2025高考一轮复习（人教A版）第47讲 条件概率与全概率公式（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第十七讲条件概率与全概率公式阅卷人一、选择题得分1．设事件A，B满足A⊆B，且PA=0.3，PBA．14 B．12 C．372．已知某条线路上有A,B两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若A准点到站的概率为13，在B准点到站的前提下A准点到站的概率为34，在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为A．516 B．14 C．3163．已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为20%，30%，50%，且对应的次品率为1%，2%，3%，则该产品的次品率为（）A．2.3% B．3.3% C．1.3% D．3%4．设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”，事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是（）A．P(B)=914 C．PAB5．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A=“这两个数都是素数”，事件B=“这两个数不是孪生素数”，则PB|AA．67 B．17 C．196．袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则X=4的概率为（）A．514 B．57 C．5427．有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为（）A．0.044 B．0.046 C．0.050 D．0.0908．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且PA=13，A．PBA=C．PB=PB阅卷人二、多项选择题得分9．中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为2:1，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（）A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为2B．李明获胜的概率为17C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为12D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为610．设A，B为随机事件，且PA，PB是A，B发生的概率．A．若A，B互斥，则PB．若PABC．若A，B互斥，则A，B相互独立D．PABP11．下列选项中正确的是（）A．已知随机变量X服从二项分布B10,1B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望EC．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是5D．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次12．已知随机事件A，B满足PA=1A．若A与B相互独立，则PB．若A与B互斥，则PC．若PAB=D．若随机事件C满足PCA=4阅卷人三、填空题得分13．已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是.14．在概率论中，全概率公式指的是：设Ω为样本空间，若事件A1,A2,⋅⋅⋅,An两两互斥，A1∪A2∪⋯∪An=15．现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则P(B|A)=，P(AB阅卷人四、解答题得分16．甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为45，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为25.记甲乙两人的答题总次数为（1）求p；（2）当n=2时，求甲得分X的分布列及数学期望；（3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为PnA，证明：17．某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9,0.8,0.7.（1）若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4:4:2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；（2）若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率.18．学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有15个台阶，从下至上记台阶所在位置为1−15，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨1或2个台阶（位置+1或+2）.（1）记甲迈3步后所在的位置为X，写出X的分布列和期望值.（2）求甲6步内到过位置8的概率；（3）求10步之内同时到过位置10和12的有多少种走法，及发生的概率.19．某学校食堂有A,B两家餐厅，张同学第1天选择A餐厅用餐的概率为13．从第2天起，如果前一天选择A餐厅用餐，那么次日选择A餐厅用餐的概率为34；如果前一天选择B餐厅用餐，那么次日选择A餐厅用餐的概率为12．设他第n天选择A（1）求P2的值及Pn+1关于（2）证明数列Pn−23是等比数列，并求出

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为PA=0.3，所以因为A⊆B，PB=0.6，又因为P(B)=P(AB)+P(AB)=0.6，则所以P(BA故答案为：C.

【分析】根据已知条件和对立事件求概率公式以及A⊆B，从而得出PAB=PA=0.3，再利用P(B)=P(AB)+P(A2．【答案】B【解析】【解答】解：设事件A为“A准点到站”，事件B为“B准点到站”，由题意，PA而PB|A=而PA则PAB=316，而故答案为：B.【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，求B准点到站的概率即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：设产品是次品为事件A，该产品是哪家公司的产品分别为事件B1，B2，则PA故选：A.【分析】根据题意，利用全概率公式直接计算，即可得到答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、从甲袋中任取1球是红球的概率为：PA从甲袋中任取1球是白球的概率为：47所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：PBB、PAB=C31C2故答案为：C.

【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：不超过20的自然数中，素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共8个，其中“孪生素数”有3和5，5和7，11和13，17和19，共4种，则PB|A=故答案为：A.

【分析】由题意，列出不超过20的自然数中的素数有8个，其中“孪生素数”有4对，利用缩小样本空间的方法易求出条件概率PB6．【答案】A【解析】【解答】解：由题意，可知前4次取出的球的颜色有以下六种：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，每种事件相互互斥，由全概率公式得：pX=4故答案为：A.【分析】先确定X=4所代表的意义，以及所包含的可能情况，再根据全概率公式求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：记事件A为“任取一件零件为次品”，则PA故答案为：B.【分析】根据全概率公式计算即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：A、因为PAB+PAB=PA，所以PAB+112=13，即P又因为PA+B=PA+PB−PC、P(BA)=P(AB)D、因为PA因为PB=PAB+PA则PA故答案为：C.【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解判断即可.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，

事件C为“李明获胜”，则由题意可知P(A)=2对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)=P(A)P(C|A)=2对于B，李明获胜的概率为P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=2对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为P(A∣C)=P(AC)对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为P(B∣C)=P(BC)故D错误.故答案为：ABC.【分析】根据条件概率的乘法公式，则判断出选项A；利用全概率公式，则判断出选项B；根据条件概率公式，则判断出选项C；利用条件概率公式和条件概率的乘法公式，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，

