艺考基础新高考数学一轮复习精讲精练第01讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理高频考点精讲解析版

第01讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：分类加法计数原理的应用题型二：分步乘法计数原理题型三：两个计数原理的综合应用角度1：与数字有关的问题角度2：与几何有关的问题角度3：涂色问题第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.

知识点二：分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.知识点三：分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广（1）完成一件事有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……,在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.（2）完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：分类加法计数原理的应用典型例题例题1．（2022·全国·高二单元测试）若一个、均为非负整数的有序数对，在做的加法时，各位均不进位，则称为“简单的有序实数对”，称为有序实数对之值，则值为2004的“简单的有序实数对”的个数是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【详解】因为在做的加法时，各位均不进位则称为“简单的有序实数”，称为有序实数对之值，其中m、n均为非负整数，所以值为2004的“简单的有序实数对”可能为(0，2004)，(1，2003)，(2，2002)，(3，2001)，(4，2000)；(2004，0)，(2003，1)，(2002，2)，(2001，3)，(2000，4)；(1000，1004)，(1001，1003)，(1002，1002)；(1003，1001)，(1004，1000)共15种.故选：B.例题2．（2022·全国·高二课时练习）为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（

）A．11种 B．19种 C．30种 D．209种【答案】C【详解】该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，所以共有种不同接种点的选法．故选：C．例题3．（2022·吉林油田第十一中学高二期末）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.【答案】9【详解】解：由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法，若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有种.故答案为：9.同类题型归类练1．（2022·广东清远·高二期末）从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（

）A．16 B．15 C．12 D．8【答案】D【详解】根据分类加法计数原理，可知共有4＋3＋1＝8种不同的走法．故选：D.2．（2022·浙江省杭州学军中学高三期中）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（

）A．24 B．36 C．60 D．240【答案】C【详解】当基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；则甲同学被安排到A基地的排法总数为种.故选：C3．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（

）A．56 B．28 C．24 D．12【答案】B【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，当A在甲社团B在乙社团时，甲社团有2人有种方案，甲社团有3人有种方案，甲社团有4人有种方案，共种方案；当B在甲社团A在乙社团时，同理也有14种方案；所以不同的安排方案数是14+14=28.故选：B题型二：分步乘法计数原理典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，用不同的五种颜色分别为，，，，五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则复合这些要求的不同着色的方法共有（

）A．500种 B．520种 C．540种 D．560种【答案】C【详解】先涂A，则A有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法同理C有3种涂法，D有3种涂法，E有3种涂法由分步乘法计数原理可知，复合这些要求的不同着色的方法共有为5×4×3×3×3＝540故选：C.例题2．（2022·四川·成都市第二十中学校高三期中）将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个新增便民核酸采样点参加核酸检测相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有（

）A．90种 B．540种 C．1620种 D．3240种【答案】B【详解】第一步，医护人员的安排方案有种，第二步，志愿者的安排方案有种，∴不同的安排方案共有种，故选：B例题3．（2022·河北邢台·高二阶段练习）回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味，相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成3位“回文数”的个数为（

）A．30 B．36 C．360 D．1296【答案】B【详解】由题意，第一步选择第一位数，有种方法，第二步选择第二位数，有种方法，利用分步计数原理，共有种．故选：B.例题4．（2022·全国·高三专题练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【答案】【详解】原来个节目，形成个空位，安排一位老校友；个节目，形成个空位，安排一位老校友；个节目，形成个空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有种.故答案为：例题5．（2022·上海徐汇·高二期末）将展开后有______项．【答案】24【详解】根据分步乘法计数原理，展开后的项数为：项．故答案为：24．同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（

）A．120种 B．150种 C．210种 D．216种【答案】C【详解】依题意，每名同学都有种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种.故选：C2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））甲、乙、丙共三名学生报名参加夏季运动会，每人报名一个项目，目前有100米短跑和3000米长跑这两个项目可供选择，则他们报名同一个项目的概率为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】甲、乙、丙三人报名项目的情况总共有种，其中他们报名同一个项目的情况有2种，所求的概率为．故选：B．3．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙才能到达工作室.第一重门的钥匙有3把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有4把（每把颜色不同），第三重门的钥匙有3把（每把颜色不同），管理员要求他从这10把钥匙中取3把，则他能到达工作室的不同的取法共有（

