高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)第07讲三角恒等变换与解三角形(3大考点+强化训练)(原卷版+解析)

第07讲三角恒等变换与解三角形（3大考点+强化训练）[考情分析]1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．知识导图考点分类讲解考点一：三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).规律方法三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)弦、切互化：一般是切化弦．考点二：正弦定理、余弦定理及综合应用1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面积公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.考向1：正弦定理、余弦定理一、单选题1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．2．在ABC中，．则A的取值范围是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（）A． B． C．2 D．34．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（）A． B． C． D．5．在中，,BC=1,AC=5，则AB=（）A． B． C． D．二、多选题6．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．7．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（

）A． B．若面积为，则周长的最小值为12C．当，时， D．若，，则面积为三、填空题8．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．四、解答题9．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．考向2:解三角形中的最值与范围问题规律方法解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．一、解答题1．（2023·河南开封·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.(1)求；(2)若的面积为，求的周长.2．已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.3．已知中，角所对的边分别为，且.(1)求角A的大小；(2)若，求面积的最大值以及周长的最大值.4．（2023·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周长的取值范围．考点三:解三角形的实际应用解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．规律方法解三角形实际问题的步骤①需要测量的数据有：点到，点的俯角；点到，的俯角；，的距离……….②第一步：计算.由正弦定理；第二步：计算.由正弦定理；第三步：计算.由余弦定理一、解答题1．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口在的东偏北的方向（两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于之间相距较远，计划在之间设置一个服务区．

(1)若在的正北方向且，求到市中心的距离和最小时的值；(2)若在市中心的距离为，此时在的平分线与的交点位置，且满足，求到市中心的最大距离．2．如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．（1）求索道的长；（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.强化训练一、单选题1．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（

）A．346 B．373 C．446 D．4732．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．3．若，，且，，则的值是（

）A． B．C．或 D．或4．如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（

）A． B．4 C． D．5．在中，，BC边上的高等于,则（）A． B． C． D．6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（）A． B． C． D．7．已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B．C． D．8．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（

）

A． B． C．1s D．二、多选题9．（2023·海南海口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．不存在点Q，使得B．存在点Q，使得C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D．对于任意点Q，都是钝角三角形10．（2024·四川成都·模拟预测）已知中，，．下列说法中正确的是（

）A．若是钝角三角形，则B．若是锐角三角形，则C．的最大值是D．的最小值是11．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（

）

A．观测点位于处的北偏东方向B．当天10：00时，该船到观测点的距离为C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为D．该船在由行驶至的这内行驶了三、填空题12．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则；的取值范围是．13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在上，为坐标原点，且满足，则外接圆的半径为.14．（2024高三·江苏·专题练习）的内角所对边分别为，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，，若为锐角三角形，则AC的取值范围为.四、解答题15．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）在凸四边形中，记，四边形的面积为S．已知．(1)证明：；(2)设，证明：；(3)若，求四边形面积的最大值．16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数．(1)当时，求函数在上的值域；(2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是，求的面积．17．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.(1)证明：是倍角三角形；(2)若，当取最大值时，求.18．（23-24高三下·天津·开学考试）在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△的面积为.(1)求；(2)若，求；(3)求的值.19．（2024高三·江苏·专题练习）中，角的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为，求的取值范围.第07讲三角恒等变换与解三角形（3大考点+强化训练）[考情分析]1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．知识导图考点分类讲解考点一：三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).规律方法三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)弦、切互化：一般是切化弦．考点二：正弦定理、余弦定理及综合应用1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面积公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.考向1：正弦定理、余弦定理一、单选题1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

2．在ABC中，．则A的取值范围是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）【答案】C【详解】试题分析：由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.考点：三角形中正余弦定理的运用.3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（）A． B． C．2 D．3【答案】D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（）A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故选B．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.5．在中，,BC=1,AC=5，则AB=（）A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.二、多选题6．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C[方法二]：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.7．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（

）A． B．若面积为，则周长的最小值为12C．当，时， D．若，，则面积为【答案】ABD【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.【详解】因为，由题意可得，整理得，由正弦定理边角互化得，又由余弦定理得，所以，A正确；当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，B正确；由当，时，，解得，C错误；由，得，由正弦定理得解得，又因为，所以，D正确；故选：ABD.三、填空题8．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．【答案】/【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立.[方法四]：判别式法设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即.四、解答题9．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【详解】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.考向2:解三角形中的最值与范围问题规律方法解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．一、解答题1．（2023·河南开封·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.(1)求；(2)若的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知条件由正弦定理得，可求；（2）由的面积得，余弦定理求，可得的周长.【详解】（1）由正弦定理得，则.（2），得，由余弦定理，即，则，所以，的周长为.2．已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.【详解】（1）令，则所以，单调减区间是.（2）由得：，即，由于，所以.在中，，，于是，则，，，所以.3．已知中，角所对的边分别为，且.(1)求角A的大小；(2)若，求面积的最大值以及周长的最大值.【答案】(1)(2)面积的最大值为，周长的最大值为【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理即可求得答案；（2）由题意利用余弦定理结合基本不等式可得，利用三角形面积公式可得面积的最大值；再用余弦定理结合基本不等式求得，即可求得三角形周长的最大值.【详解】（1）依题意得，，由正弦定理，得，所以，因为，所以.（2）由得，，即，当且仅当时，等号成立，所以的面积，所以面积的最大值为.又，所以，当且仅当时，等号成立，故的周长为，故周长的最大值为.4．（2023·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围.【详解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因为，所以；（2）锐角中，，，由正弦定理得：，故，则，因为锐角中，，则，，解得：，故，，则，故，所以三角形周长的取值范围是.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值考点三:解三角形的实际应用解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．规律方法解三角形实际问题的步骤①需要测量的数据有：点到，点的俯角；点到，的俯角；，的距离……….②第一步：计算.由正弦定理；第二步：计算.由正弦定理；第三步：计算.由余弦定理一、解答题1．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口在的东偏北的方向（两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于之间相距较远，计划在之间设置一个服务区．

