热学光学近代部分

PAGEPAGE1第六节循环过程卡诺循环一、循环过程1.概念历史上，热力学理论最初是在研究热机工作过程的基础上发展起来的。在热机中被用来吸收热量并对外作功的物质叫工质。工质往往经历着循环过程，即经历一系列变化又回到初始状态。2.图示若循环的每一阶段都是准静态过程，则此循环可用P-V图上的一条闭合曲线表示。箭头表示过程进行的方向。3.一般特点工质在整个循环过程中对外作的净功等于曲线所包围的面积。二、正循环和逆循环1.沿顺时针方向进行的循环称为正循环或热循环。2.正循环的特征一定质量的工质在一次循环过程中要从高温热源吸热Q1，对外作净功W，又向低温热源放出热量Q2。而工质回到初态，内能不变。如热电厂中水的循环过程（课本P198图），工质经一循环W=Q1+Q2。实用上，用效率表示热机的效能以h表示，而且：（1）3.沿反时针方向进行的循环称为逆循环或制冷循环，如制冷设备中的工质的循环。4.致冷系数（2）P199例题在后面讲。三、卡诺循环及其效率1824年卡诺（法国工程师1796-1832）提出了一个能体现热机循环基本特征的理想循环。后人称之为卡诺循环。本节讨论以理想气体为工质的卡诺循环。由4个准静态过程（两个等温、两个绝热）组成。1.卡诺热机（1）1®2：与温度为T1的高温热源接触，T1不变，体积由V1膨胀到V2，系统从热源吸收热量为：（2）2®3：绝热膨胀，体积由V2变到V3，吸热为零。（3）3®4：与温度为T2的低温热源接触，T2不变，体积由V3压缩到V4，系统吸热为负值（系统放热）:(4)4®1：绝热压缩，体积由V4变到V1，吸热为零。在一次循环中，气体对外作净功为W=Q1+Q2利用泊松方程不难证明，因此；理想气体卡诺循环的效率只与两热源的温度有关。2.卡诺致冷机及其制冷系数卡诺循环的逆向循环反映了制冷机的工作原理，其能流图如右图所示。工质把从低温热源吸收的热量和外界对它所作的功以热量的形式传给高温热源，其结果可使低温热源的温度更低，达到制冷的目的。吸热越多，外界作功越少，表明制冷机效能越好。以理想气体为工质的卡诺制冷循环的制冷系数为，这是在T1和T2两温度间工作的各种制冷机的制冷系数的最大值。P203例题在后面讲。第七节热力学第二定律卡诺定理热力学第一定律给出了各种形式的能量在相互转化过程中必须遵循的规律，但并未限定过程进行的方向。观察与实验表明，自然界中一切与热现象有关的宏观过程都是不可逆的，或者说是有方向性的。例如，热量可以从高温物体自动地传给低温物体，但是却不能从低温传到高温。对这类问题的解释需要一个独立于热力学第一定律的新的自然规律，即热力学第二定律。为此，首先介绍可逆过程和不可逆过程的概念。一、可逆过程和不可逆过程广义定义：假设所考虑的系统由一个状态出发经过某一过程达到另一状态，如果存在另一个过程，它能使系统和外界完全复原（即系统回到原来状态，同时原过程对外界引起的一切影响）则原来的过程称为可逆过程；反之，如果用任何曲折复杂的方法都不能使系统和外界完全复员，则称为不可逆过程。狭义定义：一个给定的过程，若其每一步都能借外界条件的无穷小变化而反向进行，则称此过程为可逆过程。卡诺循环是可逆循环。可逆传热的条件是：系统和外界温差无限小，即等温热传导。在热现象中，这只有在准静态和无摩擦的条件下才有可能。无摩擦准静态过程是可逆的。可逆过程是一种理想的极限，只能接近，绝不能真正达到。因为，实际过程都是以有限的速度进行，且在其中包含摩擦，粘滞，电阻等耗散因素，必然是不可逆的。经验和事实表明，自然界中真实存在的过程都是按一定方向进行的，都是不可逆的。例如：理想气体绝热自由膨胀是不可逆的。在隔板被抽去的瞬间，气体聚集在左半部，这是一种非平衡态，此后气体将自动膨胀充满整个容器。最后达到平衡态。其反过程由平衡态回到非平衡态的过程不可能自动发生。热传导过程是不可逆的。热量总是自动地由高温物体传向低温物体，从而使两物体温度相同，达到热平衡。从未发现其反过程，使两物体温差增大。不可逆过程不是不能逆向进行，而是说当过程逆向进行时，逆过程在外界留下的痕迹不能将原来正过程的痕迹完全消除。二、热力学的二定律不可逆过程的相互关联1.热力学的二定律的表述热力学第二定律是一条经验定律，因此有许多叙述方法。最早提出并作为标准表述的是1850年克劳修斯提出的克劳修斯表述和1851年开尔文提出的开尔文表述。（1）克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。与之相应的经验事实是，当两个不同温度的物体相互接触时，热量将由高温物体向低温物体传递，而不可能自发地由低温物体传到高温物体。如果借助制冷机，当然可以把热量由低温传递到高温，但要以外界作功为代价，也就是引起了其他变化。克氏表述指明热传导过程是不可逆的。（2）开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量，使之完全变成有用的功而不产生其他影响。与相应的经验事实是，功可以完全变热，但要把热完全变为功而不产生其他影响是不可能的。如，利用热机，但实际中热机的循环除了热变功外，还必定有一定的热量从高温热源传给低温热源，即产生了其它效果。热全部变为功的过程也是有的，如，理想气体等温膨胀。但在这一过程除了气体从单一热源吸热完全变为功外，还引起了其它变化，即过程结束时，气体的体积增大了。克氏表述指明热传导过程是不可逆的。开氏表述指明功变热的过程是不可逆的。三、卡诺定理（1）在两个给定（不同）温度的热源之间工作的两类热机，不可逆热机的效率不可能大于可逆热机的效率。（2）在两个给定温度的热源之间工作的一切可逆热机，其效率相等。由卡诺定理知：任意(arbitrary)可逆卡诺热机的效率都等于以理想气体为工质的卡诺热机的效率，亦即。四、能量品质请自己阅读课本掌握。*第八节熵熵增加原理一、克劳修斯不等式在卡诺定理表达式中，采用了讨论热机时系统吸多少热或放多少热的说法。本节将统一用系统吸热表示，放热可以说成是吸的热量为负（即回到第一定律的约定），卡诺定理表达式为：（1）系统从热源T1吸热Q1，从T2吸热Q2（<0）。上式又可写为（2）推广到一般情形，可将右图所示过程划分成许多小循环过程，同样有，或者：（3）这就是克劳修斯不等式。dQ为系统与温度为T的热源接触时所吸收的热量，对于可逆过程T也等于系统的温度。二、熵热力学第二定律的数学表述一个不可逆过程，不仅在直接逆向进行时不能消除外界的所有影响，而且无论用什么曲折复杂的方法，也都不能使系统和外界完全恢复原状而不引起任何变化。因此，一个过程的不可逆性与其说是决定于过程本身，不如说是决定于它的初态和终态。这预示着存在着一个与初态和终态有关而与过程无关的状态函数，用以判断过程的方向。1.熵定义（1）熵定义微分表达式对于可逆闭合过程有，这意味着是全微分，记作：T为系统温度，S称作熵，是状态函数。（2）积分表达式对于状态A和B，有：系统处于B态和A态的熵差，等于沿A、B之间任意一可逆路径R的热温熵的积分注意：（1）熵可以包括一个可加常数，（2）熵具有可加性，系统的熵等于各子系统熵之和。2.热力学第二定律的数学表示对于包含不可逆过程的循环有，假定闭合路径如图所示，上式可写为。将可逆过程翻转，得：，利用熵的积分定义式，得：，由A到B沿不可逆路径热温商的积分小于两态熵差对元过程，热力学第二定律的数学表示：这里“=”为可逆过程“>”对应不可逆过程。综合第一定律dU=dQ-PdV和第二定律dQ=TdS，有：TdS=dU+PdV这就是热力学基本方程。三、熵增加原理热力学第二定律的熵表述对于绝热过程dQ=0，由第二定律可得：，意即，系统经一绝热过程后，熵永不减少。如果过程是可逆的，则熵的数值不变；如果过程是不可逆的，则熵的数值增加。这就是熵增加原理或第二定律的熵表述。讨论：（1）孤立系统中所发生的过程必然是绝热的，故还可表述为孤立系统的熵永不减小。（2)若系统是不绝热的，则可将系统和外界看作一复合系统，此复合系统是绝热的，则有：(dS)复合=dS系统+dS外界（3）若系统经绝热过程后熵不变，则此过程是可逆的；若熵增加，则此过程是不可逆的。——可判断过程的性质（4）孤立系统内所发生的过程的方向就是熵增加的方向。——可判断过程的方向布置作业课本P222第21题，P223第25题第四讲第六章复习和习题课主要内容复习一.几个基本概念1.研究对象和方法2.状态参量和单位3.系统、外界4.热平衡平衡态5.理想气体状态方程二、热力学第一定律1.准静态过程p-V图2.功及其表达式几何表示？3.热量及其正负号规定4.第一定律（1）微分表达式（2）只有体积功时（3）计算气体对外界所做的功的方法有：◆己知一热学过程前后内能的变化和过程中吸收的热可内热力学第一定律求，．◆巳知p(V)的函数关系，直接由公式求。◆在p-V图上．系统对外做功的数值是p-V图上过程曲线下的面积、因此也可以直接由p-V图中的几何面职求。

