人教版九年级上册数学期末考试试卷含答案解析

人教版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，0）D．（1，﹣）2．已知一元二次方程x2+kx﹣5＝0有一个根为1，k的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．43．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（）个A．4 B．3 C．2 D．14．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的5．已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长离为4，则⊙O半径为（）A．4 B．3 C．2 D．16．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为A． B． C． D．7．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转后得到△COD，若，则的度数是（）A． B． C． D．8．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣39．抛物线y＝﹣x2+2x﹣2与坐标轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．4 D．4二、填空题11．若点P（﹣2，b）与点M（a，3）关于原点对称，则a+b＝_____．12．有四张看上去无差别的卡片，正面分别写有“兴城首山”、“龙回头”、“觉华岛”、“葫芦山庄”四个景区的名称，将它们背面朝上，从中随机一张卡片正面写有“葫芦山庄”的概率是__．13．若x2+3x＝0，则2019﹣2x2﹣6x的值为_____．14．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，AB＝8，则的长为_____．15．如图，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕C点逆时针旋转60°得到△FEC，延长BD交EF于H，已知∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，AC＝1，则四边形CDHF的面积为_____．16．这样铺地板：第一块铺2块，如图1，第二次把第一次的完全围起来，如图2；第三次把第二次的完全围起来，如图3；…依次方法，铺第5次时需用_____木块才能把第四次所铺的完全围起来．三、解答题17．解方程：18．已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为．19．剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）20．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．21．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；（3）在（2）的条件下，求HG的长．23．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．25．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.参考答案1．C【解析】根据二次函数的图象和性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2，∴抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是：（0，0），故选：C．【点睛】此题考查利用二次函数顶点式求顶点坐标，二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是轴，顶点是原点.2．D【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得到关于k的一次方程1﹣5+k＝0，然后解一次方程即可．【详解】解：把x＝1代入方程得1+k﹣5＝0，解得k＝4．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的解.熟记一元二次方程解得定义是解决此题的关键.3．B【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【详解】矩形，平行四边形，菱形是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．A【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【详解】A.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误；B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．故选A．【点睛】本题考查了概率的意义，解题的关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．5．D【分析】画出图形，根据图形和题意得出AC的长是A到⊙O的最长距离，AB的长是A到⊙O的最短距离，据此可求出⊙O的直径，即可求出圆的半径．【详解】解：如下图，AB为点A与⊙O上的点的最短距离，AC为点A与⊙O上的点的最长距离，∵点A在⊙O外，点A与⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，∴⊙O的直径＝4﹣2＝2，∴圆的半径是1．故选：D．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，能根据题意画出图形，得出点A到⊙O的最长距离与最短距离的差即为⊙O的直径是解决此题的关键.6．A【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．【详解】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，随机摸出一个蓝球的概率是，设红球有x个，∴＝，解得：x＝3∴随机摸出一个红球的概率是：＝．故选：A．【点睛】本题考查利用概率公式求概率，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率.7．B【分析】首先运用旋转变换的性质求出的度数，结合，即可解决问题.