高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)微重点03三角函数中ωφ的范围问题(原卷版+解析)

微重点03三角函数中ω，φ的范围问题三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上．知识导图考点分类讲解考点一：三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围规律方法求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围．【例1】（2024·安徽安庆·二模）已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·河南·模拟预测）若存在，使，则正数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式3】(2023·株洲模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f(x)>2对∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(π,3)))恒成立，则φ的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))【变式4】(2023·贵阳模拟)将函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象向右平移eq\f(1,4)个周期后所得的图象在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内有5个极值点，则ω的取值范围是________________．考点二：单调性与ω，φ的取值范围规律方法若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解．【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（）A． B． C． D．【变式1】已知f(x)＝sin(2x－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，且f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,8)))上有最小值，那么φ的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))【变式2】（2022·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】．(2023·晋中模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)，若g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上单调，则φ的最小值为________．考点三：零点与ω，φ的取值范围规律方法已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点．【例3】已知函数（其中为常数，且）有且仅有五个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（

）A． B． C． D．【变式2】已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为．强化训练一、单选题1．（2024·贵州贵阳·一模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·广东湛江·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·江西上饶·模拟预测）若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（2023·吉林长春·一模）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2024·全国·模拟预测）若函数恒有，且在上单调递减，则的值为（

）A． B． C． D．或6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且，则当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．7．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（

）A．3 B．5 C．7 D．98．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（

）A． B． C． D．二、多选题1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（

）A． B． C． D．2．（2024·辽宁·一模）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·模拟预测）已知函数的图象上相邻最低点和最高点的距离为，且在上有最大值，则（

）A． B．的取值范围为C．在区间上无零点 D．在区间上单调递减三、填空题1．（2024·安徽芜湖·二模）已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则．2．（2024·湖北·二模）已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则．3．（2024·广东·一模）已知函数在区间上单调，且满足，，则.四、解答题1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数，为的零点，是图象的对称轴．(1)求；(2)若在上单调，求．2．（2023·河北承德·模拟预测）已知，函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)若在区间上单调，求的取值范围.3．（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．(1)求的值；(2)若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．条件①：对任意的，都有成立；条件②：；条件③：．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.5．（2024·广东佛山·一模）记为函数的最小正周期，其中，且，直线为曲线的对称轴.(1)求；(2)若在区间上的值域为，求的解析式.微重点03三角函数中ω，φ的范围问题三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上．知识导图考点分类讲解考点一：三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围规律方法求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围．【例1】（2024·安徽安庆·二模）已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简解析式，根据对称性可得，再结合最小值点即可求解.【详解】，因为的图象关于点对称，所以，故，即，当，即时，函数取得最小值，因为在上没有最小值，所以，即，由解得，故，得.故选：B【变式1】（2024·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，再利用值域可限定，解得的取值范围为.【详解】由及可得，根据其值域为，且，由正弦函数图象性质可得，即可得，解得.故选：B【变式2】（2024·河南·模拟预测）若存在，使，则正数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合余弦函数的性质，得到关于的不等式，从而得解.【详解】因为，，所以，因为存在，使，所以，即，结合的图象，可得，解得.