5.热力学第一定律对等值过程的应用过程过程方程内能增量吸热做功等体0等压等温0绝热0三、循环过程1.热循环效率2.致冷系数四、卡诺循环1.定义2.卡诺循环热效率公式及其推导3.卡诺制冷机的致冷系数五、热力学第二定律1．热力学第二定律的表述（1）克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。（2）开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量，使之完全变成有用的功而不产生其他影响。2．热力学第二定律的本质：一切与热现象有关的宏观过程都是不可逆的。3．热力学第二定律的统计意义例题讲解一、选择题1.如图表示的两个卡诺循环，第一个沿ＡＢＣＤＡ进行，第二个沿ＡＢＣ＇Ｄ＇Ａ进行，这两个循环的效率h1和h2的关系及这两个循环所作的净功Ａ1和Ａ2的关系是（Ａ）h1=h2,Ａ1=Ａ2．（Ｂ）h1>h2,Ａ1=Ａ2．（Ｃ）h1=h2,Ａ1>Ａ2．（Ｄ）h1=h2,Ａ1<Ａ2． 2.用公式ΔE=nCm,VΔT（式中Cm,V为定容摩尔热容量，n为气体摩尔数）计算理想气体内能增量时，此式（Ａ）只适用于准静态的等容过程．（Ｂ）只适用于一切等容过程．（Ｃ）只适用于一切准静态过程．（Ｄ）适用于一切始末态为平衡态的过程．3.热力学第二定律表明：（Ａ）不可能从单一热源吸收热量使之全部变为有用的功．（Ｂ）在一个可逆过程中，工作物质净吸热等于对外作的功．（Ｃ）摩擦生热的过程是不可逆的．（Ｄ）热量不可能从温度低的物体传到温度高的物体．4.一物质系统从外界吸收一定的热量，则（Ａ）系统的内能一定增加．（Ｂ）系统的内能一定减少．（Ｃ）系统的内能一定保持不变．（Ｄ）系统的内能可能增加，也可能减少或保持不变．5.如图所示，一定量的理想气体，沿着图中直线从状态ａ（压强ｐ1＝４ａｔｍ，体积V1=2L）变到状态ｂ（压强ｐ2＝２ａｔｍ，体积V2=4（Ａ）气体对外作正功，向外界放出热量．（Ｂ）气体对外作正功，从外界吸热．（Ｃ）气体对外作负功，向外界放出热量．（Ｄ）气体对外作正功，内能减少．6.质量一定的理想气体，从相同状态出发，分别经历等温过程、等压过程和绝热过程，使其体积增加一倍．那么气体温度的改变（绝对值）在（Ａ）绝热过程中最大，等压过程中最小．（Ｂ）绝热过程中最大，等温过程中最小．（Ｃ）等压过程中最大，绝热过程中最小．（Ｄ）等压过程中最大，等温过程中最小．7.理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小（图中阴影部分）分别为Ｓ1和Ｓ2，则二者的大小关系是：（Ａ）Ｓ1＞Ｓ2．（Ｂ）Ｓ1＝Ｓ2．（Ｃ）Ｓ1＜Ｓ2．（Ｄ）无法确定．8.如图所示，一定量理想气体从体积Ｖ1膨胀到体积Ｖ2分别经历的过程是：Ａ→Ｂ等压过程；Ａ→Ｃ等温过程；Ａ→Ｄ绝热过程．其中吸热最多的过程（Ａ）是Ａ→Ｂ．（Ｂ）是Ａ→Ｃ．（Ｃ）是Ａ→Ｄ．（Ｄ）既是Ａ→Ｂ也是Ａ→Ｃ，两过程吸热一样多二、计算题1.（自选例题）证明理想气体在绝热过程中对外界所作的功为，且证明该式和是等价的。2.课本P193例题13.课本P194例题34.课本P199例题1……思考题某理想气体状态变化时，内能随体积的变化关系如图中ＡＢ直线所示．Ａ→Ｂ表示的过程是（Ａ）等压过程．（Ｂ）等容过程．（Ｃ）等温过程．（Ｄ）绝热过程．提示：应用状态方程和理想气体内能正比于温度的结论。布置作业认真复习本章内容并把课外例题抄写到作业本上。第五讲第七章气体动理论引言:一、物质运动理论的基本观点(1)宏观物体是由大量微粒--分子（或原子）组成的。(2)物体中的分子处于永不停息的无规则运动中，其激烈程度与温度有关。(3)分子之间存在着相互作用力。从上述物质分子运动论的基本观点出发，研究和说明宏观物体的各种现象和性质是统计物理学的任务。二、本章主要内容本章讨论的气体分子运动论是统计物理学最简单最基本的内容。目的在于使我们了解一些气体性质的微观解释，并学到一些统计物理的基本概念和方法。本章主要内容：参阅课本226页第二段。第一节物质的微观模型统计规律性一、分子的数密度和线度常温下，分子之间的平均距离数量级：纳米分子数密度：n=1025二、分子力分子力是指分子之间存在的吸引或排斥的相互作用力。它们是造成固体、液体、和封闭气体等许多物理性质的原因。例如描述气体的压强、体积和温度之间的相互关系，必须考虑分子间引力和斥力效应。在足够低的温度下增加压强，分子之间的引力将使气体液化，分子间的斥力将阻止分子的进一步接近，致使液体具有不可压缩性。近邻和远邻分子之间的分子力，决定晶体中的分子的排列顺序，是造成固体弹性的原因等。气体分子是由电子、质子等组成的复杂带电系统，实验证明当分子间距较大时，存在微弱的引力。随着间距的减小，引力逐渐加强，但当两分子靠近到r＝r0（称为平衡距离）以内时，相互间产生强烈的斥力作用而离开。两分子间相互作用合力的经典经验公式为：，式中为斥力，为引力。当合力时，可以算出平衡距离r>r0时，f<0，引力起主要作用，r<r0时，f>0，斥力起主要作用。分子间彼此趋近到分子的直径d时，分子将在强大的斥力作用下被排斥开，类似小球间“弹性碰撞”过程。d的平均值称为分子有效直径，数量级约为10-10m三、热运动的无序性和统计规律性1.分子的热运动大量分子的无规则运动叫做分子的热运动。分子热运动的基本特征是分子的永恒运动和频繁的相互碰撞。分子热运动具有混乱性和无序性。布朗（R.Brown）在1927年，用显微镜观察悬浮在水中的植物花粉，发现花粉作纷乱的无定向运动。这就是布朗运动。布朗运动是由杂乱的流体分子碰撞植物颗粒引起的，它虽不是流体分子本身的热运动，却反映了流体分子热运动的情况。2.统计规律在分子热运动中，个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性（例：理想气体压强）。人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性称为统计规律性。伽尔顿板是说明统计规律的演示实验。实验装置：在一块竖直木板的上部规则地钉上铁钉，木板的下部用竖直隔板隔成等宽的狭槽，从顶部中央的入口处可以投入小球，板前覆盖玻璃使小球不致落到槽外。在下面的演示程序中，可以一次投入大量小球，或多次投入单个小球。观察落入某个槽中的小球数(红色柱线的高度)。实验表明：单个小球落入某个槽内是偶然事件，大量小球落入槽内的分布遵循确定的规律。3.统计涨落现象(Fluctuation)大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规律。但统计规律永远伴随涨落现象。一次投入大量小球（或单个小球多次投入）落入某个槽中的小球数具有一个稳定的平均值，而每次实验结果都有差异。槽内小球数量少，涨落现象明显。反之，槽内的小球数量多时涨落现象不明显。在一定的宏观条件下，大量小球运动的各种分布在一定的平均值上、下起伏变化，称为涨落现象。一切与热现象有关的宏观量的数值都是统计平均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围内，观测值都与统计平均值有偏差。第二节理想气体的压强公式在气体分子动理论中，把气体复杂的宏观性质解释为大量分子无规则运动相互作用的集体行为。为简化计算，突出研究问题的物理性质，对分子结构和分子间的相互作用提出了各种微观模型，并做了简化性假设。一、理想气体的微观模型理想气体模型就是一种最简单的微观模型，它将分子看作是无引力的弹性质点。这个模型包括物质运动理论的三个基本观点和以下几个假设：（1）分子本身的线度，比起分子之间的距离来说可以忽略不计，即理想气体分子可看作无体积大小的质点。（2）除碰撞瞬间外，分子之间以及分子与器壁之间相互作用可以忽略。（3）分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性的，即碰撞前后气体分子动能守恒。理想气体是突出气体共性（在压强p→0时,各种气体共同遵守状态方），忽略次要因素而提出的理想化模型。许多气体在压强不太大、温度不太低时，皆可作为理想气体处理。二、理想气体压强公式1.推导过程（注意在何处应用统计方法？）从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。有，（1）dI为大量分子在dt时间内施加在器壁dA面上的平均冲量。设在体积为V的容器中储有N个质量为m的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为n=N/V（2）为讨论方便，将分子按速度分组，第i组分子的速度为vi（严格说是在vi附近）的分子数为Ni,分子数密度为ni=Ni/V,并有n=n1+n2+……+ni+….=åni（3）平衡态下，器壁各处压强相等，取直角坐标系，在垂直于x轴的器壁上任取一小面积dA,计算其所受的压强（如图）。单个分子在对dA的一次碰撞中施于dA的冲量为2mvix.dt时间内，碰到dA面的第i组分子施于dA的冲量为2mnivix2dtdA.。关键在于：在全部速度为vi的分子中，在dt时间内，能与dA相碰的只是那些位于以dA为底，以vixdt为高，以vi为轴线的柱体内的分子。分子数为nivixdtdA。因此，dt时间内，与dA相碰撞的所有分子施与dA的冲量为：（4）注意：vix<0的分子不能与dA碰撞。容器中气体无整体运动，平均来讲vix>0的分子数等于vix<0的分子数。