【详解】如图，由题意及旋转变换的性质得：=，∵，∴=+=.故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质以及旋转后图形全等，解题的关键是旋转前后对应边的夹角等于旋转角.8．D【分析】将x1=1，x2=﹣3代入到方程中，对比前后的方程解的关系，即可列出新的方程.【详解】将x1=1，x2=﹣3代入到x2+2x﹣3=0得12+2×1﹣3=0，（-3）2+2×（-3）﹣3=0对比方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，可得2x+3=1或﹣3解得：x1=﹣1，x2=﹣3故选D.【点睛】此题考查的是方程的解，掌握前后方程解的关系是解决此题的关键.9．B【分析】当x＝0时，求出与y轴的纵坐标；当y＝0时，求出关于x的一元二次方程﹣x2+2x﹣2＝0的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线y＝﹣x2+2x﹣2与x轴的交点个数．【详解】解：当x＝0时，y＝﹣2，则与y轴的交点坐标为（0，﹣2），当y＝0时，﹣x2+2x﹣2＝0，△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝﹣4＜0，所以，该方程无解，即抛物线y＝﹣x2+2x﹣2与x轴无交点．综上所述，抛物线y＝﹣x2+2x﹣2与坐标轴的交点个数是1个．故选：B．【点睛】本题考查抛物线与x轴，y轴的交点坐标.在做本题时需注意，题中问的是与坐标轴的交点个数，所以分别讨论与x轴和与y轴的交点个数两种情况.能借助一元二次方程根的判别式，判断函数与x轴的交点个数是解决此题的关键.10．D【详解】【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．【详解】∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，记垂足为E，∵CD=8，∴CE=DE=CD=4，连接OC，则OC=OA=5，在Rt△OCE中，OE==3，∴AE=AO+OE=8，则AC=，故选D．【点睛】本题考查了垂径定理、切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．11．﹣1【分析】利用关于原点对称点的性质得出a，b的值进而得出答案．【详解】解：∵点P（﹣2，b）与Q（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a+b的值为：2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查关于原点对称的点的性质，关于原点对称的点横坐标、纵坐标分别互为相反数．12．【解析】【分析】共有4种可能，符合条件的有1种，利用概率公式进行计算即可得.【详解】∵在这4张无差别的卡片上，只有1张写有“葫芦山庄”，∴从中随机一张卡片正面写有“葫芦山庄”的概率是，故答案为．【点睛】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．2019【分析】将x2+3x＝0整体代入原式＝2019﹣2（x2+3x）计算可得．【详解】解：当x2+3x＝0时，原式＝2019﹣2（x2+3x）＝2019﹣2×0＝2019﹣0＝2019，故答案为：2019．【点睛】本题考查已知式子的值，求代数式的值.能利用加括号法则将2019﹣2x2﹣6x变形为2019﹣2（x2+3x）是解决此题的关键.14．【分析】利用同弧所对圆周角为圆心角的一半，求出∠AOD=60°，从而求出所对的圆心角为120°，然后根据弧长公式即可求解.【详解】解：连接OD，∵∠ABD＝30°，∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，∴∠BOD＝120°，∵AB＝8，∴R＝4，∴的长＝，故答案为．【点睛】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，能结合圆周角定理计算出所对的圆心角的度数是解决此题的关键.15．【分析】利用解直角三角形得到BC＝2AC＝2，AB＝，再利用翻折、旋转的性质知AC＝CD＝CF＝1，∠ACB＝∠BCD＝∠FCE＝60°，CE＝CB＝2，EF＝BD＝AB＝，∠E＝∠ABC＝30°，则DE＝1，接着计算出DH＝DE＝，然后利用S四边形CDHF＝S△CEF﹣S△DEH进行计算．【详解】解：∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，AC＝1，∴BC＝2AC＝2，∴AB＝＝，由翻折、旋转的性质知AC＝CD＝CF＝1，∠ACB＝∠BCD＝∠FCE＝60°，∴∠ACF＝180°，即点A、C、F三点共线，CE＝CB＝2，EF＝BD＝AB＝，∠E＝∠ABC＝30°，∴DE＝2﹣1＝1，在Rt△DEH中，DH＝DE＝，S四边形CDHF＝S△CEF﹣S△DEH＝．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形三边的关系.能根据旋转的性质和折叠的性质找出图中相等的线段和角是解决此题的关键.16．34块【分析】观察图形发现：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，结合图1两块木块可以得出图n需要木块数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]，求出图4图5所需木块数，二者相减即可得出结论．【详解】解：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，即图1木块个数为1×2，图2木块个数为（1+2）×（2+2），图3木块个数为（1+2×2）×（2+2×2），…，图n木块个数为[1+（n﹣1）×2]×[2+（n﹣1）×2]．由上面规律可知：图4需要木块个数为（1+3×2）×（2+3×2）＝56（块），图5需要木块个数为（1+4×2）×（2+4×2）＝90（块），故铺第5次时需用90﹣56＝34块木块才能把第四次所铺的完全围起来．故答案为：34块．【点睛】本题考查用代数式表示图形的规律.此问题要把图中地板的个数和图形编号联系起来，通过对图形的分析、归纳，把图形问题转化为数式规律问题，再从中找出数字变化的规律.17．x=-1或x=3【分析】本题利用直接开平方法即可求出答案.【详解】解：x-1=±2，x-1=2或x-1=-2，解得：x=-1或x=3.【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键.18．