河北省承德市2025届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省承德市2025届高三上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得但∴．故选：A.2.在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由题意得，所以在复平面内对应点位于第四象限．故选：D.3.2024年6月至10月全国进出口总值同比增长速度依次为，，则该组数据的极差与中位数之和为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】将数据按从小到大的顺序排列：，由题意得该组数据的极差为，中位数为，则该组数据的极差与中位数之和为．故选：B.4.将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得故选：C.5.已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】令得或.如图，画出在上的图象与直线，直线．由图可知，的图象与直线有5个公共点，的图象与直线仅有1个公共点，则的零点个数为．故选：B.6.已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，则，得，即，所以的离心率为．故选：C.7.已知函数，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得的定义域为，，因为，所以恒成立，所以是减函数．又因为，由单调性可知，．故选：B.8.《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（）A.715种 B.572种 C.312种 D.286种【答案】D【解析】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知的内角的对边分别为为的中点，，则（）A. B.C.的面积为 D.【答案】ABD【解析】因为为的中点，所以，则，A正确．由余弦定理得，则，B正确；由，得，所以，C错误；由，得，则，D正确．故选：ABD.10.已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（）A.的焦距为B.的渐近线方程为C.D.的周长为【答案】CD【解析】由题意得，由双曲线定义得所以．由，得，即．即解方程组得所以．由，得，得，，所以的焦距为，渐近线方程为，，故A、B错误，C正确；又的周长为，故D正确；故选：CD.11.已知正三棱锥外接球的表面积为，则下列结论正确的是（）A.正三棱锥外接球的体积为B.当时，点到底面距离为2C.若满足条件的正三棱锥存在两个，则D.正三棱锥体积的最大值为【答案】ACD【解析】设正三棱锥外接球的球心为，半径为．由，得，所以正三棱锥外接球的体积为，A正确；设，点到底面距离为，则外接圆的半径为，点到球心的距离为，由，得，当时，，得，B错误；若满足条件的正三棱锥存在两个，则方程有两个正解，则Δ=36-43a2>0,由，得，则正三棱锥的体积为．设函数，则，得在上单调递增，在上单调递减，所以，D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则______，______．【答案】3【解析】由，得，所以．故答案为：3；.13.在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为______．【答案】【解析】如图，连接．平面，所以直线与平面所成的角为．设，易得，，所以．故答案为：.14.若，则______．【答案】3【解析】两边同时除以得，得．令函数，则，令，．当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以．易得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递增，所以．因为，所以，得．故答案为：3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立．（1）求顾客中奖的概率；（2）若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．解：（1）顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”的概率为，顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为，顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为，综上，顾客中奖的概率为；（2）设小明全家中奖的次数为，则，，，，，则的分布列为0123所以．16.如图，在直四棱柱中，，，.（1）证明：四边形是梯形．（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：四棱柱是直四棱柱，平面平面．平面，平面．平面．，平面，．又四边形是梯形.（2）解：易得两两垂直，以原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设为1个单位长度，则，．设平面的法向量为，则，取，则，得平面的一个法向量为，易得平面的一个法向量为，平面与平面夹角的余弦值为．17.已知函数．（1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）若的导函数有最小值，且是增函数，求的取值范围．解：（1）由题意得，则，所以曲线在点处的切线方程为，令，得；令，得．故所求三角形的面积为．（2）由（1）得，设，则，当时，单调递增，没有最小值．当时，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，则．因为是增函数，所以，即．又，所以，得，即取值范围为．18.已知、、是的三个顶点，、分别为的外心、垂心．（1）求点、的坐标（用、表示）；（2）若，求点的轨迹；（3）设第（2）问中点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于、两点，与抛物线交于、两点（从左到右依次为、、、），当最小时，求的斜率．解：（1）因为点在的中垂线上，所以点的横坐标为．设，则由，得，得，即．由垂心的性质可知，，则点的横坐标为，设点，则，且，由，得，得，即．（2）由（1）可得．由，得，得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（挖去，两点）．（3）若直线的斜率为零，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，设的方程为，设点、．联立得得，则恒成立，由韦达定理可得，，因为，所以（当且仅当时，等号成立），则．因为，所以，得．此时，直线的斜率为.19.若数列满足，且，则称是“摆动数列”．已知是“摆动数列”，且的前项和为．（1）若，列出所有可能的取值；（2）若，求的取值集合；（3）若，等可能地取定的正负号（即与发生的概率相等），求是整数的概率．解：（1）当时，由，得或0．当时，由，得或2；当时，由，得或．综上，所有可能的取值为．（2）由题意得，设．当时，由，得，则．当时，取得最大值，且最大值为