因此：（5）将（5）代入（1）可得容器壁的压强为：，（6）定义x方向均方速度：（7）则：。（8）平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有：，因为，，可知（9）所以：（10）或者：（11）这就是理想气体压强公式。其中为气体分子平均动能。2.讨论（1）理想气体压强公式（11）式显示了宏观量与微观量的关系。（2）理想气体压强公式（11）式是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律。（3）注意到气体的密度，因此，（11）式也可以改写为：。第三节理想气体分子的平均平动动能与温度的关系一、理想气体状态方程的分子形式由第六章(理想气体状态方程)有：pV=nRT。若知分子总数N，则有pV=NRT/NA。定义玻尔兹曼常数:k=R/NA=1.38´10-23J×K-1，则pV=NkT，或p=nkT，这就是理想气体状态方程的分子形式。二、温度的微观意义比较p=nkT和，有：（12）上式表明：温度这个宏观量与分子的平均平动动能这个微观量的统计平均值相联系的，而单个分子平均平移动能是对处于平衡态下系统内的大量分子计算得到的，因此温度是分子无规则运动激烈程度的定量表示。由此可以看到，只有对由大量分子组成的系统而言，温度才有意义。对一个分子，只有动能，无所谓温度。温度的上述统计意义就是温度的本质，它不仅适用于理想气体，也适用于任何其它物体。另一方面，气体分子的平均平移动能由气体的温度唯一地确定，而不管分子质量是否相等、内部结构是否一样。实验已证实，当多原子分子气体的所有分子都离解为单个原子时，其粒子数密度增加，每个粒子的质量变小，但只要保持气体的温度不变，粒子的平均平移动能就保持不变。课本给出了数量级大小的讨论，请阅读。课堂练习题：1.若在某个过程中，一定量的理想气体的内能Ｅ随压强ｐ的变化关系为一直线（其延长线过Ｅ－ｐ图的原点），则该过程为（Ａ）等温过程．（Ｂ）等压过程．（Ｃ）等容过程．（Ｄ）绝热过程．2.一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为Ｔ，气体分子的质量为ｍ．根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在ｘ方向的分量平方的平均值为（Ａ）．（Ｂ）．（Ｃ）．（Ｄ）3.在容积Ｖ=4×10-3ｍ3的容器中，装有压强p=5×102Pa的理想气体，则容器中气体分子的平动动能总和为（Ａ）２Ｊ．（Ｂ）３Ｊ．（Ｃ）５Ｊ．（Ｄ）９Ｊ．4.一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们（Ａ）温度相同、压强相同．（Ｂ）温度、压强都不相同．（Ｃ）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强．（Ｄ）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强.5.若室内生起炉子后温度从15℃升高到27（Ａ）0.5%．（Ｂ）４%．（Ｃ）９%．（Ｄ）21%．布置作业课本268页7-3,7-5题第六讲第四节能量均分定理理想气体的内能将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念。一、自由度1.刚性分子的自由度（1）自由度的概念自由度是描述物体运动自由程度的物理量，例如质点在三维空间的运动就比在一维直线上的运动来得自由。在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数。一个分子的自由度与分子的具体结构有关。在热力学中一般不涉及原子内部的运动，仍将原子当作质点而将分子当作是由原子质点构成的。要确定一个自由运动质点的空间位置需要3个独立坐标，因此单原子分子的自由度是3，即它有3个平移自由度。对于刚性双原子分子气体，其分子可看作两个原子（质点）被一条几何线连接，需要用3个坐标确定其中一个原子的位置，再用2个坐标确定两原子间的相对方位，因此刚性双原子分子气体的自由度为5。如果涉及到更高的能量，则分子的振动自由度也可以激发，这时原子间能发生相对振动，双原子分子变成非刚性的。对于非刚性双原子分子，要加上一个坐标来确定两原子间的距离，即增加一个振动自由度，总自由度为7（t+r+2s）。对于刚性多原子分子，具有3个平移自由度和3个转动自由度，总自由度为6。2.自由度和分子平均能量的关系（1）平动自由度t由理想气体分子的平均平动动能公式：以及可得：可见对于每一个平动自由度，贡献的平均动能为。（2）刚性双原子分子和转动自由度r考虑刚性双原子理想气体分子，还必须考虑原子围绕分子质心的转动，转动能量为：，可见加上三个平动项，刚性双原子理想气体分子的能量表达式中有5项独立的完全平方项。称为有5个自由度（t=3,r=2）。（3）刚性双原子分子这时：，t=3,r=3。列表如下：3.非刚性双原子分子的自由度振动自由度s振动能量：，因此振动自由度s＝2自由度概念的另一种含义：分子动能表达式中独立平方项个数。二、能量按自由度均分定理每个平动自由度的平均动能，推广到转动等其它运动形式，得能量均分定理。玻尔兹曼假设：在温度为T的平衡态下，物质分子的每一个自由度具有相同的平均动能，其大小都等于，这就是能量按自由度均分定理。这样，每个理想气体分子的平均能量为：，其中：i=t+r+s分子的总自由度数目。注意：能量均分定理是一条重要的统计规律，适用于大量分子组成的系统，包括气体和较高温度下的液体和固体;是分子碰撞的结果;适用于分子的平移、转动和振动;经典统计物理可给出定理的严格证明。三、理想气体的内能摩尔热容1.理想气体的内能气体分子的运动（平移、转动和振动）能量和分子与分子之间的势能构成气体内部的总能量，称为气体的内能。理想气体不计分子与分子之间的相互作用力，所以分子与分子之间的相互作用势能也就可以忽略不计。理想气体的内能就是只是分子各种运动能量之和。i表示一个分子的总自由度,若分子具有t个平移自由度，r个转动自由度，s个振动自由度，按能量均分定理，每个分子的平均能量理想气体的内能由此可知，一定量的理想气体的内能完全取决于气体分子的自由度和气体的热力学温度，且与热力学温度成正比，而与气体的压强和体积无关。理想气体的内能只是温度的单值函数。这个结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符。2.理想气体的摩尔热容（1）理论值由第六章第四节中我们学习过的等体摩尔热容的定义：以及，易得：。此外由，可得：。（2）实验结果：课本238至240页，请自学。（3）有效的处理方法：量子统计理论。第五节麦克斯韦气体分子速率分布律0、引言气体分子在无序运动中不断发生频繁碰撞，每个分子运动速率不断地发生变化。某一特定时刻，气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的。但对大量分子的整体，在一定条件下，实验和理论都证明气体分子的速率分布遵从一定的统计规律。1.方均根速率由气体分子的平均平动动能：，可得：，所以。我们将称为方均根速率（rootmeansquarespeed）记为：，可见在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。2.气体分子速度的统计规律的发展历史大量分子的系统处于平衡态时的速率分布为麦克斯韦速率分布。由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。1920年斯特恩（O.Stern)首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier)和库士（Kusch)测出钍蒸汽分子的速率分布。斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。在近代气体分子速率的实验成功之前，麦克斯韦、玻尔兹曼等人已从理论（概率论、统计力学等）上确定了气体分子按速率分布的统计规律。一、测定气体分子速率分布的实验学生自学（注意实验装置、原理、结果）。二、麦克斯韦气体分子速率分布定律为研究气体分子速度分布的定量规律，有必要介绍分布函数的概念。1.速率分布函数f(v)（1）定义一定量的气体分子总数为N。其中：速率分布在某区间v~v+dv内的分子数为dNv，分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）为dNv/N。dNv/N是v的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。当速率区间足够小时（宏观小，微观大），dNv/N还应与区间大小成正比。因此有，或。（2）f(v)物理意义：速率在v附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。（3）归一化条件：2.麦克斯韦气体分子速率分布定律在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v~v+dv的分子数占总分子数的比率为：；麦克斯韦速率分布函数为：。3.麦克斯韦率度分布曲线曲线下面宽度为dv的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dNv/N。三、三种统计速率1.