江苏专用2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.4直线与圆的位置关系教案含解析

PAGEPAGE1§9.4直线与圆的位置关系考情考向分析考查直线与圆的位置关系的推断，依据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型以填空题为主．推断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：eq\o(→,\s\up7(判别式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0⇔相交；,＝0⇔相切；,<0⇔相离.))概念方法微思索1．过肯定点作圆的切线，切线条数可能有几种状况．提示三种状况，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．2．求圆的弦长有几种常用方法．提示三种．(1)用代数法求出弦的端点坐标，然后利用两点间的距离公式．(2)利用半径、半弦和圆心到直线的垂线段构成的直角三角形．题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(×)(2)直线y＝kx＋1和圆x2＋y2＝4肯定相交．(√)(3)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(5)假如直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(√)题组二教材改编2．[P115T1]圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．答案相交解析圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离为eq\f(|2－2－5|,\r(5))＝eq\r(5)<eq\r(6)，故直线与圆相交．3．[P117习题T2(3)]若过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为eq\r(2)，则直线l的斜率为________．答案1或eq\f(17,7)解析将圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心坐标为(1,1)，半径r＝1，又弦长为eq\r(2)，∴圆心到直线l的距离d＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，设直线l的斜率为k，又直线l过点(－1，－2)，∴直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴eq\f(|2k－3|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(2),2)，即(k－1)(7k－17)＝0，解得k＝1或k＝eq\f(17,7)，则直线l的斜率为1或eq\f(17,7).题组三易错自纠4．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是________________．答案[－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1]解析圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝eq\f(|2－1＋m|,\r(2))，若直线与圆恒有公共点，则eq\f(|2－1＋m|,\r(2))≤2，解得－2eq\r(2)－1≤m≤2eq\r(2)－1.5．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵OA＝eq\r(3－12＋5－22)＝eq\r(13)>2，∴点A(3,5)在圆外．明显，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，即|3－2k|＝2eq\r(k2＋1)，∴k＝eq\f(5,12)，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.6．(2024·苏北四市摸底)若直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，则实数a的值是________．答案－2解析圆x2＋y2－2ax＋a＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2－a，∴圆心为(a,0)，半径为eq\r(a2－a)，圆心到直线的距离为d＝eq\f(a2＋1,\r(a2＋1))＝eq\r(a2＋1).∵直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，∴a2＋1＋1＝a2－a，∴a＝－2.题型一直线与圆的位置关系的推断1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．答案相交解析因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq\f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1.所以直线与圆相交．2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________．答案相交解析直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．3．在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是________．答案相切解析因为asinA＋bsinB－csinC＝0，所以由正弦定理，得a2＋b2－c2＝0.故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切．4．(2024·苏州、无锡、常州、镇江三模)若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．答案[0,10]解析圆的方程x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(－1,2)，半径r＝1，圆心到直线3x＋4y－m＝0的距离d＝eq\f(|－3＋8－m|,\r(9＋16))＝eq\f(|5－m|,5)，∵直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，∴0≤eq\f(|5－m|,5)≤1，解得0≤m≤10，∴实数m的取值范围是[0,10]．思维升华推断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ推断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可推断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．题型二切线问题例1已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满意下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．解(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，则eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10)，∴b＝1±2eq\r(5)，∴切线方程为x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10)，∴m＝±5eq\r(2)，∴切线方程为2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)∵kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3)，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.思维升华解决圆的切线问题的关键是抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系求解．跟踪训练1已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．答案2eq\r(2)解析如图，由题意知，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，由PA＝PB易知，四边形PACB的面积为eq\f(1,2)(PA＋PB)＝PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小．