苏科版九年级第一学期期中数学试卷及答案

苏科版九年级第一学期期中数学试卷及答案一、选择题1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．3x2﹣1＝2 B．ax2+5x+7＝0 C．2x4+3x2﹣5＝0 D．x2+＝02．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（3分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根4．（3分）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断5．（3分）下列语句，错误的是（）A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦6．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：27．（3分）《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A．360步 B．270步 C．180步 D．90步8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．若AD＝2，CD＝3，则BC的长为（）A．3 B． C． D．2二、细心填一填（本大题共10小题，每空2分，共20分）9．（2分）已知＝，则＝．10．（2分）如图，△ADE和△ABC中，∠1＝∠2，请添加一个适当的条件，使△ADE∽△ABC（只填一个即可）．11．（2分）已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程x2﹣7x+10＝0的根，则这个三角形的周长是．12．（2分）某商店4月份营业额为2.7万元，6月份营业额为3.5万元，平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为．13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝67°，则∠ABC的度数为．14．（2分）如图，四边形ABCD内接于圆，点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上，连接AE．若∠ABC＝115°，则∠DAE的度数为．15．（2分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是．16．（2分）《代数学》中记载，形如x2+10x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m＝0，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为．17．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D．若l1与l2的距离为1，l1与l3的距离为4，则的值是．18．（2分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D、E分别在边AC，BC上，点F、G在AB边上，当四边形DEEG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长x的取值范围是．三、认真答一答（本大题共7个题，共56分）19．（12分）解方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2﹣6x﹣1＝0（用配方法）；（3）2x2﹣3x﹣1＝0；（4）（3x+2）2﹣4x2＝0．20．（6分）如图，在正方形格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A（2，3），B（2，1），C（5，4）．（1）写出△ABC的外心P的坐标．（2）以（1）中的外心P为位似中心，按位似比2：1在位似中心的同侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′，C′，请在图中画出△ABC．21．（6分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．（1）求证：△DFC∽△CBE；（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．23．（6分）疫情结束后，某广场推出促销活动，已知商品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该商品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．【销售利润＝销售总额﹣进货成本】．（1）若该商品的单价为43元时，则当天销售商品件，当天销售利润是元；（2）当该商品的销售单价为多少元时，该商品的当天销售利润是3450元．24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB，交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE＝，AB＝8，求AE的长；（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B（6，5），过点B作x轴的垂线，垂足为A，作y轴的垂线，垂足为C．点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△O′DE，设运动时间为t．（1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标．（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值．（3）是否存在这样的t，使得以D，E，F，O所围成的四边形中有一组对边平行？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、精心选一选：（本大题共8题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．3x2﹣1＝2 B．ax2+5x+7＝0 C．2x4+3x2﹣5＝0 D．x2+＝0解：A、3x2﹣1＝2是一元二次方程，故此选项符合题意；B、ax2+5x+7＝0未指明a≠0，不一定是一元二次方程，故此选项不合题意；C、含有一个未知数，未知数x的最高次数是4次，所以该方程不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；故选：A．2．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2解：把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0，解得k＝﹣1．故选：B．3．（3分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根解：在方程x2﹣2x+3＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴该方程没有实数根．故选：D．4．（3分）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：C．5．（3分）下列语句，错误的是（）A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦解：直径是弦，A正确，不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；故选：B．6．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2解：∵DE：EC＝3：2，∴DE：DC＝3：5，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DE：AB＝3：5，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2＝（）2＝．故选：C．7．（3分）《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A．360步 B．270步 C．180步 D．90步解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴＝，即＝，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．若AD＝2，CD＝3，则BC的长为（）A．3 B． C． D．2解：连接AO并延长交BC于点H，∵AB＝AC，∴＝，∴OH⊥BC，BH＝CH，∴BH＝，作AE∥BC交BD的延长线于E．∵AD＝2，CD＝3，∴，∴，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝．故选：B．二、细心填一填（本大题共10小题，每空2分，共20分）9．（2分）已知＝，则＝．解：设＝＝k，则a＝4k，b＝3k，∴＝＝；故答案为：．10．（2分）如图，△ADE和△ABC中，∠1＝∠2，请添加一个适当的条件∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝，使△ADE∽△ABC（只填一个即可）．解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，∴要使△ADE∽△ABC，则添加的一个条件可以是∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．故答案为：∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．11．（2分）已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程x2﹣7x+10＝0的根，则这个三角形的周长是12．解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，∵三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程x2﹣7x+10＝0的根，∴第三条边长的取值范围是：3＜第三边的长＜7，∴第三边长为：5，故这个三角形的周长是：2+5+5＝12．