湖南省永州市2025届高三上学期高考第二次模拟考试数学试卷

第1页/共1页永州市2025年高考第二次模拟考试数学本试卷共6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A B. C. D.13.已知非零向量，满足，且，则与的关系是（）A.垂直 B.共线 C.夹角为 D.夹角为4.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.5.设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（）A.0 B.2 C.4 D.66.正三棱台上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（）A.3 B.4 C.5 D.67.已知数列满足，则下列说法正确的是（）A.若，则所有项恒大于等于 B.若，则是单调递增数列C.若是常数列，则 D.若，则是单调递增数列8.在平面直角坐标系xOy中，，，，其中，，，则当面积最小时，（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9.设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.斜率为2的直线l与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于C，D两点，P是线段的中点，则下列说法正确的是（）A.是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程B.P也是线段的中点C.若l过双曲线的焦点，则直线的斜率是D.若l过双曲线的焦点，点P的坐标为，则11.已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：①；②；③当时，，其中下列说法正确的是（）A.若，，则B.恰有两个整数解C.若，，则，，中至少有两个相等D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则_________.13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有________种.14.在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.（1）求的外接圆半径；（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.16.如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，.（1）若，证明：；（2）若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围.17.箱子里有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到概率均为，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束：（a）第一次抽取的卡片上写的数字是4；（b）设n为大于等于2的整数，第n次抽取的卡片上写的数字大于第次抽取的卡片上写的数字.例如，当记录的数字依次为3，2，2，4时，这个操作在第4次结束.（1）若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；（2）求操作在第n次结束的概率.18.已知函数，.（1）设直线与曲线交于点P，求P点纵坐标的最小值；（2）a取遍全体正实数时，曲线在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数，求的解析式；（3）证明：当时，对任意正实数a，.（附：）19.在直角坐标系xOy中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为和.（1）求C的标准方程；（2）证明定值，并求出该定值；（3）设点，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标.

永州市2025年高考第二次模拟考试数学本试卷共6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】2【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）证明见解