为，，由韦达定理得：，，，，，对任意成立，所以由得，所以，对任意成立，，经检验，符合题意，所以，存在满足题意.例6．（2024·吉林·吉林省实验校考模拟预测）以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点(1)求的方程.(2)在轴上是否存在定点，过点任意作一条不与坐标轴垂直的直线，当与交于两点时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，圆与直线切于点，所以代入得，①设，直线FQ有斜率，则，即，②又③由①②③解得，所以双曲线的方程为.（2）假设存在满足条件的定点，因为直线不与坐标轴垂直，故设的方程为.由消去整理得，则即且因为，所以直线的斜率为.设为定值，即，即，即，整理得，所以，所以.因为为定值，且上式对任意恒成立，所以解得.将代入式解得或且.综上，存在满足条件的定点.变式5．（2024·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习）已知圆C方程为，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；（2）判断直线与圆C的位置关系，并证明你的结论；（3）当时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线，的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）圆C的方程可化为：，由，解得，所以圆C过定点.（2）圆C的方程可化为：，圆心到直线l的距离为，所以直线与圆C相切.（3）当时，圆C方程为，圆心为，半径为10，与直线，即相切，所以椭圆的左准线为，又椭圆过点，则，所以，解得，所以椭圆方程为.在椭圆上任取一点（），设定点，，则对恒成立，所以对恒成立，所以，故或，所以，或者，.变式6．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，实轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2）设过点不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个点，使得直线，的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为焦距为2，长轴长为4，即，，解得，，所以，所以椭圆的方程为．（2）由（1）知，设点，，，，，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，联立，得，所以，所以，，又，直线，的斜率分别为，，所以，要使得直线，的斜率之积恒为定值，直线，解得，当时，存在点，使得，当时，存在点，使得，综上，在轴上存在点，使得，的斜率之积恒为定值，当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值，当点的坐标为时，直线，的斜率之积为定值．变式7．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6.（1）求椭圆的方程；（2）设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点，，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由椭圆的定义知的周长为，所以，又因为椭圆的离心率，所以，联立解得，，所以，所求椭圆方程为.（2）若存在满足条件的点.当直线的斜率存在时，设，联立，消得.设，，则，x，∵，∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，.当直线与轴垂直时，若，也有.故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值0.变式8．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的离心率是，过点的动直线于椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得弦长为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在上是否存在与点不同的定点，使得直线和的倾斜角互补？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）由已知可得，椭圆经过点，因此，,解得，所以椭圆E方程为；（Ⅱ）设点的坐标为，当直线与x轴垂直时，直线与的倾斜角均为，满足题意，此时，且；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，联立，得，其判别式，，，直线的倾斜角互补，，∴，即，整理得，把，代入得，所以，即，综上所述存在与点不同的定点满足题意．题型三：存在点使两角度相等例7．（2024·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆的左右焦点分别为，分别为椭圆的上，下顶点，到直线的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别交x轴于两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）中由面积公式得，即，得，椭圆方程为；（2）如图，假设存在点使得，设，，即，，即，直线与椭圆交于不同的两点，易知关于对称，设，则，由（1）知，直线的方程是，令得，直线方程是，令得，由，得，又在椭圆上，所以，即，，即.所以存在点，使得成立．例8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.【解析】（1）依题意可得，，又，解得，所以椭圆方程为，则离心率（2）因为、、三点共线，根据椭圆的对称性可知、关于点对称，设点，则，所以直线的方程为，直线的方程为，所以点，．假设存在M使，，所以，又，所以，即，所以，设，则，，所以，即，又，所以，所以，解得，所以.例9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交AC于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点．问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）由圆，可得圆心坐标为，半径，如图所示，线段的垂直平分线交于点，所以，根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，则，所以动点的轨迹方程为.（2）由题意，设直线的方程为，且，联立方程组，整理得，则，解得且，设，所以根据椭圆的对称性，不妨令在轴上方，且，显然，假设存在使得恒成立，即恒成立，可得，即恒成立，即恒成立，又由，所以，所以，所以存在点，使得恒成立，变式9．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点.(1)求面积的最大值，并求此时直线的方程；(2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）将代入椭圆方程，得到，故，故椭圆方程为.当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得，设，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最大值为，此时直线的方程为或.（2）在x轴上存在点使得恒成立，理由如下：因为，所以，即，整理得，即，所以，则，解得，故在x轴上存在点，使得恒成立.变式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线交椭圆于两点，轴上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）椭圆上顶点与右顶点的距离为，；又椭圆过点，；两式联立可解得：，，椭圆的方程为：.（2）当直线与轴不重合时，设其方程为，，由得：，则，解得：或，，，假设存在点使得，即存在点使得，设点，则，，，又，，解得：，；当直线与轴重合时，分别为椭圆左右顶点，若，此时显然成立；综上所述：轴上存在点满足题意．变式11．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知直线：与曲线交于两点，问曲线上是否存在两点满足，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.【解析】（1）设，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，所以，化简得.所以曲线的方程为.（2）存在两点满足.设联立直线与双曲线方程，有，由韦达定理，有，，，所以上式当时，上式恒成立，即过定点，经检验两点恰在双曲线上，且不与重合，故存在双曲线上两点满足.