故选：D.【变式3】(2023·株洲模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f(x)>2对∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(π,3)))恒成立，则φ的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))【答案】D【解析】因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2，由f(x)>2知sin(2x＋φ)>eq\f(1,2)，又当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(π,3)))时，2x＋φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋φ，\f(2π,3)＋φ))，且|φ|≤eq\f(π,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤\f(π,12)＋φ，,\f(2π,3)＋φ≤\f(5π,6)，))解得eq\f(π,12)≤φ≤eq\f(π,6).【变式4】(2023·贵阳模拟)将函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象向右平移eq\f(1,4)个周期后所得的图象在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内有5个极值点，则ω的取值范围是________________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(28,3)，\f(34,3)))【解析】函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,ω)，将函数f(x)的图象向右平移eq\f(T,4)后的解析式为f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2ω)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2ω)))＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))，由x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，可得ωx－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(ωπ,2)－\f(π,6)))，要使得平移后的图象有5个极值点，则函数图象有5个最值点，则需eq\f(9π,2)<eq\f(ωπ,2)－eq\f(π,6)≤eq\f(11π,2)，解得eq\f(28,3)<ω≤eq\f(34,3).考点二：单调性与ω，φ的取值范围规律方法若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解．【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用三角函数的性质，得出，其中，求得，进而求得的取值范围．【详解】当时，因为，则，因为函数在上存在最值，可得，解得，当时，可得，因为函数在上单调，则，所以，其中，解得，所以，解得，又因为，则，所以，所以，因此的取值范围是．故选：D．【变式1】已知f(x)＝sin(2x－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，且f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,8)))上有最小值，那么φ的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))【答案】B【解析】由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，可得2x－φ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－φ，\f(2π,3)－φ))，又由0<φ<eq\f(π,2)，且f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，可得eq\f(2π,3)－φ≤eq\f(π,2)，所以eq\f(π,6)≤φ＜eq\f(π,2).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,8)))时，2x－φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－φ，\f(7π,4)－φ))，由f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,8)))上有最小值，可得eq\f(7π,4)－φ>eq\f(3π,2)，所以φ<eq\f(π,4).综上，eq\f(π,6)≤φ<eq\f(π,4).【变式2】（2022·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.【详解】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，由，，得，，所以的单调递增区间为，，依题意得，，所以，，所以，，由得，由得，所以且，所以或，当时，，又，所以，当时，.综上所述：.故选：C.【变式3】．(2023·晋中模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)，若g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上单调，则φ的最小值为________．【答案】eq\f(π,3)【解析】∵函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋φ＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2φ＋\f(π,3)))，当－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,6)时，2φ－eq\f(π,6)≤2x＋2φ＋eq\f(π,3)≤2φ＋eq\f(2π,3)，又g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上单调，由正弦函数的单调性可知，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2φ－\f(π,6)，2φ＋\f(2π,3)))⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)或eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2φ－\f(π,6)，2φ＋\f(2π,3)))⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．要使φ最小，则k取0，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2φ－\f(π,6)≥\f(π,2)，,2φ＋\f(2π,3)≤\f(3π,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2φ－\f(π,6)≥－\f(π,2)，,2φ＋\f(2π,3)≤\f(π,2)，))结合φ>0，解得eq\f(π,3)≤φ≤eq\f(5π,12)，综上，φ的最小值为eq\f(π,3).考点三：零点与ω，φ的取值范围规律方法已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点．【例3】已知函数（其中为常数，且）有且仅有五个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据零点个数及函数的奇偶性计算的值，再根据余弦函数的图象和性质求得的取值范围．【详解】因为函数（其中为常数，且）有且仅有五个零点，故必有一个零点为，即．此时问题等价于函数与直线的图象在上有5个交点，亦即与直线的图象在上有2个交点所以．故选：C．【变式1】已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求函数的周期，估计的范围，再求函数的零点，由此确定，，结合条件化简可得结论.【详解】函数的周期为，由图象可得，令，可得：，所以，即，又，所以，，又因为，所以，所以，，为定值.故选：B【变式2】已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为．【答案】【分析】首先求的取值范围，再根据余弦函数的图象，列式求的取值范围.【详解】当时，．因为在上有且仅有2个零点，所以，，解得．强化训练一、单选题1．（2024·贵州贵阳·一模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求函数的解析式，再根据，代入函数的解析式，结合正弦导函数的图像和性质，即可求解.【详解】由三角函数的图像变换规律可知，，，，因为函数在上单调递增，所以，且，得.故选：B2．（2024·广东湛江·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的范围可求得的范围，结合正弦函数单调性，采用整体代换的方式即可构造不等式组求得结果.【详解】当时，，在上单调递增，，解得：，又，，解得：，又，，，即的取值范围为.故选：D.3．（2023·江西上饶·模拟预测）若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解．【详解】当，，由于在区间上恰有唯一极值点，故满足，解得，故选：B．4．（2023·吉林长春·一模）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在上恰有两个零点以及在上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案.【详解】依题意可得，因为，所以，因为在恰有2个零点，且，，所以，解得，令，，得，，令，得在上单调递减，所以，所以，又，解得．综上所述，，故的取值范围是．故选：C.5．（2024·全国·模拟预测）若函数恒有，且在上单调递减，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】由题意可得当时，取得最大值，所以，可求出，再由，求出的范围，即可得出答案.【详解】由题意可得当时，取得最大值，所以，，．由在上单调递减，得，所以．所以或．经检验，或均满足条件．故选：D．6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且，则当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分析可得或，进而可得的最小值为，代入运算求解即可.【详解】由，得或，由，得或，解得或，又，所以的最小值为，代入可得，又，所以．故选：C．7．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【分析】根据可知时，函数取到最大值，结合，可求出，结合选项，分类讨论，结合函数性质求得的值，利用函数的单调性确定的具体值，即可求得答案.【详解】因为，故时，函数取到最大值，又，可知为的对称中心，故，故；又在上单调，故，即，结合选项，当时，，时，函数取到最大值，故，则，结合，没有符合题意的值，不合题意；当时，，时，函数取到最大值，故，则，结合，没有符合题意的值，不合题意；当时，，时，取到最大值，故，则，结合，可得，则，由，得，由于在上不单调，故在上不单调，不合题意；当时，，时，取到最大值，故，则，结合，可得，则，满足为的对称中心，由，得，由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意；故故选：A【点睛】易错点点睛：本题考查了根据的性质求解参数，容易出错的地方是求出参数的范围后，确定其具体值时，在分类讨论时很容易出错，错在不能结合函数的单调性确定取舍.8．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.【详解】当时，因为此时的最小值为，所以，即.若，此时能取到最小值，即，代入可得，满足要求；若取不到最小值，则需满足，即，在上单调递减，所以存在唯一符合题意；所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，故选：C二、多选题1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得的范围.【详解】，当，由，则，则有，，解得，，即，，有，，即，即或，当时，有，时，有，故的取值可能在或.故选：AC.2．（2024·辽宁·一模）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】结合函数在给定区间上的单调性和零点个数，可确定的取值范围，从而确定正确的选项.【详解】由，，.又函数在区间上单调递减，所以，又因为，，所以，，因为，所以，因为在区间上有且仅有一个零点，所以在区间上有且仅有一个实数根，所以，解得，综上，，故BC正确，AD错误.故选：BC3．（2023·全国·模拟预测）已知函数的图象上相邻最低点和最高点的距离为，且在上有最大值，则（