最可几（最概然）速率vP（1）定义：最可几速率vP为与f(v)极大值对应的速率。（2）物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。由麦克斯韦速率分布函数,令可解得：，而且当v=vp时，。vp随T升高而增大，随m增大而减小。2.平均速率3.方均根速率因为，，所以和引言中的结论一致。三种速率的比较：例题：课堂练习：1.在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来的２倍，则（Ａ）温度和压强都提高为原来的２倍．（Ｂ）温度为原来的２倍，压强为原来的４倍．（Ｃ）温度为原来的４倍，压强为原来的２倍．（Ｄ）温度和压强都为原来的４倍．2.下列各图所示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线能是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线？3.若Ｎ表示分子总数，Ｔ表示气体温度，ｍ表示气体分子的质量，那么当分子速率ｖ确定后，决定麦克斯韦速率分布函数ｆ（ｖ）的数值的因素是（Ａ）ｍ，Ｔ．（Ｂ）Ｎ．（Ｃ）Ｎ，ｍ．（Ｄ）Ｎ，Ｔ．4.已知分子总数为Ｎ，它们的速率分布函数为ｆ（ｖ），则速率分布在v1~v2区间内的分子的平均速率为（Ａ）．（Ｂ）（Ｃ）．（Ｄ）．5.水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几？（不计振动自由度）（Ａ）66.7％．（Ｂ）50％．（Ｃ）25％．（Ｄ）0．布置作业课本P269第7题，第11题第七讲第七章分子动理论（复习）本章基本要求1.掌握气体分子运动论的基本观点、掌握理想气体压强公式及平均平动动能与温度的关系式，理解压强和温度的微观本质。2.理解能量按自由度均分定理，掌握理想气体内能的计算。3.理解麦克斯韦速率分布律。学习本章应注意的问题1．理想气体是气体的一种理想化模型。由于气体分子运动沦的任务是研究气体宏观现象和宏观规律的本质井确定宏观量与微观量之间的关系，所以要注意从宏观和微观两个角度所定义理想气体概念。2．要弄清宏观量与微观量的概念。宏观量是表征大量分子集体特性的量，如压强、温度、体积、热容量等；微观量是去征个别分子特性的量，如分子(或原子)的大小、质量、速度、能量等。3．要特别体会统计假设及由此引出的统计平均方法。4．对一些重要的微观量的数量级要有一个较全面的了解，如常温常压下分子的大小、分子数密度、分子速率等。本章内容提要一、理想气体状态方程1.理想气体理想气体是一个理想模型，它是对实际气体的一种近似的概括，压强越低，这种概括的精确度就越高。我们可以从不同角度对理想气体模型作出定义。（1）理想气体宏观模型：严格遵守状态方程,其内能只是温度的单值函数的气体．叫做理想气体。实验表明，实际气体在压强不太大时，都近似遵守上述规律．因而可近似看作是理想气体。（2）理想气体微观模型：具有下述特点的气体，就是理想气体。第一，分子的大小与分子间平均距离相比可忽赂不计；第二．除碰撞瞬间外，分子之间和分子与器壁之间无相互作用；第三，分子之间和分子与器壁之间的碰撞都是完全弹性的。2.平衡态热力学系统在不受外界影响的条件下，其所有宏观性质都不随时间变化的状态．称为平衡态。这里所说的不受外界影响，是指外界对系统不做功也不传热．但是不要求系统不受外力作用．只要外力不做功，对系统的热力学状态就没有影响。要强调以下几点：（1）不受外界影响和系统的所有宏观性质不随时间变化，这是判别一个系统是否处于平衡态的两个重要依据，二者缺一不可。如果第一个条件不满足，即使系统处于所有宏观性质不随时间变化的稳定状态，也不是平衡态。反之，即使系统不受外界影响，但第二个条件不满足，也不是平衡态。（2）在不存在外力或外力作用可以忽略的情况下、一个均匀系统在达到平衡态时，它内部的各种宏观性质处处一样。在外力的作用不可忽略的情况下(例如处在重力场中的大气)．一个系统达到平衡态时，它内部的某些宏观性质就不是均匀的(例如在地面上不同高度处大气的压强和密度不同)。（3）平衡是相对的。这有两方面的含义，一是指平衡态是一个理想的概念．是在一定条件下对实际情况的抽象与概括，因为一个系统不可能完全不受外界影响．其宏观性质也不可能绝对不变，只是在某些问题中可以忽略这些影响或变化，而近似当作平衡态来处理。二是指当一个系统处于平衡态时，组成系统的分子仍在不停地运动着，只是分子运动的平均效果不随时间改变，这种微观运动平均效果的不变性即表现为系统宏观性质不变。因此把这种热力学中的平衡叫热动平衡。二、理想气体压强公式从理想气体的微观模型出发，并假定单个分子的运动遵守牛顿运动定律，大量分子的无规则运动还同时满足统计规律，推导出压强公式：，。式中n是单位体积的分子数，是分子的平均平动动能，m是分子质量，是所有分子的v2的平均值。（1）该公式把描述气体状态的宏观量p和描述分子运动状态的微观量的统计平均值n，、联系起来，表明气体压强这个概念具有统计意义，即它对于大量气体分子才有明确的意义，从而揭示了压强这一宏观量的微观本质。（2）从中可以看到．由于大量分子的无规则运动所遵循的统计规律是与力学规律不同的规律、因而采用的研究方法也不同，采用的是求统计平均值的方法，压强公式中的n、都是这样求出的。（3）压强公式是根据许多假设推导出来的，它是否正确，需要通过实验来验证。但分子的平均平动动能；是无法直接测量的，所以压强公式无法直接用实验验证。但是．从这个公式出发，能够从微观角度满意地解释气体中的许多现象和规律，并为实验所证实，这就间接地证明了这个公式的正确性。三、理想气体分子的平均平动动能与温度的关系由理想气体状态方程和压强公式可以得到：，这个公式把温度这个宏观量与分子的平动动能这个微观量的统计平均值联系起来，它也具有统计意义。可以说，温度是气体分子无规则热运动剧烈程度的标志，但只是对系统而百，温度才有意义，对一个分子，只有动能，无所谓温度。由该公式可得到气体分子的方均根速率四、能量按自由度均分定理该定理是指出，处在温度为T的平衡态下的系统．其分子的每个自由度上都具有相同的平均动能各。1.这是一条统计规律，是对大量分子的统计平均而言，对于个别分子．在任一瞬间其热运动能量完全可能与按均分定理所确定的平均值有很大差别。2.所谓自由度，是指确定物体在空间的位置所需的独立坐标数。一个单原于分子有3个自由度．一个刚性双原子分子有5个自由度，其中3个是平动自由度，2个是转动自由度。一个刚性多原子分子有6个自由度，其中3个是平动，3个是转动。对于非刚性的双原子相多原子分子，由于分子内部原子间的相对振动，还有振动自由度。3.该定理不仅适用于分子的平动，也适用于分子的转动和振动。按能量均分定理，对于一个刚性分子(不计振动)．平均总能量为，式中t、r分别是分子平动自由度和转动自由度，i是刚性分子的自由度数。对于一个非刚性分子，即考虑分子振动时，平均总能量为，式中s是分子的振动自由度数，前面的因子2是考虑在分子内部原于的微振动可近似看作简谐振动，而谐振动在一个周期内的平均动能和平均势能相等，因此，对于每一个振动自由度，分子还具有的平均势能。五、理想气体的内能从微观角度看，系统的内能包括系统内所有分子各种形式的动能、分子内原于间的振动势能以及分子之间相互作用的势能。对于理想气体．由于忽赂分子间的相互作用，所以系统的内能只是分子各种形式的动能和分子内原于间的振动势能的总和。于是质量为m，摩尔质量为M的理想气体系统的内能为：。可见对于一定量的某种理想气体．其内能只由温度决定，是温度的单值函数。六、麦克斯韦气体分子速率分布律当气体处于平衡态时，分布在任一速率区间v~v+dv内的分子数占总分子数的比率为其中叫做分子速率分布函数．表示处于速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。1.麦克斯韦速率分布律是个统计规律。只对由大量分子构成的气体这一宏观系统成立。式中dNv/N是一个统计平均值，从统计观点来说，它是指处于平衡态下的气体中速率在v~v+dv速率间隔中的分子数平均占多大比率。但是．由于分子运动的无规则性，在速率间隔v~v+dv中的分子数是不断交化的。在某一瞬间、在这一速率间隔中的实际分子数的比率可能与按此定律算出的dNv/N值有差别，即出现某瞬时值偏离平均值的涨落现象。2.定律中所说的速率间隔v~v+dv中实际包含许多不同的速率，具有这些速率约分子数的统计平均值为dNv。但不能问速率恰好为某一确定值v的分子效是多少，因为这种情况等于说dv=0，但由于气体总分子数N(尽管很大)并不是无穷大，则与dv=0对应的分子数dNv可能为零，所以这个问题是没有意义的。3.按麦克斯韦速率分布律，处在整个速率区间的分子数当然等于分子总数N，因此，这就是速率分布函数的归一化条件。4.速率分布曲线的几何意义5.三仲速率（1）最可几（最概然）速率（2）平均速率（3）方均根速率思考题和例题1.一定质量的气体，当温度保持恒定时，气体的压强随体积的减小而增大；当体积保持恒定时，压强随温度的升高而增大。从微观角度看，这两种使压强增大的过程有何区别？2.在体积为V的容器中装有几种不同种类的气体，各种气体的质量分别为ml、m2、……，摩尔质量分别为Ml、M2、……，试从气体分子运动论出发，写出混合气体在温度为T时的压强。3.一容器内贮有一定质量的某种双原于理想气体。设容器以速度v运动．今使容器突然停止，试问：（1）气体的定向运动机械能将转化成什么形式的能量？（2）气体分子速率平方平均值的增量是多少?4.5.

