2024-2025学年陕西省西安市阎良区高一上册第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年陕西省西安市阎良区高一上学期第一次月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，2.下列集合中，不同于另外三个集合的是()A.{x|x＝1} B.{x＝1}C.{1} D.{y|(y－1)2＝0}3.一元二次不等式的解集为（）A. B.C. D.4.已知，，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.5.“”是“”成立的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为（）A.3 B.6 C.8 D.97.“对任意实数x，不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.8.若关于x的不等式的解集中恰好含有2024个整数，则实数a的取值范围是（）A.B.C.或D.或二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图中阴影部分所表示的集合是（）A B. C. D.10.对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（）A.若a＞b，则B.若a＞b，则ac2≥bc2C.若a＞0＞b，则a2＜﹣abD.若c＞a＞b＞0，则11.数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.12.（多选）若非空实数集满足任意，都有，，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（）A.优集 B.是优集C.若是优集，则或 D.若是优集，则是优集三、填空题，本题共4小题，每小题4分，共16分．13.方程组的解集用列举法表示为______________.14.已知，则_____________15.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客实际得到的黄金___（填>、<或=）杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂16.已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为__________；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17若集合或．（1）若，求．（2）若，求实数a的取值范围．18.设命题，，命题，．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围．19.（1）已知关于x的不等式的解集为，求实数a的值；（2）若，求关于x的不等式的解集．20.已知由自然数组成的个元素的集合，非空集合，且对任意的，都有.（1）当时，求所有满足条件的集合B；（2）当时，求所有满足条件集合B的元素总和．21.某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．22.问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数x，y满足，求的最小值；（2）若正实数a，b，x，y满足，且，试比较和的大小，并说明理由；（3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时m的值．2024-2025学年陕西省西安市阎良区高一上学期第一次月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】C【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可.【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定为，.故选：C2.下列集合中，不同于另外三个集合的是()A.{x|x＝1} B.{x＝1}C.{1} D.{y|(y－1)2＝0}【正确答案】B【详解】选项A,C,D表示的集合中都只有一个元素1，故它们是相等的集合，而选项B中的集合是以方程为元素的集合，集合中的元素是方程，显然不同于其他集合，故选B.3.一元二次不等式的解集为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】求出一元二次不等式的解集判断即可.【详解】不等式化为，即，解得，所以原不等式的解集为.故选：A4.已知，，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断即得.【详解】对于A，由，，得，A正确；对于B，由，得，而，则，B错误；对于C，由，，得，C正确；对于D，由，得，而，则，D正确.故选：B5.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可.【详解】当时，；而当时，或，所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A6.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为（）A.3 B.6 C.8 D.9【正确答案】D【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数.【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人；同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人.又因为没有人同时参加三项比赛，所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人.故选：D7.“对任意实数x，不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断即得.【详解】由不等式恒成立，得，解得，而集合真包含于集合，所以不等式恒成立的一个充分不必要条件是，C是，ABD不是.故选：C8.若关于x的不等式的解集中恰好含有2024个整数，则实数a的取值范围是（）A.B.C.或D.或【正确答案】C【分析】对参数进行分类讨论，然后根据解集中恰好含有2024个整数确定两端点的取值即可.【详解】当时，即，，则，解集含有无数个整数，不符合题意；当时，即时，，当时，，则不等式的解集为，当时，，则不等式的解集为，不等式解集中都有无数个整数，不符合题意；当时，即或，，当时，，不等式的解集为，而，于是，，解得，当时，，不等式的解集为，而，于是，，解得，所以实数a的取值范围是或.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【正确答案】AD【分析】根据Venn图，结合集合运算的概念即可得出答案.详解】A选项：，则，故A正确；B选项：，则，故B错误；C选项：，则，故C错误；D选项：，，故D正确.故选：AD.10.对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（）A.若a＞b，则B.若a＞b，则ac2≥bc2C.若a＞0＞b，则a2＜﹣abD.若c＞a＞b＞0，则【正确答案】BD【分析】通过特例法可证错误；由不等式的性质可证正确.