2025年高考数学核心考点归纳第49讲、直线、平面垂直的判定与性质特训(学生版+解析)

第49讲直线、平面垂直的判定与性质知识梳理知识点1：直线与平面垂直的定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直__平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直_b_a知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行_b_a文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行__线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直知识点4：平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直__知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a【解题方法总结】线线线面面面（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质；⑦平行线垂直直线的传递性（）．（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（）；⑤面面垂直的性质（）．（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）．空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．性质性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线∥面线∥线面∥面线⊥面线⊥线面⊥面必考题型全归纳题型一：垂直性质的简单判定例1．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则例2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）A．若，且，则 B．若，，，则C．若，且，则 D．若，，，则例3．（2024·陕西咸阳·统考二模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若∥，，则∥，②若，，则，③若，，则∥，④若，，，则其中正确的命题是（）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②变式1．（2024·河南·校联考模拟预测）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则变式2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题:①；②平面平面；③平面平面；④三棱锥体积为.其中正确命题序号为（

）A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④变式3．（2024·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是（）A．，，且B．，，，且，C．，，，且D．，，且【解题方法总结】此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．题型二：证明线线垂直例4．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，．证明：；例5．（2024·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.证明：；例6．（2024·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.求证：；变式4．（2024·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，，，．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．求证：；变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）如图，已知三棱柱中，，，，是的中点，是线段上一点.(1)求证：；(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求棱锥的体积.变式6．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形中，，，，，如图1.沿对角线将折起，使点到达点的位置，为的中点，如图2.证明：.【解题方法总结】题型三：证明线面垂直(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.例7．（2024·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，已知，.(1)证明：平面；例8．（2024·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABD，E为AB的中点，，.(1)证明：平面CED；例9．（2024·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．(1)证明：平面；变式7．（2024·重庆巴南·统考一模）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．(1)证明：平面；变式8．（2024·广东广州·统考三模）如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．(1)求证：平面；变式9．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点，且.(1)证明：平面；【解题方法总结】垂直关系中线面垂直是重点．线垂面哪里找线垂面有何用证明线面垂直常用两种方法．方法一：线面垂直的判定．线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么．方法二：面面垂直的性质．面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么．题型四：证明面面垂直例10．（2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.(1)证明：平面平面；例11．（2024·贵州贵阳·校联考三模）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，.(1)求证：平面平面；例12．（2024·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.(1)平面⊥平面ABF变式10．（2024·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.(1)证明：平面平面.变式11．（2024·河北张家口·统考三模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，.(1)证明：平面平面；变式12．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在长方体中，为棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)画出平面与平面的交线，并说明理由；(3)求过三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．变式13．（2024·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.