）A． B．的取值范围为C．在区间上无零点 D．在区间上单调递减【答案】BC【分析】先利用三角函数的性质与勾股定理求得，从而判断A，再由在上有最大值求得的取值范围，从而判断B，进而利用整体法求得在与上的取值范围，结合三角函数的性质判断CD，由此得解.【详解】A选项，设的最小正周期为，则，所以，解得，故A错误；B选项，由A选项可得，因为，，又，所以要使在上有最大值，则，所以的取值范围为，故B正确；C选项，当时，，由B选项可得，所以，因为，所以在区间上无零点，故C正确；D选项，当时，，因为，所以，因为，，所以在区间上不单调，故D错误．故选：BC．三、填空题1．（2024·安徽芜湖·二模）已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则．【答案】/1.5【分析】根据题意，再由对称中心求出，最后根据函数单调性确定.【详解】因为偶函数，所以，，即或，又的图像关于点中心对称，所以，即，所以，因为函数单调，所以，即，所以当时，符合条件.故答案为：2．（2024·湖北·二模）已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则．【答案】/【分析】首先由条件确定是函数的最大值，再结合函数的周期的范围，联立后即可求解.【详解】由题意可知，是函数的最大值，则，，得，且在区间上无最小值，所以，所以，所以.故答案为：3．（2024·广东·一模）已知函数在区间上单调，且满足，，则.【答案】【分析】由单调性确定函数的最小正周期范围，再结合零点及最小值点求出周期即可得解.【详解】依题意，，而函数在上单调，则函数的最小正周期，又，，因此，解得，所以.故答案为：四、解答题1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数，为的零点，是图象的对称轴．(1)求；(2)若在上单调，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据正弦函数的对称性计算可得；（2）首先求出的范围，结合（1）即可得到的值，再求出.【详解】（1）依题意，，，，所以，，，所以，，，因为，所以，.（2）因为在上单调，且为的零点，所以，所以，又，解得，所以，所以，又，，解得，，因为，所以.2．（2023·河北承德·模拟预测）已知，函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)若在区间上单调，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）令求的范围，即可得增区间；（2）由题意在上单调，讨论分别为递减区间、递增区间求的取值范围.【详解】（1）由题设，令，所以，故