题型四：存在点使等式恒成立例10．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.【解析】（1）圆的圆心为，半径，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上，设双曲线的方程为，则，.所以，，又不可能在轴上，所以曲线的方程为.（2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上.证明如下：由条件可设：.代入，得，设，，则，得，所以所以，取，则又，都在轴上方，所以的平分线为定直线，所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上.例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且．(1)求椭圆的离心率；(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；(3)设．过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意知，由得是线段的中点，故.又因为直线与垂直，所以，即，所以椭圆的离心率为.（2）由（1）得过、、三点的圆的圆心为，半径为.因为过、、三点的圆恰好与直线相切，所以，解得.又，所以，从而.故椭圆的方程为.（3）由（1）及得，，椭圆的方程为.设直线方程为，，则，联立得，，.直线的方程为，令得.故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线.例12．（2024·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得(其中，为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）由已知可设双曲线方程为，椭圆方程，则双曲线的一条渐近线方程为，即，故，即，又，解得，所以双曲线方程：，椭圆方程为：；（2）设，，，，，P、A、N三点共线，，P、B、M三点共线，，相除：，令，则设：，联立椭圆方程：，由在椭圆内，故，所以，∴，，若存在，即，，得，又P在第一象限，所以，；法二：，，，，，直线AP：，，显然，由，又因为P在双曲线上，满足，即，所以，即，同理BP：，可得，所以，若存在，即，而P在第一象限，所以，即.变式12．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点和右焦点分别为，动点满足，记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)设点在上，过作的两条切线，分别与轴相交于两点.是否存在点，使得等于的短轴长？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）依题意知，，设，则由，得，即，曲线的方程为.（2）（方法一）设点，则，由题意知，的斜率存在，不妨依次设为，则直线的方程为，即，直线与圆相切，即，同理，可得，显然是方程的两根，，即，.设，则，由，得，由，得，存在点，或满足题意.（方法二）设点在上，，由题意知，的斜率存在，分别为，则直线的方程为，直线与圆相切，，即，同理，可得，显然是方程的两根，，由，得，.由，得，存在点或满足题意.变式13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为点M到点的距离比它到直线l：的距离小，所以点M到点的距离等于它到直线l：的距离，则点M的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，则曲线E的方程为.（2）设，由得：，且，得，即，所以，代入抛物线方程，得，整理得，同理可得故是方程的两根，，由韦达定理可得①，由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得，易得，由韦达定理可得②，由①②可得，故在x轴的正半轴上存在一点满足条件.变式14．（2024·北京海淀·中关村中学校考三模）已知椭圆的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆的方程及离心率；(2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.问：平面内是否存在定点，使得恒在直线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）因为椭圆的焦距为，长轴长为，所以，，则椭圆的离心率，所以，所以椭圆的方程为.（2）存在定点，使得恒在直线上.设直线为，，，则，联立，消去得，，解得，则，，又直线的方程为，又，，恒过定点，故存在定点，使得恒在直线上.题型五：存在点使线段关系式为定值例13．（2024·全国·高三专题练习）椭圆经过两点，，过点的动直线与椭圆相交于，两点．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：；(3)设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？只需写出点的坐标，无需证明．【解析】（1）设椭圆方程为，，，，椭圆经过两点，，，解得，，椭圆的方程为．（2）设，，则，，由题意，，，,,，，，，，若，则，结论成立．若，则，．（3）当与轴平行时，设直线与椭圆相交于、两点，如果存在定点满足条件，则有，，在轴上，设，，当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于，两点，则，的坐标分别为,，,，由，有，解得，若存在不同于点不同的定点满足条件，则点坐标只可能为，．下面证明：对任意直线，均有，记直线的斜率为，直线的斜率为，设，，则，．由题意，,，，，，，若，则，符合题意；若，则，，设点关于轴对称的点，，，A，三点共线，，对任意直线，均有．例14．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且过点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.【解析】（1）依题意，设双曲线C的方程为，而点在双曲线C上，于是，双曲线C的方程为，即，所以双曲线C的标准方程为.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为：，设，由消去y并整理得，有，且，即且，有，又，，由，得，整理得，于是，化简得，即，解得或，均满足条件，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，当时，直线的方程为，直线过定点；当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：，由解得或，因此点的横坐标有，即直线过定点，综上得直线过定点，由于，即点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.例15．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆C的半焦距为，由题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）由（1）可得：，根据题意可设直线，联立方程，消去y得，则，可得，①由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则，可得，因为，可得，整理得，②将①代入②得：，解得，所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时.变式15．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，.直线（不经过点）与椭圆交于两点，，直线与椭圆交于另一点，点满足，且在直线上.(1)求的方程；(2)证明：直线过定点，且存在另一个定点，使为定值.【解析】（1）设的方程为，则，解得，所以的方程为.（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设的方程为，设点，，则，.联立，消去，得，则，且，.所以，所以的方程为.令，则，所以直线恒过定点，设为点.又因为，在上，所以，则点在以为直径的圆上，从而的中点，使为定值.变式16．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.(1)求双曲线的方程.(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设，所以，，，因为点在线段上，且满足，所以点，因为直线的斜率为1，所以，所以，因为，所以，解得，，.所以双曲线的方程为.（2）假设在轴上存在与不同的定点，使得恒成立，当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有；当直线l的斜率存在且不为0时，设，直线l的方程为，直线与双曲线的