思考题1.答压强是大量气体分子与器壁碰撞的宏观结果。一定质量的气体，当温度不变时，如果体积减小，则单位体积内的分子数n增大．单位时间内分子碰撞器壁的次数增多，所以压强增大。理想气体状态方程p=nkT定量地反映这一结果。当体积不变时，如果温度T升高，分子热运动加剧，分子平均平动动能增大，则分子每次与器壁碰撞给予器壁的平均冲量增大，所以压强增大。压力公式正反映了这一结果。2.答由，n=n1+n2+……，，可得即，这就是混合气体在温度为T时的压强。3.答（1）气体定向运动的机械能将转化为气体的内能。（2）设气体的质量为m．则气体内能的增量为。但理想气体的内能只决定于温度，有，因此温度增量为：。由可得，因此，对双原子分子，i=5，所以：4.答5.答第八讲第十四章机械振动引言1.振动的概念（1）机械振动

物体在某一确定位置附近作来回往复的运动称为机械振动。如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动。（2）广义振动概念广义地说，一切物理量，包括非机械量的温度、电量、场强等量在一定值附近反复变化的过程均是振动。例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。因此振动是自然界及人类生产实践中经常发生的一种普遍运动形式，其基本规律是光学、电学、声学、机械、造船、建筑、地震、无线电等工程技术中的重要基础知识。2.