）A．10种 B．24种 C．36种 D．120种【答案】C【详解】依题意，进入第一重门有3种取法，进入第二重门有4种取法，进入第三重门有3种取法，由分步乘法计数原理可知，不同的取法共有种.故选：C4．（2022·北京通州·高二期中）已知集合，．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（

）A．16个 B．12个 C．9个 D．6个【答案】D【详解】因为第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，所以集合中只有符合，集合中只有符合，所以第四象限的点P有个，故选：D5．（2022·广东·大埔县田家炳实验中学高二阶段练习）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的3种主食、4种素菜、2种大荤、3种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有______种．【答案】60【详解】根据分步计数原理，共有（种）不同的选取方法．故答案为:60题型三：两个计数原理的综合应用角度1：与数字有关的问题典型例题例题1．（2022·天津·南开中学高二期中）用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（

）A．50 B．52 C．54 D．56【答案】B【详解】能被2整除的三位数是偶数，当个位数是0时，有种情形；当个位数是2或4时，其中最高位不能是0，则有种情形，因此，能被2整除的三位数的个数是种.故选：B例题2．（2022·浙江·效实中学高二期中）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有A．36个 B．24个 C．18个 D．6个【答案】B【详解】解：由题意知本题是一个分类计数问题，各位数字之和为奇数的有两类：两个偶数一个奇数：有=18个；②三个都是奇数：有=6个．∴根据分类计数原理知共有18+6=24个．故选B．例题3．（2022·重庆·高二阶段练习）由数字组成无重复数字的五位数.(1)一共可以组成多少个五位偶数？(2)在组成的所有五位数中，比32145大的五位数有几个？【答案】(1)48(2)65(1)先考虑个位数，从2或4中选择1个，有种，再考虑其余4个数位，即余下的4个数字进行全排列，有种，所以一共有=48个五位偶数；(2)若万位数是3，千位是4或5，共有个符合要求；若万位数是3，千位是2，则百位须是4或5，共有个符合要求；若万位数是4或5，则有个符合要求，32154符合要求；综上：在组成的所有五位数中，比32145大的五位数有12+4+48+1=65个.例题4．（2022·江苏连云港·高二期中）用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的(1)三位数？(2)无重复数字的三位数？(3)小于500且没有重复数字的自然数？【答案】(1)900(2)648(3)379(1)由于0不能在百位，故百位上数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法．所以不同的三位数共有个．(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有个无重复数字的三位数．(3)满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有个，三位自然数有个，由分类加法计数原理知共有个小于500且无重复数字的自然数．同类题型归类练1．（2022·吉林油田第十一中学高二期末）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．288个 B．240个 C．144个 D．126个【答案】B【详解】对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有个；故共有个2．（2022·全国·高三专题练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个 B．15个C．12个 D．9个【答案】B【详解】试题分析：四位数之和为6的共有4种情况：（0、0、2、4）,（0、1、2、3），（1、1、2、2），（0、2、2、2）．数字为0、0、2、4且首位为2的六合数有：2004,2040,2400，共3个；同理：数字为0、1、2、3且首位为2的六合数有六个；数字为1、1、2、2且首位为2的六合数有3个；数字为0、2、2、2且首位为2的六合数有3个．所以共有15个．3．（2022·全国·高二课时练习）设集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0(m，n∈A)至少有一个根x0∈A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为()A．13 B．15C．17 D．19【答案】C【详解】当m＝0时，取n＝0,1,4，方程为合格方程；当m＝1时，取n＝0,2,6，方程为合格方程；当m＝2时，取n＝0,3，方程为合格方程；当m＝3时，取n＝0,4，方程为合格方程；当m＝4时，取n＝0,5，方程为合格方程；当m＝5时，取n＝0,6，方程为合格方程；当m＝6时，取n＝0,7，方程为合格方程；当m＝7时，取n＝0，方程为合格方程．综上可得，合格方程的个数为17；故选：C.4．（2022·全国·高二课时练习）已知集合，，从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字，能组成______个不同的两位数，能组成______个十位数字小于个位数字的两位数．【答案】