由于PA＝eq\r(PC2－1)，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，PC＝eq\f(|3＋4＋8|,5)＝3，PA＝eq\r(PC2－1)＝2eq\r(2)，所以四边形PACB面积的最小值是2eq\r(2).题型三直线与圆相交问题命题点1圆的弦长例2直线x＋eq\r(3)y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．答案2eq\r(3)解析∵圆x2＋y2＝4的圆心为点(0,0)，半径r＝2，∴圆心到直线x＋eq\r(3)y－2＝0的距离d＝eq\f(|－2|,2)＝1，∴弦长AB＝2eq\r(4－1)＝2eq\r(3).命题点2直线与圆相交求参数范围例3已知直线l：kx－y－2k＝0，圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0.(1)求证：无论k取何值，直线l与圆C都有两个交点；(2)若k＝1，求直线l被圆C截得的弦长；(3)是否存在实数k，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．(1)证明直线l的方程可化为k(x－2)－y＝0，所以直线l过定点(2,0)．由于22＋02－2×2－2×0－2<0，故点(2,0)在圆C内，所以直线l与圆C恒有两个交点．(2)解当k＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心C(1,1)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，所以直线l被圆C截得的弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).(3)解存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由kx－y－2k＝0与x2＋y2－2x－2y－2＝0消元得(k2＋1)x2－(4k2＋2k＋2)x＋4k2＋4k－2＝0，x1,2＝eq\f(4k2＋2k＋2±\r(4k2＋2k＋22－4k2＋14k2＋4k－2),2k2＋1)，所以x1＋x2＝eq\f(4k2＋2k＋2,k2＋1)，x1x2＝eq\f(4k2＋4k－2,k2＋1).因为以线段AB为直径的圆过原点，所以x1x2＋y1y2＝0，所以(k2＋1)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，所以(k2＋1)·eq\f(4k2＋4k－2,k2＋1)－2k2·eq\f(4k2＋2k＋2,k2＋1)＋4k2＝0，所以k＝－1±eq\r(2).思维升华(1)直线和圆问题的代数解法就是联立直线方程和圆的方程，通过交点坐标满意的关系式解题，往往“设而不求”．(2)弦长问题可采纳几何法，利用半弦、半径和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形．跟踪训练2(1)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则MN＝__________.答案4eq\r(6)解析由已知，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2eq\r(6)，y2＝－2＋2eq\r(6)，所以MN＝|y1－y2|＝4eq\r(6).(2)(2024·江苏省如东高级中学等四校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝2，直线x＋by－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\r(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，则b的取值范围是________________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(15),3)))解析设AB中点为M，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\r(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，即2OM≥eq\r(3)×2AM，即OM≥eq\f(\r(3),2)OA＝eq\f(\r(6),2).又直线x＋by－2＝0与圆C相交于A，B两点，所以eq\f(\r(6),2)≤OM<eq\r(2)，而OM＝eq\f(2,\r(1＋b2))，所以eq\f(\r(6),2)≤eq\f(2,\r(1＋b2))<eq\r(2)，解得1<b2≤eq\f(5,3)，即b的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(15),3))).1．(2024·如皋调研)已知圆x2＋y2＝9被直线mx＋y－2m－1＝0所截得弦长为3eq\r(2)，则实数m的值为________．答案1或7解析因为圆x2＋y2＝9的圆心是(0,0)，半径为3，依据弦长为3eq\r(2)，所以圆心到直线的距离为d＝eq\r(9－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，所以d＝eq\f(|－2m－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(3\r(2),2)，解得m＝1或m＝7.2．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是________．答案5eq\r(2)解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(3eq\r(2))2，圆心到直线的距离为eq\f(|2＋2－8|,\r(2))＝2eq\r(2)<3eq\r(2)，故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为3eq\r(2)＋2eq\r(2)＝5eq\r(2).综上可得，圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是5eq\r(2)－0＝5eq\r(2).3．过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________．答案2y＋1＝0解析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以PC＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0.4．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值为________．答案－1解析因为△ABC为直角三角形，所以BC＝AC＝r＝4，所以圆心C到直线AB的距离为2eq\r(2)，从而有eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝2eq\r(2)，解得a＝－1.5．(2024·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx被圆x2＋y2－2mx－2eq\r(3)my＋3m2－1＝0截得的弦长是定值(与实数m无关)，则实数k的值为________．答案eq\f(\r(3),3)解析由圆的方程可得(x－m)2＋(y－eq\r(3)m)2＝m2＋1，所以圆心为(m，eq\r(3)m)，R＝eq\r(m2＋1)，圆心到直线的距离d＝eq\f(|\r(3)m－km|,\r(1＋k2))，由题意R2－d2＝m2＋1－eq\f(\r(3)－k2m2,1＋k2)，不论m取何值时，此式为定值，所以当eq\f(\r(3)－k2,1＋k2)＝1时，R2－d2为定值1，即k＝eq\f(\r(3),3).6．(2024·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，0)，点B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上的点，点M为AB的中点，若直线l：y＝kx－eq\r(5)k上存在点P，使得∠OPM＝30°，则实数k的取值范围是________．答案[－2,2]解析因为点M为AB中点，所以OM＝eq\f(1,2)CB＝1，即点M的轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM为单位圆切线时，∠OPM取得最大值，所以∠OPM≥30°，从而OP＝eq\f(1,sin∠OPM)≤2，因此原点到直线l：y＝kx－eq\r(5)k的距离不大于2，即eq\f(|－\r(5)k|,\r(k2＋1))≤2，解得－2≤k≤2.7．已知圆O：x2＋y2＝1，若直线y＝eq\r(k)x＋2上总存在点P，使得过点P的圆O的两条切线相互垂直，则实数k的最小值为________．