(1)证明：平面平面；变式14．（2024·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中，与均是等边三角形，直线平面，直线平面，.(1)求证：平面平面；【解题方法总结】主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．题型五：垂直关系的综合应用例13．（2024·贵州铜仁·统考二模）如图，在直三棱柱中，，．(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；例14．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，、、分别是，，的中点．(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由．例15．（2024·天津·耀华中学校考二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．（1）求证：AD⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；（3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长．变式15．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正方体中，，.（1）求证：；（2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由.变式16．（2024·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.变式17．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．(1)求证：面面ABCD；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．变式18．（2024·河北邯郸·统考二模）如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2．（1）求证：C1E平面ADF；（2）设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF．【解题方法总结】（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证本资料陈飞老师主编，可联系微信：renbenjiaoyu2,加入陈老师高中数学永久QQ资料群下载（群内99%以上资料为纯word解析版），群内资料每周持续更新！高一资料群内容：1、高一上学期同步讲义（word+PDF）2、高一下学期同步讲义（word+PDF）3、寒暑假预习讲义（word+PDF）4、专题分类汇编（纯word解析版）5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）6、期中期末考试串讲（word+PDF）…………更多内容不断完善高二资料群内容：1、高二上学期同步讲义（word+PDF）2、高二下学期同步讲义（word+PDF）3、寒暑假预习讲义（word+PDF）4、专题分类汇编（纯word解析版）5、全国名校期中期末考试卷（纯word解析版）6、期中期末考试串讲（word+PDF）…………更多内容不断完善高三资料群内容：1、高三大一轮复习讲义（word+PDF）2、高三二轮冲刺讲义（word+PDF）3、高三三轮押题（纯word解析版）4、高考真题分类汇编（纯word解析版）5、专题分类汇编（纯word解析版）6、圆锥曲线专题（word+PDF）7、导数专题（word+PDF）8、全国名校期中期末一模二模（纯word解析版）…………更多内容不断完善第49讲直线、平面垂直的判定与性质知识梳理知识点1：直线与平面垂直的定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直__平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直_b_a知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行_b_a文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行__线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直知识点4：平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直__知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a【解题方法总结】线线线面面面（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质；⑦平行线垂直直线的传递性（）．（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（）；⑤面面垂直的性质（）．（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）．空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．性质性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线∥面线∥线面∥面线⊥面线⊥线面⊥面必考题型全归纳题型一：垂直性质的简单判定例1．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；在如图所示的正方体中，取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项C错误；当，，时，必有，从而，故选项D正确；故选：D.例2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）A．若，且，则 B．若，，，则C．若，且，则 D．若，，，则【答案】C【解析】对于选项A：若，且，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A错误；对于选项B：若，，，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误；对于选项C：若，且，根据线面垂直可得：，故C正确；对于选项D：若，，但不能得到，所以虽然，不能得到，故D错误；故选：C.例3．（2024·陕西咸阳·统考二模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若∥，，则∥，②若，，则，③若，，则∥，④若，，，则其中正确的命题是（）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②【答案】A【解析】对于①，当∥，时，∥或，所以①错误，对于②，当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以②正确，对于③，当，时，有∥，所以③正确，对于④，当，，时，如图所示，∥，所以④错误，故选：A变式1．（2024·河南·校联考模拟预测）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】对于A，可能会出现，或与相交但不垂直的情况，所以A不正确；对于B，可能平行、可能异面，所以B不正确；对于C，若，仍然满足且，所以C不正确；对于D，，则，再由，可得,可知D正确.故选：D.变式2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题:①；②平面平面；③平面平面；④三棱锥体积为.其中正确命题序号为（

