北师大版第一学期九年级期末考试数学试卷(含答案)

北师大版九年级上册数学期末试卷一．选择题1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列关系式错误的是（）A．a＝btanA B．b＝ccosA C．a＝csinA D．c＝2．一个不透明的布袋里装有2个红球，2个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出2个球，恰好是1个红球1个白球的概率为（）A． B． C． D．3．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．64．将抛物线y＝2x2向左移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到如图所示的图象，则图中点A的坐标为（）A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）5．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（）A．32° B．48° C．60° D．66°6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣10234y50﹣4﹣30下列结论正确的是（）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．当0≤x≤4时，y≥0 D．若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x27．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°8．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A． B． C． D．9．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A．B． C．D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，AB＝2，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，则图中阴影部分面积为（）A． B． C． D．二．填空题11．如图抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a﹣b+c＜0；③b+2a＝0；④当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；⑥方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根，其中结论正确的结论的序号是．12．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴为直线：．13．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有个球．14．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为．15．已知⊙O的半径是4cm．（1）若OP＝2cm，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为，最长距离为．（2）若OP＝6cm，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为，最长距离为．（3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为3cm，则最长距离为．16．如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角∠BAE＝30°，高DE＝2m，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是．17．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为2m，且到地面的距离为3m，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．三．解答题19．已知等腰三角形ABC，如图．（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．20．心相邻超市试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．22．某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D，求DC的长．23．如图，在△ACD的外接圆中，弦AB平分∠DAC，AC＝AD，过点B作圆的切线BE，交AD的延长线于点E．（1）求证：CD∥BE；（2）已知，AC＝5，sin∠CAB＝，求BE的长．24．疫情期间，游海中学进行了一次线上数学学情调查，九（1）班数学李老师对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图．60到70之间学生成绩尚未统计，根据情况画出的扇形图如图．请解答下列问题：类别分数段频数（人数）A60≤x＜70aB70≤x＜8016C80≤x＜9024D90≤x＜1006（1）完成频数分布表，a＝，B类圆心角＝°，并补全频数分布直方图；（2）全校九年级共有720名学生全部参加此次测试，估计该校成绩80≤x＜100范围内的学生有多少人？（3）九（1）班数学老师准备从D类优生的6人中随机抽取两人进行线上学习经验交流，已知这6人中有两名是无家长管理的留守学生，求恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的概率．25．如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是（﹣1，2）（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．26．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CF＝4，DF＝，求⊙O的半径r及sinB．27．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（1，2），B（﹣3，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E为直线AB下方抛物线上任意一点，连接AE，BE，求△EAB面积的最大值及此时点E的坐标；（3）点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A，B，D为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．

参考答案一．选择题1．解：A、tanA＝，则a＝btanA，选项表示正确；B、cosA＝，则b＝ccosA，选项表示正确；C、sinA＝，则a＝csinA，选项表示正确；D、cosA＝，则c＝，选项表示错误．因本题选错误的，故选：D．2．解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，同时摸两个球恰好是1个红球1个白球有8种情况，∴摸到的球恰好是1个红球1个白球的概率＝＝，故选：A．3．解：过点O作OD⊥BC于D，则BC＝2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵⊙O的半径为4，∴BD＝OB•cos∠OBC＝4×＝2，∴BC＝4．故选：B．4．解：将抛物线y＝2x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y＝2（x+2）2；再向下平移2个单位为：y＝2（x+2）2﹣2，如图所示，该抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣2），所以点A的坐标是（2，﹣1）．故选：A．5．解：∵CA、CD是⊙O的切线，∴CA＝CD，∵∠ACD＝48°，∴∠CAD＝∠CDA＝66°，∵CA⊥AB，AB是直径，∴∠ADB＝∠CAB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠DBA＝∠CAD＝66°，故选：D．6．解：由表格可得，该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，故选项B正确；该抛物线的开口向上，故选项A错误；当0≤x≤4时，y≤0，故选项C错误；由二次函数图象具有对称性可知，若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2或x2＜x1，故选项D错误；故选：B．7．解：连接DC，∵C（，0），D（0，1），∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝，∴∠DCO＝30°，∴∠OBD＝30°，故选：B．8．