机械振动的特点

（1）有平衡点。

（2）且具有重复性，即具有周期性。3.机械振动的分类（1）按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。

（2）按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。

（3）按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。

（4）按振动位移分：角振动、线振动。

（5）按系统参数特征分：线性、非线性振动。简谐振动是最基本的振动，存在于许多物理现象中。本章主要研究简谐振动的规律，也简单介绍阻尼振动、受迫振动、共振等。第一节简谐振动一、简谐振动概念在右面的演示中，观察一小球的小角度摆动，小球上的指针在下面沿摆动垂直方向匀速移动的纸条上将划出一条余（正）弦曲线。物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数〕的规律随时间变化，这种运动就叫简谐振动。简谐振动（simpleharmonicvibration）是一种最简单最基本的振动，一切复杂振动均可看作多个简谐振动的合成，简谐振动是研究振动的基础。二、简谐振动的动力学特征1.自由简谐振动和受迫简谐振动简谐振动一般可分为自由简谐振动和受迫简谐振动，首先介绍自由简谐振动，这类振动是指物体仅受振动系统内部的恢复力（如弹性力）的作用。2.自由简谐振动的动力学（1）线性回复力以弹簧振子为例，它由劲度系数为k，质量不计的轻弹簧和质量为m的小球组成，弹簧一端固定，另一端连接小球。当小球在无摩擦的水平面上受到弹簧弹性限度内的弹性力作用下，小球将作简谐振动，小球受到的弹性力：，或这种力与位移成正比而反向，具有这种特征的力称为线性回复力。可见当物体只在线性回复力或力矩作用下的运动必是简谐振动。下图演示了线性回复力对弹簧的作用。（2）动力学方程及其解若设物体质量为m，它在时刻t的加速度a，振子所受的摩擦阻力与弹簧的质量均忽略不计，则由牛顿运动定律得：，显然谐振子的加速度与位移成正比反向。令角频率，可得这就是弹簧振子满足的动力学方程。讨论：物体作简谐振动的三种判据。三、简谐振动的运动学特征1.简谐振动的表达式（运动学方程）由简谐振动的动力学方程（二阶常系数齐次微分方程）可求得位移与时间的函数关系为：x=Acos(ωt+φ)，这就是简谐振动的运动方程，A、为积分常数，可由初始条件确定。2.简谐振动物体的速度和加速度对运动方程求导可得到任意时刻物体振动的速度和加速度：（1）速度V=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ)=Vmcos(ωt+φ+π/2)（2）加速度a=dV/dt=dx2/dt2=-ω2Acos(ωt+φ)=amcos(ωt+φ+π)式中：Vm=ωA，am=ω2A，a=-ω2x（3）x-t,v-t,a-t图下图演示了简谐振动的位移、速度、加速度随时间的变化。第二节简谐运动中振幅、周期和相位现在我们讨论简谐振动运动学方程x=Acos(ωt+φ)中的A、ω、ωt+φ、φ的物理意义。它们分别是描述谐振动的特征量：振幅、频率和周期、相位和初相。一、振幅A1.平衡位置任何机械振动的物体都始终徘徊在某一定位置的附近，这个位置称为平衡位置。2.振幅A物体的运动范围为：，将物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振动的振幅。二、周期和频率1.周期每隔一个固定的时间，物体的运动状态就完全重复一次。这固定的时间T称为振动的周期。2.频率每秒内振动的次数称为频率ν，单位：赫兹（HZ）。角频率ω=2πν，表示2秒内全振动的次数。3.ω、T、ν的关系（1）ω、T注意到，可得：因此有：，；注意到，因此有：（2)ν、Ｔν＝1／Ｔ（3）ω、ν，，因为T、ω、ν为组成简谐振动的系统特征量所决定，与外界无关，称为固有周期和固有频率。运动方程也可写为x=Acos（2πνt＋φ）或x=Acos（2πt/T＋φ）三、相位1.相位