）A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④【答案】D【解析】如图：因为四边形是菱形，，所以，为的中点，所以，，，面，所以面，又面，所以，即①正确；由①知面，又面，所以平面平面，即②正确；如图：取的中点为，连接，，依题意，，所，，所以是二面角的平面角，又因为平面平面，平面平面，所以面，和是边长为2的正三角形，所以，且有，所以在中，，又和是两全等的等腰三角形，，的中点为，所以，由已知可得是边长为2的正三角形，得，则在中，容易算得，，，所以，所以二面角不是直二面角，故③错误；由已知可得是边长为2的正三角形，又由上得面，所以三棱锥的高即为，，是边长为2的正三角形，所以三棱锥的体积为，故④正确.故选：D.变式3．（2024·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是（）A．，，且B．，，，且，C．，，，且D．，，且【答案】D【解析】对于A，，，且，，可以平行、相交不垂直、垂直，A不正确；对于B，，，，且，，当不相交时，l不一定与垂直，则不一定与垂直，B不正确；对于C，，，，且，显然直线与无关系，，可以平行、相交不垂直、垂直，C不正确；对于D，由，，得，又，根据面面垂直的判定知，D正确．故选：D【解题方法总结】此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．题型二：证明线线垂直例4．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，．(1)证明：；【解析】（1）取的中点，连接，，，，，，又，平面，平面，而平面，；例5．（2024·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.(1)证明：；【解析】（1）证明：因为，点是的中点，所以.因为平面平面，所以平面平面，因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面，所以平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以.例6．（2024·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.(1)求证：；【解析】（1）证明：连接，，是的中点，是的中点，，平面平面，平面，，在三棱柱中，，，，，平面，平面，．变式4．（2024·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，，，．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．(1)求证：；【解析】（1）如下图，过点D作交于点，连结，因为，，．所以，，，由,所以，因为平面平面ABCD，平面平面，平面,所以平面，又平面，所以.变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）如图，已知三棱柱中，，，，是的中点，是线段上一点.(1)求证：；(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求棱锥的体积.【解析】（1）连接，，为中点，.又，，，且.，，，又，，平面，平面，又平面，.由已知，，，又，平面，平面.而，平面，.（2）由（1）可知，.又，平面，平面，又，平面，.所以，又在棱上移动，当时，最小，此时面积最小.在中，，，则，，.在中，过做于，则，，平面，于是可得..变式6．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形中，，，，，如图1.沿对角线将折起，使点到达点的位置，为的中点，如图2.(1)证明：.【解析】（1）因为，，所以，所以，所以，则，又，所以为等边三角形，所以，又为的中点，连接交于点，则，，所以，所以，即，则折起后，，，平面，所以平面，平面，所以.【解题方法总结】题型三：证明线面垂直

13．（2024·陕西榆林·陕西省神木中学校考三模）如图，在四棱柱中，底面，底面满足，且，.(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.【解析】（1）由底面，平面，所以，又因为，.满足，可得，又，平面，所以平面.（2）由（1）中，且，，可得，因此，即，又平面，，可得平面，平面，即，又，平面，所以平面，即为四棱锥的高，即四棱锥的体积..例7．（2024·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，已知，.(1)证明：平面；【解析】（1）在中，，所以.所以，故，则.又，即.平面，所以平面.例8．（2024·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABD，E为AB的中点，，.(1)证明：平面CED；【解析】（1）因为平面，平面，所以，又因为为的中点，所以是的中线，所以，且，平面，所以平面.例9．（2024·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．(1)证明：平面；【解析】（1）由题意得，，，因为，则，又，面，所以面，又面，则，又，，平面，平面，所以平面．变式7．（2024·重庆巴南·统考一模）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．(1)证明：平面；【解析】（1）过点作于点，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面．变式8．（2024·广东广州·统考三模）如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．(1)求证：平面；【解析】（1）在矩形中，，又平面平面，平面平面=，平面，所以平面，

又平面，所以，在矩形中，,又，所以,所以.又，平面，所以平面；变式9．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点，且.(1)证明：平面；【解析】（1）连接，由题意可知：为等边三角形，且是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，且平面，可得，，平面，所以平面.【解题方法总结】垂直关系中线面垂直是重点．线垂面哪里找线垂面有何用证明线面垂直常用两种方法．方法一：线面垂直的判定．线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么．方法二：面面垂直的性质．面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么．题型四：证明面面垂直例10．（2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.(1)证明：平面平面；【解析】（1）如图，连接，交于，连接.因为侧面为菱形，所以，且为的中点.又，故.又，且，所以，所以.又，所以，所以.因为平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.例11．（2024·贵州贵阳·校联考三模）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，.(1)求证：平面平面；【解析】（1）四边形为直角梯形，，，又，，平面，平面，又平面，；作，，，，，又，，，，，，平面，平面，平面，平面平面.例12．（2024·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.(1)平面⊥平面ABF【解析】（1）因为，，，AF、AB平面ABF，所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，所以平面⊥平面ABF.变式10．