则PA∪B对于B：由相互独立事件的概念知，

若PAB对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A=“正面朝上”，事件B=“反面朝上”，事件A与事件B互斥，但P(AB)=0，P(A)=P(B)=1所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；对于D：PAPB所以PABP故答案为：ABD.【分析】利用互斥事件加法概率公式，则可判断选项A；由相互独立事件的概念可判断选项B；由互斥事件和相互独立事件的概念，则可判断选项C；由条件概率公式化简，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：A中，X~B10,12，DB中，X服从超几何分布，N=10,M=7,n=2，EXC中，根据题意，设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则PAB=A62D中，设9次射击击中k次概率PX=k则C9k⋅0.8k⋅0.29−k≥故选：BC．【分析】由二项分布的方差公式、超几何分布的均值公式分别判断A、B，由条件概率与对立事件关系可判断C，由二项分布的性质可判断D．12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，若A与B相互独立，

则PAB对于B，若A与B互斥，则PAB由PB=PAB+PA对于C，若PAB=14，对于D，因为PCA=PAC因为PCA=PA所以PC所以PA故选：ACD.【分析】根据已知条件和相互独立事件的乘法求概率公式判断出选项A；根据已知条件和互斥事件加法求概率公式以及概率的基本性质判断出选项B；根据条件概率公式和互斥事件加法求概率公式以及概率的基本性质判断出选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.13．【答案】0.8【解析】【解答】解：令A=“第一个路口遇到红灯”，B=“第二个路口遇到红灯”则P(A)=0.5,P(AB)=0.4，于是P(B|A)=P(AB)所以所求概率为0.8.故填：0.8

【分析】根据给定条件利用字母表示相关事件，再写出相关事件的概率，然后利用条件概率公式P(B|A)=P(AB)14．【答案】6【解析】【解答】解：设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为A1，A2，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B，则PA可得P=2解得x≤6，则x的最大值为6．故答案为：6.

【分析】根据题意用字母将相关的四个事件表示出来，再写出或者列出相关事件的概率，最后根据全概率公式列式求解即可.15．【答案】12/0.【解析】【解答】解：第一空：P(A)=1第二空：A:B:则P(故答案为：12；2【分析】本题考查条件概率的计算公式，相互独立事件的概率公式.直接利用条件概率公式进行计算可求出P(B|A)，记A:从甲盒中取出的是一个红球和一个白球，B:乙盒中还剩下两个红球或者两个白球，利用古典概型的计算公式可求出P(A16．【答案】（1）解：记Ai=“第i次答题时为甲”，B=“甲积1分”，则PAi=12，PB|Ai=45，PB（2）解：由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知PX=1=25，X的分布列为：X012P128随机变量X的数学期望为EX（3）解：由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x甲，乙的积分为x则x甲−x乙=2，且当n为奇数时，Pn则P==8又因为m≥1时，P2所以815【解析】【分析】（1）记Ai=“第i次答题时为甲”，（2）由题意可知n=2时，X可能的取值为0，1，2，结合题意求出每个取值对应的概率求解即可；（3）由题可得P2（1）记Ai=“第i次答题时为甲”，则PA1=12，PB|A25则25=3p+1（2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知PX=1=25，X的分布列为：X012P128随机变量X的数学期望为EX（3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x甲，乙的积分为x则x甲−x乙=2，且当n为奇数时，Pn则P==8又∵m≥1时，P2∴17．【答案】（1）解：设事件A,B,C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品，则依据已知可得PA=PB由全概率公式得PD所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82；（2）解：设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件E的情况有：甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立，则PE所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为0.398.【解析】【分析】（1）先记事件，利用全概率公式计算即可；（2）先分析目标事件所包含的事件，再利用概率乘法公式计算即可.（1）设事件A,B,C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品，则依据已知可得PA=PB由全概率公式得PD所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82.（2）设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件E的情况有：甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立，则PE所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为0.398.18．【答案】（1）解：由题意可知甲每步跨1或2个台阶的概率都为12X可能的取值为3，4，5，6.取值分别对应3步中分别有0，1，2，3次跨两个台阶，故P(X=i)=CX的分布列如下，X3456P1331EX（2）解：6步内到过位置8记为事件A8可分为：4步到达位置8（记为A5步到达位置8（记为A5,8）和6步到达位置8（记为AA4,8即4步中每步都+2；A5,8即5步中有两步+1，3步A6,8即6步中有两步+2，4步+1则P(A)=P(A（3）解：记n步内到过位置n为事件An，走法为an，则由题意an+2=a递推a3∼a10，依次为3,5,8,13,21,34,55,89，其中9步和10步到达位置10的走法分别为9步到达位置10情况下再到达位置12只有1种走法，10步到达位置10不可能再到达位置12，其他到达位置10的情况再到达位置12都有2种走法.故10步之内同时到过位置10和12的走法为：a10记P(An)为p数列{pn−23}是以−1记9步和10步到达位置10为分别为事件A9,10，A10,10，P(A记10步内到过位置12为事件B，则P(A10A10,10A其余情况下P(B|AP(AB)=P(A故10步之内同时到过位置10和12的概率为5071024【解析】【分析】（1）列出X的所有可能取值，分别求出概率，列出分布列，求期望即可；（2）6步内到过位置8可以有三种情况，4步，5步，6步，再分别讨论每种情况发生的概率相加即可求解；（3）由题意an+2=an+（1）由题意可知甲每步跨1或2个台阶的概率都为12X可能的取值为3，4，5，6.取值分别对应