三年级上册数学试题-奥数 几何图形剪拼（A级）

图形剪拼A

一知识框架

-、本讲主要学习三大图形处理方法:

(D理解掌握图形的分割；

(2)理解掌握图形的拼合；

(3)理解图形的剪拼.

本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试.通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分

割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力.

(1)把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割.

(2)反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合.

(3)将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼.

我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考.

(1)如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称

点，把图形先分少，再分多.

(2)图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的

多少，再结合数量来分割图形.

(3)如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼

合在一起，先拼少的，再拼多的.

(4)如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和

图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法.

二、解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形(等角直角三角形、等边三角形等)、正

-1-

方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解

配

三、解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方

法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。

♦例题精讲

［例1］用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法?

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答

【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题.按照规定的要求合

理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观

念，丰富想象，提高观察能力.

这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方彩中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成

两块，根据这点给出如下分法(如右图)：

(1)做长方形的两条对角线，设交点为O

(2)过O点任作一条直线直线将长方形平均分割成两块.

可见用线段平分长方形的分法是无穷多的.

【答案】(1)做长方形的两条对角线，设交点为O

(2)过。点任作一条直线直线将长方形平均分割成两块.

用线段平分长方形的分法有无穷多种。

【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条.

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】填空

【解圻】无数条.任何过六边形中心的直线均符合要求.

【答案】无数条

【例2】把任意•个三角形分成面枳相等的4个小三角形，有许多种分法.请你画出4种不问的分法.

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答

【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们

的面积必定相等.而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将

各分点与这边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法.又

因为4=1X4=2X2,所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1,那么1x4就可以视为把三

角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而2x2可以视为先把原三角形分

成两等份，再把每一份分别分成两等份,根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等

高的三角形.根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法.

t巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法.请你画出3种不同的分法.

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答

【解圻】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们

的面积必定相等.而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这

边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如图所示的三种分法.

【答案】

【例3】用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答

【解析】这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动.一去可以拼成如下图的几种形状:

-3-

【答案】

【巩固】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答

【解析】建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角

形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：

0

【答案】

0

【例4】下图是一个3x4的方格纸,请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个

小方格的完整.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】分成的两块每块有12+2=6（个）小格，并且这两块要关于中心点对祢，大小和形状完全一样，我

们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的

对称位置，标上相应的符号.当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位

置是另一种情况，具体如下图所示.

-4-

62346234622643265623

51155115511551154114

43264325433462343265

【巩固】右图是一个4x4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相司的两部分，但要保持每个小

方格的完整.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有4x4=16（个）小格，所以

分成的两块每块有16+2=8（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应

用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进.（建议教师同时呈现六幅空的4x4格图，不同

的变化在不同的图上同时呈现）如下图：

【答案】（答案不唯一）

［例5］下图是由五个正方形组成的图形.把它分成形状、人小都相同的四个图形，应怎样分？

-5-

【考点、】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解圻】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面

积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形.我们把每个正方形各分成四个面积相等的小

正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方彩.根据图形的对称性，我们很快就能得到如右

上图的分法.也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图.

【巩固】将图中的图形分割成面积相等的三块.

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答

【解析】如下图所示.

【答案】

【例6】如图，将一个等边一-角形分割成互相不重叠的23个较小的等边二角形（这些较小的等边「角形

-6-

的大小不一定都相同），请在图中画出分割的结果.

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

【关健词】2003年，小学生数学报

【解析】分割的方法不唯一，如图所示.

【答案】

【巩固】如图，将•个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不•定相同，请

画图表示.

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

【关键词】2005年，小学生数学报

【解听】分割的方法不唯一，如右图所示.

【答案】

-7-

【例7］试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分

法有好几种.组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角彩、平行四边形、梯形分成大小

相等的三角形.如图所示:

【答案】

【巩固】把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的

边长和，而是等于小正方形的对角线的长，所以要沿着两个小正方形的对角线剪开再进行拼接,

如右图.

-8-

【答案】

0区

【例8】将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解祈】总共有36块小正方形，所以最后拼成的大正方脑边长有6个单位，具体切拼方法如下:

【答案】

【巩固】将下图分成两块，然后拼成一个正方形.

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

【解圻】图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1,那么拼成的正方形的边长应该是

4.因为图形是缺角长方彩，长为6,宽为3,应将宽加1,长减去2便可得一个正方形，所以分

-9-

割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3,向上平移使宽为4）,向左平移2（原来长为6,

向左平移使长为4）.如右下图所示.

【答案】

［例9］小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上,买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来

做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎,裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎

样剪拼呢？

【考点】图形的分割与拼接

【解析】要使裁剪的块数少，就要充分利用等腰直角三角形的特点，还要尽可能多的让长方形的边与三角

形的边重合，假设拼好的长方形以8c为长，现在要把AADE补到aCGE的位置上，这就要求这

两个三角形完全一样，显然，只要取。、E分别为AB、AC的中点即可.所以首先连接的

中点。和AC的中点E,将△ADE沿DE剪开，再按顺时针方向旋转180°即可.如下图所示.

【答案】

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【巩固】试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，

加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三带形中做两条垂线，并且过三

角形两条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左下图.

方法二：因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三沟形先分割、拼凑成平行四边

形，作三角形的中位线，旋转180。即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图.

【答案】

课堂检测

【随练1】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形.

-11-

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】总格数为12,用总格数除以8,得到每个小图形应该是一个半小正方舫，根据平均一个小图形的

格数作图，如下图.

【答案】

【随练2】一个正三角形形状的土地上有四棵大树（如下图所示），现要把这块正三角形的土地

分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树.应怎样分？

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状

与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连城各边中点，即可将这块大正

三角形的土地分成与它相等的四份，如下图所示.

【总结】本题若死守三角形面积等于底x高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角

形各边中点，将原三角彩分成面积相等的四部分，问题即可解决.

【答案】

【随练3】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

-12-

【解析】方法一：考虑到矩形沿对角线可以分成两个相同的三角形，两个完全相同的三角形即可拼成一个

大的三角形，如左上图所示.

方法二：连接矩形一个角与一边中点的连线，将分割出的三角形沿中点处旋转180。即可，如右上

图所示.

方法，一:方法二:

【答案】

方法一,:方法二:

一家庭作业

【作业1］如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分（除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形

的对角线进行分割）.

【考点】图历的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解祈】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形

状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决.第一个图彩一共有6个小正方形，2个三角

形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可

以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数

是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图影，我们很容易看出有一个正

方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三

个图形更复杂一些，一共有6人正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3

-13-

个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分

开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图.

【答案】

【作业2】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的.试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】已知图形是由同样大小的5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是之个正

4

方形.由此想到，若把每个正方形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份.再稍经试验，

即得下图的解（图内部的实线为分割线）.

【答案】

【作业3】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个。.

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

-14-

【解析】图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：18+3=6(块)，而且分

割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O,而且上面的部分是对称的，但是只有

5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分.

【答案】

【作业4】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】用4块图⑷和图⑸那样的图形显然能够拼成一个大正方形.其实用图(1)、图(2)、图⑶也能拼成

一个大正方形，拼法见下图.

【答案】图形(1)、(2)、(3)(4)、(5)可以

【作业5】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形.

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【解圻】首先数一数所有的空格数，一