（2024·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.(1)证明：平面平面.【解析】（1）由题知，平面平面，过点作的垂线，垂足为，连接，又因为平面平面，所以平面.因为平面，所以，则共面.因为平面，平面，平面平面，所以，则四边形为平行四边形，所以.因为，，所以，因为，所以，由正弦定理得，即，所以，因为，所以，所以，即.因为平面，平面，所以，又因为,平面，所以平面.因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.变式11．（2024·河北张家口·统考三模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，.(1)证明：平面平面；【解析】（1）连、交于，则为、的中点，连，因为，所以，因为侧面为菱形，，，所以，，所以，即，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.变式12．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在长方体中，为棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)画出平面与平面的交线，并说明理由；(3)求过三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．【解析】（1）在长方体中，，与都是等腰直角三角形，，，平面平面，，又面，面，又平面平面平面；（2）延长与的延长线相交于，连接，则即为平面与平面的交线，理由如下：平面，平面，平面与平面的交线为；（3）令与的交点为，则三棱台的体积为，为棱的中点，为的中点，是的中点，是的中点，，，，三棱台的体积为，过三点的平面将四棱柱分成的上部分的体积为.过三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比为.变式13．（2024·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.(1)证明：平面平面；【解析】（1）设圆O的半径为r，在中，，，，故，又，故，在中，由余弦定理得，所以，即；圆锥中，底面，底面，故，又，所以平面，又平面，所以平面平面.变式14．（2024·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中，与均是等边三角形，直线平面，直线平面，.(1)求证：平面平面；【解析】（1）如图1，设平面与直线的交点为，连接，.因为直线平面，直线平面，平面，平面，所以，.因为，平面，平面，所以平面.因为平面，平面，所以，.又因为与均是等边三角形，所以为中点，且二面角的平面角为.在平面四边形中，因为，所以，所以平面平面.【解题方法总结】主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．题型五：垂直关系的综合应用例13．（2024·贵州铜仁·统考二模）如图，在直三棱柱中，，．(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；【解析】（1）取棱BC的中点D，连接，AD．在等腰直角△ABC中，，又，平面，故平面．又平面，故平面平面，这两个平面的交线为．在中，作，则有平面；例14．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，、、分别是，，的中点．(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由．【解析】（1）（1）证明：、、分别是，，的中点．，四边形为平行四边形，可得，因为平面；平面；平面；同理可得平面；又，平面，平面平面．（2）假设在线段上存在一点使平面．四边形是正方形，因此点为点．不妨取，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．所以，，又，平面，所以平面，在线段上存在一点，使平面，其中点为点．例15．（2024·天津·耀华中学校考二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．（1）求证：AD⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；（3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长．【解析】（1）因为顶点A在底面BCD上的投影O在棱BD上，所以AO⊥平面BCD，因为AO⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，因为∠CBD＝90°，所以BC⊥BD，因为平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，所以BC⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD，由AB＝AD＝，BD＝2，得，所以AD⊥AB，因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC．（2）连接OE，因为O为BD的中点，E为CD的中点，OE∥BC，所以OE⊥BD，如图，以O为坐标原点，分别以OE，OD，OA为x轴，y轴，z轴为正方向，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），，，，设平面ABE的一个法向量＝（x，y，z），取x＝1，得＝（1，﹣1，1），设平面ACE的一个法向量＝（a，b，c），取c＝1，则，设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，由图知二面角为锐角，则cosθ＝＝．所以二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．（3）设P（0，y，z），Q（，0，），因为PQ⊥平面ABE，∴．∴，＝λ（1，﹣1，1）．∴y＝，z＝0，∴P（0，，0）∴PQ＝变式15．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正方体中，，.（1）求证：；（2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由.【解析】（1）如图，连接，因为，，所以，分别为，的中点，所以，又，所以.（2）如图，取的中点，连接，，因为平面，所以，又，所以.因为，，所以.因为，所以平面，所以在线段上，存在点，使得平面.变式16．（2024·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：取的中点，连接、、，因为且，故四边形为平行四边形，所以，且，因为为的中点，则且，因为、分别为、的中点，所以，且，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为、分别为、的中点，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，故平面.（2）当点为的中点时，平面平面，因为四边形为矩形，则，因为，则，因为四边形为菱形，则，因为，则为等边三角形，因为为的中点，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，平面平面，因此，当点为的中点时，平面平面.变式17．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．(1)求证：面面ABCD；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．【解析】（1）在中，因为，，所以，，所以，则，即，又，，面PAB，所以面PAB，又面ABCD，所以面面ABC