相位（ωt+φ）是决定谐振子运动状态的重要物理量ωt+，和A，ω一起决定t时刻物体运动状态，即位移x,速度v，和加速度a.在一次全振动中，谐振子有不同的运动状态，分别与0～2内的一个相位值对应。例如：txvt+0A0T/4AT/2ATA022.初相φt=0时的相位，决定开始时刻振子的运动状态，即初始位移x0，初始速度v0四、由初始条件确定振幅A和初相φ如果已知初始条件t=０,x=x0,v=v0，代入运动学方程有：x0=Acosφ，v0=-ωＡsinφ。因此：,由此，根据x=Acos(ωt+φ)v=-ωAsin(ωt+φ)a=-ω2Acos(ωt+φ)可确定任一时刻谐振子的运动状态。讨论：（1）相位的物理意义和现代物理学中地位；（2）运动学方程的指数表示；第三节简谐振动的旋转矢量图示法一、旋转矢量简谐振动的方程x=Acos(ωt+φ)，根据几何学原理可以把它看作一旋转着的矢量A在x轴上的投影。振幅矢量转动一周，相当于振动一个周期。当一矢量A绕其一端点o以角速度旋转时，另一端点在x轴或y轴上的投影点上将作简谐振动。设t=0时，A与x轴夹角为，t时刻，A转过t角，则矢量端点在x轴上投影点坐标为x=Asin（ωt+φ）。显然投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与A矢量大小、旋转角速度、初始A与x轴夹角一一对应。当然，投影点的速度和加速度也与简谐振动的速度和加速度相对应。A旋转一周，投影点作一次全振动，所需时间为谐振周期，一秒内矢量A转过的周数为谐振频率。用旋转矢量A来表示简谐振动形象直观，一目了然，在以后分析两个以上谐振动合成时十分有用和方便。图14—5旋转矢量图及简诣运动的x-t图例：一物体沿x轴作简谐振动,振幅为A，其表达式用余弦函数表示。若t=0时，物体的运动状态分别为（1）X0＝－A；（2）过平衡位置向X轴正方向运动；（3）过X0＝A/2处向X轴负方向运动；（4）过X0＝A/2处向X轴正方向运动；试用矢量图示法确定相应的初相。答案：二、相位差在比较两个或两个以上的简谐振动时，相位的概念很重要。1.两个同频率简谐振动的相位差例如两个振动：x1=A1cos(ωt+φ1)x2=A2cos(ωt＋φ2)相位差Δφ=（ωt+φ2）－（ωt+φ1）=φ2－φ1可见，在同频率的情况下，两个振动的周相差就是它们的初相差。φ2>φ1，振动（2）比振动（1）超前或振动（1）比振动（2）落后；φ2<φ1，振动（1）比振动（2）超前或振动（2）比振动（1）落后；φ2=φ1称这两个振动为同相或同步；φ2-φ1=π称这两个振动为反相。图14-6两个简谐运动的相位差2.同一简谐振动的位移、速度、加速度的相位关系位移x=Acos(ωt+φ)速度v=vmcos(ωt+φ+π/2)加速度a=amcos(ωt+φ+π)例题：课本（下册）第9－12页（学生先自学，习题课中再讲）作业：课本下册37页第2题，38页第10题第九讲第四节单摆和复摆一、单摆1.单摆、摆锤和摆线单摆角谐振动:2.动力学方程质量为m的小球用细线悬挂，当球在小角度摆动时，则有：系统所受力矩：由转动定律：可得角加速度:定义角频率:，并注意到：，可得：（1）这就是单摆角谐振动所满足的动力学方程。3.运动学方程、周期方程（1）的解为：，最大摆角和初相由初始条件决定。而且有：，振动周期：4.应用：测量重力加速度，探矿等。二、复摆任意形状的刚体悬挂后绕一固定轴O作小角度摆动，质心到转轴距离为l，则有：为谐振动方程，相应的角频率:，周期：应用：测量转动惯量。第五节简谐运动的能量一、能量表达式以在水平面上作简谐振动的弹簧振子为例，分析其能量变化，显然振子只受弹性力这一保守力作用，符合能量守恒。设在任一时刻t，振子位移为x，速度为v，注意到：x=Acos(ωt+φ)，v=-ωAsin(ωt+φ)，则其弹性势能Ep动能EK分别为：动能:Ek=mv2/2=mω2A2sin2(ωt+φ弹性势能:Ep=kx2/2=kA2cos2(ωt+φ)/2=mω2A2cos2(ωt+φ因此系统总机械能为：E=Ek+Ep=mω2A2/2=kA2可见系统机械能守恒。二、能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。由能量守恒关系可得：kA2/2=mv02/2+kx02/2，解之即得：三、动力学方程的另一种推导方法我们还可以从能量守恒基本关系式出发推出简谐振子的动力学方程。四、现代物理的研究方法第六节简谐运动合成研究振动合成问题的普遍性的意义：声学、音乐、乐器、电信号的传输、调制和解调等。一、两个同方向同频率的简谐振动合成1.结论分振动：合振动为：其中：2.推导（1）解析法其中，解之可得：（2）图解法3.讨论（1）同相：两分振动同相：，，合振动振幅等于两分振动振幅之和。（2）反相：两分振动反向：，，，合振动振幅等于两分振动振幅之差。二、多个同方向同频率的简谐振动合成在光学中讲解。三、同方向不同频率的简谐振动合成拍1.不同振幅设有两个同方向的简谐振动，但它们的频率、振幅不同：它们的合振动是：

右图演示了上式的合成振动。红线、蓝线表示分振动，黑线表示合成的振动。可以看出合振动的振幅和频率的变化比较复杂。2.分振动的振幅和初相位都相等为简单计，设两分振动的振幅和初相位都相等，当两分振动的频率都很大，且相差甚微时，合振动为

可将视为振幅变化部分，合成振动是以角频率为的谐振动。其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。拍的频率为两个分振动的频率之差。四、两个相互垂直的同频率的简谐振动合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即因得上式是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。质点的运动方向与有关。当时，质点沿顺时针方向运动；当时，质点沿逆时针方向运动。（课本24页图）五、两个相互垂直的不同频率的简谐振动合成李萨如图设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直频率不同的简谐振动，即合成的振动一般是复杂的，运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率。在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。作业课本P.39第19题课本P.41第27题第十讲时间：2002-09-24地点：会通楼513课室教学内容：1.机械波的产生和传播，横波和纵波的区别；2.波长、波速、波的频率的概念及其相互关系3.平面简谐波波函数的物理含义，由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法；重点难点：已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波表达式的方法；基本要求：1、理解机械波形成和传播的条件；