答案1解析因为过点P的⊙O的两条切线相互垂直，所以点P到圆心O的距离为eq\r(2)×1＝eq\r(2)，又因为直线y＝eq\r(k)x＋2上总存在这样的点P，8．(2024·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州调研)在平面直角坐标系xOy中，若过点P(－2,0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－eq\r(3))2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．答案4解析设过点P(－2,0)的直线方程为y＝k(x＋2)，∵过点P(－2,0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，∴eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，不妨取k＝eq\f(\r(3),3)，PT＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴PT＝RS＝eq\r(3)，∵直线y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)与圆(x－a)2＋(y－eq\r(3))2＝3相交于R，S，且PT＝RS，∴圆心(a，eq\r(3))到直线y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a－\r(3)＋\f(2\r(3),3))),\r(\f(1,3)＋1))＝eq\r(\r(3)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2).∵a>0，∴a＝4.9．已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上随意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则PA的最小值为________．答案2－eq\r(2)设P(cosα，sinα)，则A(cosα，2－cosα)，∴PA＝|2－cosα－sinα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))，∴PA的最小值为2－eq\r(2).方法二由题意可知圆心(0,0)到直线x＋y＝2的距离d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，∴圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为eq\r(2)－1.由题意可得PAmin＝eq\r(2)(eq\r(2)－1)＝2－eq\r(2).10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________．答案eq\f(4,5)π解析由题意得AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E)的长度．由点到直线的距离公式得OE＝eq\f(4,\r(5)).∴圆C面积的最小值为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))))2＝eq\f(4,5)π.11．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满意条件PM＝PO的点P的轨迹方程．解把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满意条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，则eq\f(|－k－2＋3－k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq\f(3,4).∴l的方程为y－3＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－15＝0.综上，满意条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.(2)设P(x，y)，则PM2＝PC2－MC2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，PO2＝x2＋y2，∵PM＝PO，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.12．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)设圆心C(a,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>－\f(5,2)))，则eq\f(|4a＋10|,5)＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝kx－1，))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，x1,2＝eq\f(2k2±\r(4k2－4k2＋1k2－4),2k2＋1)，所以x1＋x2＝eq\f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq\f(k2－4,k2＋1).若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN，即eq\f(y1,x1－t)＋eq\f(y2,x2－t)＝0，则eq\f(kx1－1,x1－t)＋eq\f(kx2－1,x2－t)＝0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，亦即eq\f(2k2－4,k2＋1)－eq\f(2k2t＋1,k2＋1)＋2t＝0，解得t＝4，所以当点N坐标为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．13．若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，则t＝aeq\r(1＋2b2)取得最大值时a的值为________．答案eq\f(3,4)解析由已知可得圆心(0,0)到直线2ax＋by－2＝0的距离d＝eq\f(2,\r(4a2＋b2))，则直线被圆截得的弦长为2eq\r(4－\f(4,4a2＋b2))＝2eq\r(3)，化简得4a2＋b2＝4.∴t＝aeq\r(1＋2b2)＝eq\f(1,2\r(2))·(2eq\r(2)a)·eq\r(1＋2b2)≤eq\f(1,4\r(2))[(2eq\r(2)a)2＋(eq\r(1＋2b2))2]＝eq\f(1,4\r(2))(8a2＋2b2＋1)＝eq\f(9,4\r(2))，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8a2＝1＋2b2，,4a2＋b2＝4))时等号成立，即t取最大值，此时a＝eq\f(3,4)(舍负值)．14．(2024·江苏盐城东台中学监测)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋eq\r(3)y－2＝0上的两点E，F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为A，B，若满意PB≥2PA，则线段EF的长度为________．答案eq\f(2\r(39),3)解析由PB≥2PA，得PB2≥4PA2，所以PC2－4≥4(PO2－1)，所以PC2≥4PO2，设P(x，y)，所以x2＋y2＋eq\f(8,3)x－eq\f(16,3)≤0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,3)))2＋y2≤eq\f(64,9)，点P在圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,3)))2＋y2＝eq\f(64,9)上及圆内，圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，0))到直线x＋eq\r(3)y－2＝0的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)－2)),\r(1＋3))＝eq\f(\f(10,3),2)＝eq\f(5,3)，因为EF为直线截圆所得的弦，所以EF＝2eq\r(\f(64,9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2)＝2eq\r(\f(39,9))＝eq\f(2\r(39),3).15．已知圆O：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