解：过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB＝＝，AD＝＝2cosA＝＝＝，故选：D．9．解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，∴AO＝2，OP＝x，则AP＝2﹣x，∴tan60°＝＝，解得：AB＝（2﹣x）＝﹣x+2，∴S△ABP＝×PA×AB＝（2﹣x）••（﹣x+2）＝x2﹣2x+2，故此函数为二次函数，∵a＝＞0，∴当x＝﹣＝2时，S取到最小值为：＝0，根据图象得出只有D符合要求．故选：D．10．解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴cosA＝＝，∴∠A＝60°，∵BA＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴S阴＝S扇形BAD﹣S△ABD＝﹣×22＝π﹣，故选：B．二．填空题11．解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，因此①符合题意；抛物线过（﹣1，0），当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，因此②不符合题意；对称轴为x＝1＝﹣，即2a+b＝0，因此③符合题意；由于对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），因此与x轴的另一个交点为（3，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3，所以④不符合题意；由于对称轴为x＝1，开口向下，因此当x＜1时，y随x的增大而增大，故⑤符合题意；由图象可知，直线y＝2与抛物线有两个不同交点，所以方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根，因此⑥符合题意；综上所述，正确的结论有：①③⑤⑥，故答案为：①③⑤⑥．12．解：∵a＝﹣3，b＝6，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝1．故答案为：x＝1．13．解：设球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.25左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.25，∴，解得：x＝20，即球的个数为20个，故答案为：20．14．解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，∵∠ADB＝20°，∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，而360°÷40°＝9，∴这个正多边形为正九边形，故答案为：九．15．解：（1）OP＝2cm，则P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是4﹣2＝2cm，最长距离是2+4＝6cm．故答案是：2cm，6cm；（2）OP＝6cm，则点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为6﹣4＝2cm，最长距离是6+4＝10cm．故答案是：2cm，10cm；（3）当P在圆内部时，最长距离是2×4﹣3＝5cm，当P在圆外时，最长距离是3+4+4＝11cm．故答案是5cm或11cm．16．解：如图，过点B作BF⊥CE于点F，则BF＝DE＝2m，在Rt△ABF中，∵∠BAE＝30°，∴AF＝＝＝2（m），在Rt△BCF中，∵BF：CF＝1：5，∴CF＝5×2＝10，则AC＝CF﹣AF＝（10﹣2）m．故答案为：（10﹣2）m．17．解：如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（2，3）、点A（0，2），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，将点A（0，2）代入，得：4a+3＝2，解得：a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，当y＝0时，有﹣（x﹣2）2+3＝0，解得：x＝2（舍）或x＝2+2，∴BC＝（2+2）米，答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为（2+2）m．故答案为：（2+2）m．18．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CG＝DG，，∠AGF＝∠AGD＝90°，∴∠ADF＝∠E，又∵∠DAF＝∠EAD，∴△ADF∽△AED，∴①正确；∵＝，CF＝2，∴FD＝6，∴CD＝8，∵CG＝DG，∴CG＝DG＝4，∴FG＝2，∴②正确；∵AF•EF＝CF•FD，即3EF＝2×6，∴EF＝4，∴AE＝7，∵△ADF∽△AED，∴，∴AD2＝AE×AF＝7×3＝21，在Rt△ADG中，AG＝＝＝，∴tan∠E＝tan∠ADF＝＝，∴③错误；作EM⊥CD于M，如图所示：则EM∥AB，∴△EFM∽△AFG，∴，即，∴ME＝，∴S△DEF＝FD•ME＝×6×＝4，∴④正确；故答案为：①②④．三．解答题19．解：（1）（4分）（2）在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，∵∠BOC＝128°，∴∠BDC＝∠BOC＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝116°．20．解：（1）w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800，∴w与x之间的函数解析式为z＝﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）；（2）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512，∴当x＝34时，w取得最大，最大利润为512元．答：当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润，最大利润是512元．21．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD；（2）解：连接OD，∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE＝35°，∴∠DAB＝∠CAE＝35°，∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，∴的长＝＝π．22．解：过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，∵i＝5：12，∴，∵AB＝13米，∴BM＝5米，AM＝12米，∴BM＝DF＝5米，设EF为x米，则BF＝（4+x）米，∵∠CBF＝45°，∴BF＝CF＝（4+x）米，∵∠CEF＝60°，∴，解得x＝2+2，∴米，∴米，答：DC的长度为米．23．证明：（1）设AB与CD的交点为F，连接BD，∵AC＝AD，AB平分∠DAC，∴AB⊥CD，DF＝CF，∴AB是直径，∵BE是△ACD的外接圆的切线，∴BE⊥AB，∴CD∥BE；（2）∵AC＝5，sin∠CAB＝＝，∴CF＝3＝DF，∴AF＝＝＝4，∵cos∠DAB＝，∴AB＝＝，∵tan∠DAB＝，∴＝，∴BE＝．24．解：（1）调查的总人数为：24÷50%＝48（人），∴a＝48﹣16﹣24﹣6＝2，B类圆心角的度数为360°×＝120°，故答案为2，120；补全频数分布直方图为：（2）720×＝450（人），所以估计该校成绩80≤x＜100范围内的学生有450人；（3）把D类优生的6人分别即为1、2、3、4、5、6，其中1、2为留守学生，画树状图如图：共有30个等可能的结果，恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的结果有16个，∴恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的概率为＝．25．解：（1）过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AF＝2，OF＝1．∵OA⊥OB，∴∠AOF+∠BOE＝90度．又∵∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOF＝∠OBE，∴Rt△AFO∽Rt△OEB，∴，∴BE＝2，OE＝4，∴B（4，2）．（2）设过点A（﹣1，2），B（4，2），O（0，0）的抛物线为y＝ax2+bx+c．∴解之，得，∴所求抛物线的表达式为y＝x2﹣x．（3）由题意，知AB∥x轴．设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，则S△ABP＝AB•d＝AB•AF＝5．∴d＝2．∴点P的纵坐标只能是0，或4．令y＝0，得y＝x2﹣x＝0．解之，得x＝0，或x＝3．∴符合条件的点P1（0，0），P2（3，0）．令y＝4，得x2﹣x＝4．解之，得．∴符合条件的点，．∴综上，符合题意的点有四个：P1