（1）见解析；（2）5【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【详解】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查作三角形的外接圆，勾股定理，作垂直平分线.理解三角形的外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点是解决此题的关键19．【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，然后根据概率公式列式计算即可得解【详解】列表如下：A1A2BA1（A1，A1）（A2，A1）（B，A1）A2（A1，A2）（A2，A2）（B，A2）B（A1，B）（A2，B）（B，B）由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的4种结果，所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为．【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0．∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根21．（1）作图见解析；裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；（2）当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．【详解】试题分析：（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案；（2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．试题解析：（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；（2）∵长不大于宽的五倍，∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，设总费用为w元，由题意可知w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，∵对称轴为x=6，开口向上，∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．考点：1、二次函数的应用；2、一元二次方程的应用22．（1）BD与⊙O相切，见解析；（2）π；（3）【分析】（1）连接OB，证得∠DBO＝90°，即可得到BD与⊙O相切；（2）由等腰直角三角形的性质得到CF＝BF，由于DF垂直平分AC，得到AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，根据勾股定理得到EF的长，根据圆的面积公式即可得到结论；（3）根据等腰直角三角形和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）BD与⊙O相切，理由：如图1，连接OB，∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠OFB，∵∠ABC＝90°，AD＝CD，∴BD＝CD，∠EBF＝90°，∴∠C＝∠DBC，EF为直径，∴点O在EF上，∵∠C＝∠BFE，∴∠DBC＝∠OBF，∵∠CBO+∠OBF＝90°，∴∠DBC+∠CBO＝90°，∴∠DBO＝90°，∴BD与⊙O相切；（2）如图2，连接CF，HE，∵∠CDE＝90°，∠ABC＝90°，∴∠DEC＝∠A，∵∠CED＝∠FEB，∴∠FEB＝∠A．∵AB＝BE，∠ABC＝∠CBF＝90°，∴△ABC≌△EBF（ASA），∵BC＝BF，∴CF＝BF，∵DF垂直平分AC，∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，∴BF＝+1，∴EF＝∵∠CBF＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴⊙O的面积＝（EF）2•π＝π＝π；（3）如图3，连接AE∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°，∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°，∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°，∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°，∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1+，∴HG＝BH﹣BG＝．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理，能根据定理正确作辅助线和推理是解决本题的关键．23．（1）y=x2﹣3x．（2）点B的坐标为：（4，4）．（3）存在；理由见解析；【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1．∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x．（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x2﹣3x=0，解得：x=0或3．∴AO=3．∵△AOB的面积等于6，∴AO•BD=6．∴BD=4．∵点B在函数y=x2﹣3x的图象上，∴4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）．又∵顶点坐标为：（1.5，﹣2.25），且2.25＜4，∴x轴下方不存在B点．∴点B的坐标为：（4，4）．（3）存在．∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，．若∠POB=90°，则∠POD=45°．设P点坐标为（x，x2﹣3x）．∴．若，解得x="4"或x=0（舍去）．此时不存在点P（与点B重合）．若，解得x="2"或x=0（舍去）．当x=2时，x2﹣3x=﹣2．∴点P的坐标为（2，﹣2）．∴．∵∠POB=90°，∴△POB的面积为：PO•BO=××=8．24．（1）证明见解析（2）【分析】（1）连结OC，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）由△CDB∽△CAD，可得，推出CD2=CB•C