(1)若在的正北方向且，求到市中心的距离和最小时的值；(2)若在市中心的距离为，此时在的平分线与的交点位置，且满足，求到市中心的最大距离．【答案】(1)，(2)20【分析】（1）利用正弦定理，将分别用表示，再利用基本不等式求的最小值；（2）先由化简得到，再根据三角形面积公式列方程得到与的函数关系，由函数单调性求得的最大值.【详解】（1）设，在中，在中，由正弦定理得当且仅当，即时取到等号到市中心的距离和最小时，．（2），，即，又即当时，2．如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．（1）求索道的长；（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）m（2）（3）（单位：m/min）【详解】（1）在中，因为，，所以，，从而．由正弦定理，得（）．（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得，由于，即，故当时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得（）．乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达．设乙步行的速度为，由题意得，解得，所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内．考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.【答案】见解析【详解】要求长度，需要测量的数据有：点到，点的俯角，最后通过正弦定理得到最终结果.强化训练一、单选题1．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．2．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.3．若，，且，，则的值是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】先计算和的取值范围，根据取值范围解出和的值，再利用求解的值.【详解】∵，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，∴，∴.又∵，∴.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.4．如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】设，则，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值．【详解】解：设，则．，，，，，同理，其中，，当时，，．故选：C．【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．5．在中，，BC边上的高等于,则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：设,故选C.考点：解三角形.6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，所以.故选C.7．已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】，．，又，，又，，故选B．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．8．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（

）

A． B． C．1s D．【答案】C【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.【详解】因为，，，所以，又，所以，则，由可得，所以，，所以，，故，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.故选：C.二、多选题9．（2023·海南海口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．不存在点Q，使得B．存在点Q，使得C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D．对于任意点Q，都是钝角三角形【答案】ABC【分析】证明直线与是异面直线判断A，当与重合时，可判断BD，设（），计算出的面积的最大值和最小值后从而可得Q到的距离的最小值和最大值，从而判断C．【详解】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确；平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错；设（），，，，，，所以，，所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是，记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确．故选：ABC．

10．（2024·四川成都·模拟预测）已知中，，．下列说法中正确的是（

）A．若是钝角三角形，则B．若是锐角三角形，则C．的最大值是D．的最小值是【答案】BC【分析】根据为钝角时即可判断A，根据正弦定理结合三角函数的性质即可判断BCD.【详解】对于A,若为钝角，则,故，A错误，对于B,由正弦定理可得，由于是锐角三角形，所以且，故，故，进而，故B正确，对于C,,由于，所以时，取最大值，故最大值为，C正确，对于D，由正弦定理可得当时，，故D错误，故选：BC11．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（

）

A．观测点位于处的北偏东方向B．当天10：00时，该船到观测点的距离为C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为D．该船在由行驶至的这内行驶了【答案】ACD【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．【详解】A选项中，,，因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确.B选项中，在中，，，则,又因为，所以km,故B错误.C选项中，在中，由余弦定理，得，即km，故C正确.D选项中，在中，，，则.由正弦定理，得AC=km，故D正确.故选：ACD．三、填空题12．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则；的取值范围是．【答案】【分析】由三角形面积公式可得，可求出；再根据为钝角限定出，利用正弦定理可得，可得其范围是.【详解】根据题意可得面积，可得，即，又易知为锐角，可得；由正弦定理可得，因为为钝角，可得，所以；可得，因此；故答案为：；；13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在上，为坐标原点，且满足，则外接圆的半径为.【答案】【分析】根据题意得出抛物线的焦点坐标和点，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】由题可得，由，可得点的横坐标为，所以，所以，设外接圆的半径为，则由正弦定理可得，所以外接圆的半径为.故答案为：.14．（2024高三·江苏·专题练习）的内角所对边分别为，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，，若为锐角三角形，则AC的取值范围为.【答案】【分析】首先根据得到，由余弦定理可得，再结合正弦定理以及锐角三角形的条件求AC的取值范围即可.【详解】设的内切圆半径为r，因为，所以，化简得：，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，，解得：，所以，所以AC的取值范围为．故答案为：四、解答题15．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）在凸四边形中，记，四边形的面积为S．已知．(1)证明：；(2)设，证明：；(3)若，求四边形面积的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分