华中科技大学课件-贝塞尔函数

附录：函数基本知识(1)定义(2)函数递推公式时，有为正整数尤其，当(3)当时1第1页第五章贝塞尔函数在应用分离变量法解其它偏微分方程定解问题时，也会导出其它形式常微分方程边值问题，从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就是人们常说特殊函数。本章，我们将经过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，导出贝塞尔方程；然后讨论这个方程解法及解相关性质；最终再来介绍贝塞尔函数在处理数学物理中相关定解问题一些应用。2第2页5.1贝塞尔方程及贝塞尔函数一、贝塞尔方程导出在应用分离变量法处理圆形膜振动问题或薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会碰到贝塞尔方程。下面，我们以圆盘瞬时温度分布为例来导出贝塞尔方程。设有半径为圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度一直保持0度，且初始温度分布为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。我们用来表示时刻处温度函数。圆盘上点3第3页这个问题归结为求解以下定解问题：(2)(1)(3)应用分离变量法求这个问题解。为此，令代入方程(1)得用乘之，得4第4页于是有(2)(1)(3)(4)(5)方程(4)解为亥姆霍兹方程由边界条件(2)有(6)5第5页(2)(1)(3)为了求解方程(5)满足条件(6)非零解，(5)(6)我们采取平面上极坐标系，则得定解问题(7)(8)6第6页(7)(8)再令代入方程(7)得两端乘以移项得于是有(9)(10)7第7页(9)(10)因为温度函数是单值，所以也必是单值函数，即求解常微分方程边值问题可得8第8页(9)(10)将代入方程(10)得(11)该方程叫做阶贝塞尔方程。由边界条件(8)可知另外，因为圆盘上温度是有限，尤其在圆心处也应如此，由此可得9第9页所以，原定解问题最终处理就归结为求问题固有值与固有函数。若令并记(11)将上式代入方程(11)可得则(12)方程(12)是含有变系数二阶线性常微分方程，它解称为贝塞尔函数。(有时称之为柱函数)。10第10页二、贝塞尔函数(12)由微分方程解理论知：方程(12)有以下形式广义幂级数解：(13)其中为常数，下面来确定为此，将(13)以及带入方程(12)11第11页(12)(13)可得12第12页(12)(13)13第13页(13)比较上式两边系数则有(14)(15)(16)因为从(14)可得下面分三种情形讨论14第14页(13)(15)(16)情形1假如不为整数(包含0)和半奇数，则也不为整数。先取代入(15)得代入(16)得(17)由(17)可知15第15页(13)(17)另外16第16页因为是任意常数，我们能够这么取值：使普通项系数中与有相同次数，而且同时使分母简化。为此取利用递推公式则普通项系数变为将此系数表示式代回(13)中，(13)17第17页(12)(13)得到方程(12)一个特解，记作(18)称为阶第一类贝塞尔函数。又因为则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上是绝对收敛。18第18页(13)(15)(16)再令代入(15)得代入(16)得由上公式可知19第19页(13)另外20第20页因为是任意常数，我们能够这么取值：使普通项系数中与有相同次数，而且同时使分母简化。为此取利用递推公式则普通项系数变为将此系数表示式代回(13)中，(13)21第21页(12)(13)得到方程(12)另外一个特解，记作称为阶第一类贝塞尔函数。(19)因为所以与线性无关，由齐次线性常微分方程解结构定理知，方程(12)通解为其中为两个任意常数。(20)称为阶第一类贝塞尔函数。与线性无关，22第22页(12)(20)(22)假如在(20)中取则得方程(12)另一个与线性无关特解，记作(21)所以方程(12)通解可写成称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数。23第23页(13)(16)情形2假如为整数(包含0)，则也为整数。依照之前做法，一样可得方程(12)两个特解(18)(19)(12)24第24页(18)(19)(23)注意当为整数时，利用函数递推公式可得从而特解之一(18)可化为而此时函数与线性相关。25第25页实际上，我们不妨设为某正整数当时，将是(23)(19)负整数与0，对于这些值为无穷大，所以令得26第26页(23)则化简得与当为整数时是这就说明了线性相关。为了求出贝塞尔方程通解，我们还需要求出一个与线性无关特解。27第27页而当为整数时，不为整数。与当不为整数时，其中为整数，(21)由(21)式知，是因为于是(21)式右端成为形式不定型，此时我们很自然地定义而当为整数时，与当不为整数时，由(21)式知，是因为为整数时，与当不为整数时，由(21)式知，是线性无关，28第28页应用洛必达法则经过冗长推演(可参阅H.H.列别捷夫著，张燮译《特殊函数及其应用》，高等教育出版社，1987），得29第29页阶贝塞尔方程与线性无关其中称为欧拉常数。显然是特解。无穷大30第30页(12)是否为整数，总而言之，不论为任意实数。其中为任意实数，当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数。当为半奇数时，留在下一节讨论。贝塞尔方程(12)通解都可表示为另外，由推出，情形3为整数时，31第31页5.2贝塞尔函数递推公式不一样阶贝塞尔函数之间有一定联络，本节来建立反应这种联络递推公式。(18)(21)由表示式(18)可推出以下两个基本递推公式：(25)(26)32第32页(25)(26)实际上，在(18)式两边乘上然后对求导，得令得33第33页一样能够证实公式(25)。(25)(26)实际上，在(18)式两边乘上然后对求导，得34第34页(25)(26)假如将以上两式左端导数表出，化简后则得先后消去与则得(27)(28)显然(25)(26)式与(27)(28)式是等价。35第35页(25)(26)(27)(28)与若已知之值，由(27)式可算出之值。这么一来，经过(27)式，能够用0阶与1阶贝塞尔函数来表示任意正整数阶贝塞尔函数。尤其，当时，由(26)式得36第36页(25)(26)尤其，当时，由(26)式得当时，由(25)式得(29)(27)(28)37第37页例(27)(28)(29)求解由(27)式知，则有38第38页对于第二类贝塞尔函数，也有以下递推公式成立：39第39页当(18)(27)为半奇数时贝塞尔函数一个主要特点是可用初等函数表示。