【详解】A．根据a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则不成立，故A错误；B．∵a＞b，∴由不等式的基本性质知ac2≥bc2成立，故B正确；C．由a＞0＞b，取a＝1，b＝﹣1，则a2＜﹣ab不成立，故C错误；D．∵c＞a＞b＞0，∴（a﹣b）c＞0，∴ac﹣ab＞bc﹣ab，即a（c﹣b）＞b（c﹣a），∵c﹣a＞0，c﹣b＞0，∴，故D正确．故选：BD．本题考查由不等式的性质判断不等式是否正确，命题真假的判断，属于基础题11.数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.【正确答案】ABC【分析】根据给定条件，借助相似三角形用表示相关线段，再借助图形即可判断得解.【详解】依题意，不妨令，，，由，得，连接，则，而，则，∽，于是，，又，，则∽，，于是，观察图形知，，，，当且仅当点重合时取等号，即，，，当且仅当点时取等号，ABC正确；对于D，都表示线段长平方，不能表示，，中边长，因此D错误.故选：ABC12.（多选）若非空实数集满足任意，都有，，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（）A.是优集 B.是优集C.若是优集，则或 D.若是优集，则是优集【正确答案】ACD【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.【详解】对于A中，任取，因为集合是优集，则，则，，则，所以A正确；对于B中，取，则或，令，则，所以B不正确；对于C中，任取，可得，因为是优集，则，若，则，此时；若，则，此时，所以C正确；对于D中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D正确.故选：ACD.解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、填空题，本题共4小题，每小题4分，共16分．13.方程组的解集用列举法表示为______________.【正确答案】【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对的形式表示元素）.【详解】因为，所以，所以列举法表示解集为.故答案为.本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式.14.已知，则_____________【正确答案】2【分析】讨论和两种情况，再验证得到答案.【详解】当时，，代入验证知：，不满足互异性，排除；当时，或（舍去），代入验证知：，满足.故答案为本题考查了元素和集合的关系，没有验证互异性是容易发生的错误.15.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客实际得到的黄金___（填>、<或=）杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂【正确答案】>【分析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为（），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，利用杠杆的平衡原理可得，，再结合基本不等式比较与10的大小即可．【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即．因此，顾客购得的黄金大于．故>16.已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为__________；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________．【正确答案】①.2（答案不唯一，另一个值为）②.【分析】由方程根的情况求出值即可；由并集的元素个数，分类求解即得.【详解】由，得或，由集合A只有两个元素，得方程有两个相等的实根，且该实根不为3，因此，解得，此时方程的根为1或，符合题意，所以，取；由集合C有8个子集，得集合中有3个元素，而，，则或或或，当时，方程无实根，，解得，当时，方程有两个相等的实根1，则，当时，方程有两个相等的实根4，而方程有实根时，两根之积为1，因此无解，当时，方程的两根分别为，同上无解，实数a的取值范围为.故2；四、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.若集合或．（1）若，求．（2）若，求实数a取值范围．【正确答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据集合的运算法则计算；（2）由已知得，再由包含关系得不等式关系，从而得参数范围．【小问1详解】由已知，，∴；【小问2详解】∵，∴，若，即，则满足题意；若，则或，解得或，所以，综上，的范围是．18.设命题，，命题，．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围．【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用一元二次方程无实根求出的取值范围即得.（2）由命题为真命题求出的范围，再结合（1）求出答案.【小问1详解】由，，得关于的方程无实根，因此，解得，所以实数m的取值范围是.【小问2详解】由p为假命题，得，为真命题，即，，而当时，，当且仅当时取等号，因此，由（1）知，，则，所以实数m的取值范围是.19.（1）已知关于x的不等式的解集为，求实数a的值；（2）若，求关于x的不等式的解集．【正确答案】（1）；（2）答案见解析【分析】（1）根据给定条件，利用三个“二次”的关系求出值.（2）由的取值情况，分类讨论求解不等式即得.【详解】（1）依题意，是方程的两个实根，且，而化为，解得或，则，解得，所以实数a的值为.（2）不等式化为，当时，，解得；当时，原不等式化为，解得或，当时，原不等式化为，当时，，解得；当时，，不等式无解；当时，，解得，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.20.已知由自然数组成的个元素的集合，非空集合，且对任意的，都有.（1）当时，求所有满足条件的集合B；（2）当时，求所有满足条件的集合B的元素总和．【正确答案】（1），，；（2）288.【分析】（1）由知有偶数个元素，分别讨论两个元素和四个元素的情况即可得到结果.（2）由知有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和即可得解.小问1详解】当时，，由是的非空子集，且时，，得中有偶数个元素，当中有两个元素时，或；当中有四个元素时，，所以所有满足条件的集合有：，，.【小问2详解】当时，，由是的非空子集，且时，，得中有偶数个元素，当中有两个元素时，集合可以为，元素总和为：；当中有四个元素时，集合可以为集合中任取两个的并集，集合共有6种情况，元素总和为：；当中有六个元素时，集合可以为集合中任取三个的并集，集合共有4种情况，元素总和为：；当中有八个元素时，，元素之和为：，所以所有满足条件的集合的元素总和为.21.某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．【正确答案】（1）当前墙长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元（2）当时，无