20

10【详解】①从A中取一个数作为十位数字，有4种不同的取法，从B中取一个数作为个位数字，有5种不同的取法．由乘法原理可知，能组成4×5＝20个不同的两位数．②要组成十位数字小于个位数字的两位数，可分如下情况：当个位数字为9时，十位上的数字有4种取法，能组成4个十位数字小于个位数字的两位数；当个位数字为7时，十位上的数字有3种取法，能组成3个十位数字小于个位数字的两位数；当个位数字为5时，十位上的数字有2种取法，能组成2个十位数字小于个位数字的两位数；当个位数字为3时，十位上的数字有1种取法，能组成1个十位数字小于个位数字的两位数．所以组成的十位数字小于个位数字的两位数有1＋2＋3＋4＝10个．故答案为：20，10．角度2：与几何有关的问题典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（

）个.A．10 B．12C．16 D．20【答案】B【详解】由结构图知：每个顶点同时在3个面内，所以五边形面数为个，故选B.例题2．（2022·全国·高二期末）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（

）.A．105种 B．225种 C．315种 D．420种【答案】C【详解】如图所示，以A为钝角顶点，在直径的左边取点，右边依次取，得到6个钝角三角形，当取时，△为锐角三角形；同理，直径的左边取点，右边依次取，得到5个钝角三角形，当取，时，△、△为锐角三角形；……在直径的左边取点时，得到一个钝角△，在直径的左边取点时，没有钝角三角形.故以A为钝角顶点的三角形共有（个）.以其余14个点为钝角顶点的三角形也各有21个，所以总共有（个）钝角三角形.故选：C同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）若一个正方体绕着某直线旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直线的条数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】若正方体绕着直线旋转不到一周能与自身重合，则必过正方体中心，否则，正方体绕着直线旋转不到一周后，中心不能回到原来的位置；共有三种情况：如图所示；当过正方体的对角线两顶点时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时的直线共有条；当过正方体两相对棱中点时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有条；当过正方体对面中心时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有条；综上，符合条件的直线有条.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（）A．至多能剪成19块“L”形骨牌B．至多能剪成20块“L”形骨牌C．最多能剪成21块“L”形骨牌D．前三个答案都不对【答案】C【详解】考虑2×3的6块方格，如图：，每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌一共可以剪成10块这样的骨牌，和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则一共21块“L”形骨牌.只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以一定能够剪成21块“L”形骨牌.如图所示故选：C3．（2022·上海交大附中高二期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法【答案】12【详解】从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况，所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次，综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种.故答案为：12角度3：涂色问题典型例题例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】C【详解】对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有种涂色方法，对于④，与②③相邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步乘法计数原理得种不同的涂色方法.故选:C例题2．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中）用5种不同颜色给右图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（

）种不同的涂色方案．A．1140 B．1520 C．1400 D．1280【答案】D【详解】从左到右依次涂色(也可以任选一个环作为开始)，第一个圆环有5种选择，第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，所以总数为：；故选：D.例题3．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（理））如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为_______．【答案】【详解】解：由题意得：若只有2，4区域种的花相同，则有种种法；若只有3，5区域种的花相同，则有种种法；若2、4区域种的花相同，3，5种的花也相同，则有种种法，由分类加法计数原理知共有种不同的种法.故答案为：例题4．（2022·全国·高二课时练习）现有4种不同颜色要对如图的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有______种.【答案】48【详解】若先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色，有2种结果，最后给下面一块着色，有2种结果，根据分步乘法计数原理知共有4×3×2×2=48（种）结果．故答案为：48．同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）用