高等数学 课件【ch01】函数、极限和函数的连续性

函数、极限和函数的连续性第一章高等数学高等职业教育数字课程改革创新系列教材01函数一、数集与区间高等数学中常用的数集包括自然数集（记为N）、整数集（记为Z）、有理数集（记为Q）和实数集（记为R）。数值范围通常用区间表示。区间包括四种有限区间和五种无限区间。函数函数有限区间a、b都是有限数，因此以上四种区间统称为有限区间。无限区间引入记号+∞（读作“正无穷大”）及-∞（读作“负无穷大”），则可类似地表示无限区间。二、邻域三、函数的概念函数是指集合上的一种基础的拓扑结构。函数的定义：我们在观察或研究某种自然现象或技术的过程中，常会遇到两种不同的量。一种是在某过程中保持不变的量，称为常量，如圆周率、重力加速度、北京至南京的直线距离等。另一种是在某过程中可在一定范围内取不同数值的量，称为变量，如自然界中的温度、变速运动物体的速度、经济问题中的商品的价格等，通常用字母x、y、z等表示。函数010302函数的定义域函数的定义域就是使式子有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。函数值在函数的表达式中，自变量x用数代入所得到的数值就是函数值。函数的表示法函数f（x）的具体表达方式是不尽相同的，这就产生了函数的不同表示法。函数函数四、函数的几种特性奇偶性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。有界性：设函数y=f（x）的定义域为D，数集，若存在一个正数M，使得对于任意的，恒有。单调性：单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数，并称区间I是该函数的单调区间。周期性：对于每个周期函数来说，定义中的T有无穷多个，通常所说的周期函数的周期都是指它的最小正周期。函数五、初等函数函数基本初等函数：我们将常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六类函数统称为基本初等函数。复合函数：设函数y=（u）的定义域为D，函数

的值域为M，如果，则通过中间变量u构成x的函数，称为由和构成的复合函数。函数其中，x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量。通常又将y=f（u）称为外层函数，简称外函数；u=φ（x）称为内层函数，简称内函数。初等函数：将由基本初等函数经过有限次四则运算（加、减、乘、除），且可以用一个数学式子表示的函数称为初等函数。六、函数关系的建立建立函数关系举例：要把实际问题中变量之间的函数关系正确抽象出来，首先应分析哪些是常量、哪些是变量。然后确定选取哪个为自变量、哪个为因变量，最后根据题意建立它们之间的函数关系，同时给出函数的定义域。函数函数常用的经济函数：（1）需求函数与供给函数在研究市场问题时，常常会设计两个重要的函数，即需求函数和供给函数。（2）成本函数、收入函数和利润函数在产品的生产和经营活动中，人们总希望尽可能降低成本、提高收入和增加利润，而成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量Q密切相关。02极限的概念一、数列的极限古人云：“一尺之槌，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木槌，每天取它的一半，永远取不尽。我们把每天取后剩下的部分记为像这样按一定规律排列的一列数称为无穷数列，简称数列。极限的概念极限的概念数列可以看作自变量定义在正整数集上的函数。当项数无限增大时，数列通项的变化趋势有两种情况，要么无限趋近于某个确定的常数，要么无法趋近于一个常数。将此现象抽象，便可以得到数列极限的描述性定义。二、函数的极限极限的概念数列可以看作自变量为正整数n的函数，yn=f（n）。数列{yn}的极限为常数A，即当自变量n取正整数且无限增大（n→∞）时，对应的函数值f（n）无限接近常数A。若将数列极限概念中自变量n和函数值f（n）的特殊性撇开，则可以引出函数极限的一般概念。在自变量x的某个变化过程中，若其对应的函数值无限接近于某个确定的常数A，则常数A就为x在该变化过程中函数f（x）的极限。极限的概念极限的概念自变量趋向于无穷大时函数的极限：如果当x的绝对值无限增大时，函数f（x）无限接近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）当（x→∞）时的极限。自变量趋向于某一实数时函数的极限：现在研究自变量x趋向于某一实数x0(x→x0)时，函数f（x）的变化趋势。三、无穷大量与无穷小量无穷大量：在x→α时，函数f（x）的绝对值无限地增大，那么称函数f（x）在x→α时为无穷大量，简称无穷大。说明：在本段讨论中，记号“

”中的α是指有限数

中的任意一种。极限的概念极限的概念无穷小量：无穷小的概念：如果

，那么称函数f（x）在x→α时为无穷小量，简称无穷小。注：（1）无穷小是以零为极限的变量（函数），不要把一个绝对值很小的数误认为是无穷小。极限的概念无穷大与无穷小的关系：在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小的倒数为无穷大。无穷小的比较：两个无穷小之商的极限存在很大差异，这种情况反映了两个无穷小趋于零的“快慢”程度的不同，其中x2比x快些。03极限的运算一、极限的运算法则当遇到求分母的极限为零、分子的极限不为零的分式函数的极限时，可利用倒数的极限及无穷大与无穷小的关系来确定原式的极限。当遇到求分子、分母的极限都为零（这类极限常称为型未定式极限）的有理分式函数极限时，应先将分子、分母因式分解，约去趋于零的公因式，再求极限。极限的运算极限的运算当遇到求0/0型非有理函数未定式极限时，若分子或分母中含有根式，可以先将分子或分母进行有理化，约去趋于零的公因式，再求极限。当遇到求这种分子、分母都是多项式的∞/∞型未定式极限时，可以先将分子、分母同除以它们的最高次幂，再求极限。二、两个重要极限极限的运算当遇到求两个根式差的极限时，若这两个根式都是无穷大，则可以先将它们看作分母为1的分式进行分子有理化，再求极限。

特别强调的是，应用该重要极限时应注意它的格式。

特别强调的是应用该重要极限时应注意它的格式：在某一变化过程中，底的极限为1，指数是无穷大（称为1∞型），且底中1加的部分与指数是倒数关系。极限的运算04函数的连续性函数的连续性在客观世界中，许多现象和运动都是连续不断变化的，如一天中气温是随时间连续变化的、植物生长过程是连续且有序变化的、曲线y=lnx是连续变化的。为了确切地描述一个变量随另一个变量的变化情况，在这一节中引入函数的连续性概念。一、函数的连续性连续函数的概念：为了描述函数的连续性，先引入函数增量的概念。函数f（x）在点x0处连续的直观意义是自变量的改变量△x为无穷小时，函数相应的改变量△y也为无穷小。函数的连续性函数的连续性左连续与右连续：类似于左极限与右极限，也有左连续与右连续的概念。函数f（x）在点x0处连续的充分必要条件是函数f（x）在点x0处既左连续又右连续。连续函数与连续区间：若函数f（x）在开区间（a，b）内的每点都连续，则称函数f（x）在区间（a，b）内连续。二、函数的间断点及其分类函数的连续性由函数在某点连续的定义f（x）可知，若函数在点x0处连续的三个条件中的任一条件不成立，则点x0是函数f（x）的间断点。函数的第一类间断点又可分为可去间断点和跳跃间断点。函数的第二类间断点通常又可分为无穷间断点和振荡间断点。函数的连续性三、初等函数的连续性若已知函数f（x）在点x0处连续，则由定义16可得

。这为求函数的极限开辟了一条新的途径。我们已经知道六类基本初等函数在其定义域内是连续的。其次还可以证明两个函数经过和、差、积、商（分母不为零）及复合运算后仍是连续函数，因此再由初等