2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳一中高一（下）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省岳阳一中高一（下）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合M为函数y=1−x2的值域，集合N为函数y=lnA.{x|x>−1} B.{x|−1≤x≤1} C.{x|−1<x≤1} D.{x|0≤x≤1}2.若某扇形的面积为8，弧长为8，则这个扇形的圆心角的弧度数是(

)A.2 B.3 C.4 D.53.设a,b都是非零向量，下列四个条件，使用a|aA.a与b同向 B.a=2b

C.a//b且4.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin5π3,cosA.−32 B.−12 5.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏(如图)上方装有acm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过tmin时剩余的细沙量为ycm3，且y=a⋅e−bt(b为常数)，经过A.16min B.21min C.26min D.29min6.若sin2α=55，sin(β−α)=1010，且α∈[A.4π3 B.5π3 C.7π47.设a>b>c，n∈N，且1a−b+1b−c≥nA.2 B.3 C.4 D.68.已知函数f(x)=cos(π2x)−1,x≥0−logaA.(0,66) B.(6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.偶函数f(x)的定义域为[2a−1,a]，则a=13

B.一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+3，则函数f(x)的解析式为f(x)=2x+1

C.奇函数f(x)在[2,4]上单调递增，且最大值为8，最小值为−1，则2f(−4)+f(−2)=−15

D.若集合A={x|−a10.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是(

)A.若a⋅b=b⋅c，则a=c

B.非零向量a,b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角为30°

C.非零向量a和b满足11.已知f(x)=1−2cos2(ωx+πA.若f(x1)=1，f(x2)=−1，且|x1−x2|的最小值为π，则ω=2

B.存在ω∈(1,3)，使得f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C.若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=12tan13.已知集合A={x|x−1x+1<0}，B={x|(x−b)2<a}，若“a=1”是“14.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，且在[2021,2022]上是减函数，若A、B是钝角三角形的两个锐角，对(1)f(k2)=0，k为奇数；(2)f(cosA)<f(cosB)；(3)f(sinA)>f(sinB)；(4)f(sinA)<f(cosB)；(5)f(cosA)>f(sinB).则以上结论中正确的有

.(填入所有正确结论的序号)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

命题甲：关于x的方程x2+4mx+m=0无实根；命题乙：关于x的方程x2−(m+1)x+m=0有两个不相等的正根，设命题甲、命题乙为真命题时实数m的取值分别组成集合A、B．

(1)求集合A、B；

(2)16.(本小题15分)

已知函数f(x)=(sinx4+cosx4)2−23cos2x4+3−1．

(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)17.(本小题15分)

某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益f(x)(单位：万元)与研发投入资金x(单位：万元)的关系为f(x)=log2x+1+ax+b,x≥0，项目乙研发期望收益g(x)(单位：万元)与研发投入资金x(单位：万元)的关系为g(x)=x−log2(32−x)+c，0≤x<32，且f(0)=g(0)=0，f(15)=17．

(1)求实数a，b，18.(本小题15分)

已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a≠0,b>0)在区间[1,2]上有最大值2和最小值1．

(1)求a，b的值；

(2)不等式g(x)−kx≥0在x∈[1,2]上恒成立，求实数k的取值范围；

(3)若f(x)=g(x)−1x且方程19.(本小题17分)

设n次多项式Pn(t)=antn+an−1tn−1+…+a2t2+a1t+a0(an≠0)，若其满足Pn(cosx)=cosnx，则称这些多项式Pn(t)为切比雪夫多项式.例如：由cosθ=cosθ可得切比雪夫多项式P1(x)=x，由cos2θ=2cos2θ−1可得切比雪夫多项式P2(x)=2x2−1．

(1)若切比雪夫多项式参考答案1.D

2.C

3.A

4.C

5.B

6.C

7.C

8.C

9.AC

10.BCD

11.BCD

12.(kπ6+13.(−2,2)

14.(1)(4)(5)

15.解：(1)命题甲：关于x的方程x2+4mx+m=0无实根；所以16m2−4m<0，

解得：0<m<14．

命题乙：关于x的方程x2−(m+1)x+m=0有两个不相等的正根，

所以：(m+1)2−4m>0m+1>0m>0，解得m>0且m≠1．

故A={m|0<m<14}；B={m|m>0且m≠1}．

(2)命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，

故16.解：(1)∵f(x)=(sinx4+cosx4)2−23cos2x4+3−1=1+2sinx4cosx4−3(1+cosx2)+3−1

=sinx2−3cosx2=2sin(x2−π317.解：(1)由f(0)=g(0)=0，f(15)=17，

可得log20+1+b=0log215+1+15a+b=17−log232+c=0，解得a=1b=0c=5，

故f(x)=log2x+1+x,g(x)=x−log2(32−x)+5；

(2)设项目甲研发投入资金为x万元，则项目乙投入27−x万元，投资收益为y，

则y=f(x)+g(27−x)

=log2x+1+x+27−x−log2(x+5)+5，其中0≤x≤27，

则y=lo18.解：(1)g(x)=ax2−2ax+1+b=a(x−1)2+1+b−a，

当a>0时，g(x)在[1,2]上单调递增，由题意可得，g(1)=1+b−a=1g(2)=1+b=2，解得a=1b=1；

当a<0时，g(x)在[1,2]上单调递减，由题意可得，g(1)=1+b−a=2g(2)=1+b=1，解得a=−1b=0.由于b>0，故应舍去，

综上，a=1，b=1；

(2)由(1)知g(x)=x2−2x+2，

∴g(x)−kx≥0，即x2−2x+2−kx≥0在x∈[1,2]上恒成立，即(k+2)x≤x2+2，

∵x∈[1,2]，∴k+2≤x2+2x=x+2x在x∈[1,2]上恒成立，

又∵x+2x≥22，当且仅当x=2时取等号，∴k+2≤22，即k≤22−2，

∴实数k的范围是(−∞,22−2]；

(3)方程f(|2x−1|)+t(2|2x−1|−3)=0，即|2x−1|+1+2t|2x−1|−(2+3t)=019.解：(1)依题意，P3(cosθ)=cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ−sin2θsinθ

=(2cos2θ−1)cosθ−2sin2θcosθ

=2cos3θ−cosθ−2(1−cos2θ)cosθ

=4cos3θ−3cosθ，

因此P3(x)=4x3−3x，

即ax3+bx2+cx+d=4x3−3x，则a=4，b=d=0，c=−3；

(2)因为cos54°=sin36°，

即cos(3×18°)=sin(2×18°)，

所以4cos318°−3cos18°=2