2、掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波表达式的方法；第十五章机械波引言振动状态在空间的传播形成波动，简称波。激发波动的振动系统称为波源。波是自然界广泛存在的一种运动形式，通常将波动分为两大类：一类是机械振动在媒质中的传播，称为机械波，如水面波、声波等。另一类是变化的电磁场在空间的传播，如无线电波、光波等等。波动的特征是：1.波动具有一定的传播速度，并伴随着能量的传播。2.波动具有时空周期性，固定空间一点来看，振动随时间的变化具有时间周期性，而固定一个时刻来看，空间各点的振动分布也具有空间周期性。3.波动具有可入性和可叠加性。可入性指在空间同一区域可同时经历两个或两个以上的波，因而波可以叠加。干涉和衍射是波所特有的现象，观察干涉、衍射现象是鉴别波动过程最有力的手段。第一节机械波的几个概念一、机械波的形成波动是振动状态的传播过程，振动是产生波动的根源。机械振动在介质中的传播过程，称为机械波。1.产生机械波的条件（1）要有作机械振动的物体，即波源。（2）要有传播这种波动的弹性媒质。2.机械波的特点（1）媒质中各质元都在各自平衡位置附近作振动，并未“随波逐流”。因此波的传播不是媒质质元的传播。（2）波源的振动状态沿波射线的方向由近及远向外传播，因此沿波射线方向各质元的振动相位是逐一落后的。（3）波的传播过程也是能量传播过程。二、横波和纵波1.如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。2.如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。3.其他形式的波，如水面波、孤立波等等。三、描述波动的物理量1.波长在同一波射线上两个相邻的、相位差为的振动质点之间的距离叫波长。如果从波动的传播角度来定义波长，是在一个周期内某振动状态（相位）传播的距离。波长描述了波的空间周期性。2.周期T波向前传播一个波长所需要的时间叫波的周期。3.频率在单位时间内通过波射线上某点完整波形的个数称为波的频率。一般情况下，振动在媒质中传播时频率不变。所以，频率就等于波源的振动频率。自然，波的周期也等于波源的振动周期，且。4.波速u在波动过程中，某一振动状态(相位)在单位时间内所传播的距离叫波速。三者之间的关系为：关于波速应注意以下几点：（1）波的传播速度是振动状态传播的速度，也是相位传播的速度。因此此处的波速为相速。（2）要区别开波的传播速度和媒质质点的振动速度。后者是质点的振动位移对时间的导数，它反映质点振动的快慢，它和波的传播快慢完全是两回事。（3）无限媒质中一般存在纵波与横波两种类型，但在液体和气体中只存在纵波。在固体中横波传播速度为，式中G为固体的切变弹性模量，是媒质的密度。在固体中纵波的传播速度为，式中G为固体的切变弹性模量，B是容变弹性模量，E为固体的弹性模量。在液体和气体中纵波的传播速度为，式中B是媒质的容变弹性模量。P.45给出了在一些媒质中声音的传播速度。四、波线波前波面1.波线波的传播方向一般可以用波线表示。沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫做波线。2.波面介质中各质点都在平衡位置附近振动，我们把不同波线上相位相同的点所连成的曲面，叫做波面或同相面。在任一时刻．波面可以有任意多个，一般作图时使相邻两个波面之间的距离等于一个波长，如下图所示。3.波前在某一时刻，由波源最初振动状态传到的各点所连成的曲面，叫做波前。或者说，最前面的波面也叫波前。显然，波前是波面的持例，但却是传到最前面的那个波面，所以，在任一时刻，只有一个波前。4.平面波和球面波波前是球面的波，叫做球面波。波前是平面的波，叫做平面波；在各向同性的介质中，波线与波面垂直。第二节平面简谐波的波函数一、平面简谐波1.波函数（波方程）波方程就是用已知波源的振动规律，表达出弹性媒质中各点的振动的规律y(x,t)。2.平面简谐波（1）概念普通波函数的表达式是比较复杂的。现在我们只研究一种最简单最基本的波，即在均匀、无吸收的介质中，当波源作简谐运动时，在介质中所形成的波。这种波叫做平面简谐波。（2）注意严格的简谐波只是一种理想化的模型。它不仅具有单一的频率相振幅而且必须在空间和时间上都是无限延展的，所以严格的简谐波是无法实现的。对于作简谐运动的波源在均匀、无吸收的介质中所形成的波，只可近似地看成是简谐波。任何非简谐的复杂的波，都可看成是由若干个频率不同的简谐波叠加而成的。下图所示的，就是由频率和振幅各不相同的多个简谐波叠加成锯齿波的情形。因此，研究简谐波仍具有特别重要的意义。3.平面简谐波的波方程（1）导出波方程的思路◆已知波源的振动方程，当振动传到各质元时，各质元都以相同的振幅、频率来重复波源的振动。◆波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元，沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。（2）导出波方程步骤◆选定坐标并明确波的传播方向。◆给出波的传播方向上某点(参考点、波源)的振动方程。◆比较位于x处的任一点和参考点相位的超前和落后关系，由参考点的振动表达式即可得出波的表达式。例如：距离原点o为d的a点振动方程为，任一点P点，坐标为x，落后参考点a相位为，则P点的振动表达式即波的表达式为：当参考点选在坐标原点，则波的表达式为：根据，可写成波的表达式的几种不同形式为：二、波函数的物理意义1.当x为恒量，即x=x0，则波方程变为：它表达了距离坐标原点为x0处的质点的振动规律（独舞），是它的初相位。不同的x0，相应的振动初相位不同。2.当t为恒量，t=t0，则波方程变为：即在某一瞬时y仅为x的函数，它给出了该瞬时波射线上各质元相对于平衡位置的位移分布情况，即表示某一瞬时的波形（集体定格）。3.若x和t两个都变化时，波方程就表示了波射线上所有质点在各个不同时刻的位移情况。或形象地说，在这个波动方程中包括了无数个不同时刻的波形、随着t的增加波的表达式就描述了波形的传播。实质上反映了波是振动状态的传播。可以证明：其中，这说明了t时刻的振动状态在时刻传到了处。4.如果看定某一相位，即令=常数（x，t均为变量），则此相位在不同时刻出现于不同位置，它的传播速度(即相速度)可由它的微分得出：。总之，波方程反映了波的时间和空间双重周期性。时间周期性：周期T代表了波的时间周期性。从质点运动来看，反映在每个质点的振动周期均为T；从整个波形看，反映在t时刻的波形曲线与时刻的波形曲线完全重合。空间周期性：波长代表了波在空间的周期性。从质点来看，反映在相隔的两个质点其振动规律完全相同(两质点为同相点)；从波形来看，波形在空间以为“周期”分布着。所以波长也叫做波的空间周期。三、例题（1）从波方程找出波参数；（2）写出波方程；作业：P.84第2题，第5题；P.85第8题；第十一讲时间：2002年9月28日地点：会通楼511教学内容：1.波的能量传播特征及能流、能流密度概念；2.惠更斯原理和波的叠加原理，用惠更斯原理解释波的反射与折射；3.波的相干条件，应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；4.驻波及其形成条件；重点难点：波的相干条件，两波干涉时振幅加强和减弱的条件。基本要求：1.了解波的叠加原理，理解波的相干条件；2.掌握两波干涉时振幅加强和减弱的条件；3.理解波的干涉，了解驻波的概念。第三节波的能量