故答案为：12．12．（2分）某商店4月份营业额为2.7万元，6月份营业额为3.5万元，平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为2.7（1+x）2＝3.5．解：依题意，得：2.7（1+x）2＝3.5．故答案为：2.7（1+x）2＝3.5．13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝67°，则∠ABC的度数为23°．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝67°，∴∠ABC＝90°﹣67°＝23°．故答案为23°．14．（2分）如图，四边形ABCD内接于圆，点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上，连接AE．若∠ABC＝115°，则∠DAE的度数为50°．解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝65°，∵点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上，∴∠B＝∠AEC＝115°，∴∠DAE＝115°﹣65°＝50°．故答案为：50°．15．（2分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，∵PC＝8，∴BP＝4，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∴∠BAP＝∠CPQ，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴QC＝，故答案为：．16．（2分）《代数学》中记载，形如x2+10x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m＝0，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为4﹣6．解：x2+12x+m＝0，x2+12x＝﹣m，∵阴影部分的面积为60，∴x2+12x＝60，设4a＝12，则a＝3，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为60+32×4＝60+36＝96，则该方程的正数解为﹣6＝4﹣6，故答案为：4﹣6．17．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D．若l1与l2的距离为1，l1与l3的距离为4，则的值是．解：作AE⊥l3于E，交l2于F，作BH⊥l3于H，如图，∵l1∥l2∥l3，∴AF⊥l2，∴EF＝BH＝3，AF＝1，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠ACE+∠BCH＝90°，∴∠CAE＝∠BCH，在△ACE和△CBH中，，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴CE＝BH＝3，在Rt△ACE中，AC＝＝5，∴AB＝AC＝5，∵DF∥CE，∴＝＝，∴CD＝，在Rt△BCD中，BD＝＝，∴＝＝．故答案为．18．（2分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D、E分别在边AC，BC上，点F、G在AB边上，当四边形DEEG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长x的取值范围是x＝或＜x≤．解：如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，则CD＝x，AD＝x，∵AD+CD＝AC，∴x+x＝6，∴x＝．如图2中，当四边形DAGE是菱形时，设菱形的边长为m．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，∴，解得m＝．如图3中，当四边形DGBE是菱形时，设菱形的边长为n．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，∴，∴n＝，综上所述，菱形的边长l的取值范围为x＝或＜x≤，故答案为x＝或＜x≤．三、认真答一答（本大题共7个题，共56分）19．（12分）解方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2﹣6x﹣1＝0（用配方法）；（3）2x2﹣3x﹣1＝0；（4）（3x+2）2﹣4x2＝0．解：（1）∵（x﹣2）2＝9，∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，则x1＝5，x2＝﹣1；（2）∵x2﹣6x＝1，∴x2﹣6x+9＝1+9，即（x﹣3）2＝10，∴x﹣3＝，∴x＝3±，即x1＝3+，x2＝3﹣；（3）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，则x＝＝，即x1＝，x2＝；（4）∵（3x+2）2＝4x2，∴3x+2＝2x或3x+2＝﹣2x，解得x1＝﹣2，x2＝﹣．20．（6分）如图，在正方形格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A（2，3），B（2，1），C（5，4）．（1）写出△ABC的外心P的坐标（4，2）．（2）以（1）中的外心P为位似中心，按位似比2：1在位似中心的同侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′，C′，请在图中画出△ABC．解：（1）如图．P点坐标为（4，2）；故答案为（4，2）；（2）如图，△A′B′C′为所作．21．（6分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．解：（1）∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°．∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，∵由圆周角定理得：∠C＝∠B，∴∠B＝30°；（2）过O作OE⊥BD于E，∵OE过O，∴BE＝DE，∵圆心O到BD的距离为3，∴OE＝3，∵AO＝BO，DE＝BE，∴AD＝2OE＝6．22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．（1）求证：△DFC∽△CBE；（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，∵∠DFE＝∠A，∴∠DFE+∠B＝180°，而∠DFE+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠B，而∠DCF＝∠CEB，∴△DFC∽△CBE；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，BC＝AD＝4，∵DE⊥AB，∴DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，在Rt△DEC中，CE＝＝＝3，∵△DFC∽△CBE，∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，∴DF＝．23．（6分）疫情结束后，某广场推出促销活动，已知商品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该商品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．【销售利润＝销售总额﹣进货成本】．（1）若该商品的单价为43元时，则当天销售商品250件，当天销售利润是3250元；（2）当该商品的销售单价为多少元时，该商品的当天销售利润是3450元．解：（1）280﹣（43﹣40）×10＝250（件），当天销售利润是250×（43﹣30）＝3250（元）．故答案为：250，3250；（2）设该商品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280﹣（x﹣40）×10]件，依题意，得：（x﹣30）[280﹣（x﹣40）×10]＝3450，整理，得：x2﹣98x+2385＝0，整理，得：x1＝53，x2＝45．答：当该商品的销售单价为45元或53元时，该商品的当天销售利润是3450元．24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB，交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE＝，AB＝8，求AE的长；（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．解：（1）连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴，∴OD⊥BE；（2）∵∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∵BD＝CD，∴BC＝2DE＝，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠BAC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴，即，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8﹣；（3）∵，∴设S△CDE＝3k，S△OBF＝4k，∵BD＝CD，∴S△CDE＝S△BDE＝3k，∵BD＝CD，AO＝BO，∴OD∥AC，∴△OBF∽△ABE，∴＝，∴S△ABE＝4S△OBF，∴S△ABE＝4S△OBF＝16k，∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝22k，∵△CDE∽△CAB，∴，∴，∵BC＝2CD，∴．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B（6，5），过点B作x轴的垂线，垂足为A，作y轴的垂线，垂足为C．点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△