2025高考一轮复习（人教A版）第35讲 椭圆（含答案）

2025高考一轮复习（人教A版）第三十五讲椭圆阅卷人一、选择题得分1．已知方程x2k+5+y2A．−∞,−1∪C．−1,3 D．3,+2．已知椭圆C:x2a2+y2b2A．12 B．3−1 C．323．已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1A．0 B．1 C．2 D．14．已知椭圆C：x2a2+y2=1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．椭圆x2+y24=1的两个焦点为A．1 B．23 C．1+23 6．若函数y=loga(x−2)+1(a>0，且a≠1A．6 B．12 C．16 D．187．已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2，P是它们的一个交点，且∠FA．3 B．2 C．433 8．中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为x2a2+y2b2+z2c2=1（z≥0,，a,b,c>0，且a，b，A．1 B．2 C．3 D．4阅卷人二、多项选择题得分9．设点F1，F2分别为椭圆C：x29+y25=1A．1 B．3 C．5 D．410．加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆C:A．椭圆C的离心率为e=255 B．椭圆C．椭圆C的蒙日圆方程为x2+y211．已知长轴长、短轴长和焦距分别为2a、2b和2c的椭圆Ω，点A是椭圆Ω与其长轴的一个交点，点B是椭圆Ω与其短轴的一个交点，点F1和F2为其焦点，AB⊥BF1．点P在椭圆A．a,b,c成等差数列B．a,b,c成等比数列C．椭圆Ω的离心率e=D．△ABF1的面积不小于12．已知椭圆C：x24+y2b2=1b>0的左右焦点分别为F1、A．离心率e的取值范围为(0,B．当e=24时，QC．存在点Q，使得QFD．1QF阅卷人三、填空题得分13．已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的焦点为14．椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e满足e=5−12，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若x210+y2m15．如图，设F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，点P是以阅卷人四、解答题得分16．已知椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为−33且过F2的直线l与椭圆C交于P,Q17．已知椭圆C:x2a2+y2b2（1）求C的离心率；（2）射线AF1与C交于点B，且AB=18．在平面直角坐标系中，已知动点Px，y到直线l:x=433（1）求动点P的轨迹方程E；（2）若轨迹E与x轴的交点分别为A、B.过点T4，tt≠0的直线19．已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且OP2=λ+μd2，其中λ，μ均为常数，动点（1）判断7,2曲线为何种圆锥曲线.（2）若12,μ曲线为焦点在y轴上的椭圆，求.（3）设曲线Ω为9,−18曲线，斜率为kk≠0的直线l过Ω的右焦点，且与Ω交于A，B两个不同的点.若点B关于x轴的对称点为点D

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：已知方程x2k+5+根据椭圆的定义可得k+5>03−k>0k+5>3−k，解得−1<k<3，所以故答案为：C.【分析】利用椭圆的定义列出含有参数k的不等式组求解即可求解.2．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，设椭圆的右焦点为Fc,0，则PF的中点为a+c代入椭圆方程x2a2整理得c2方程两边同除以a2得，e2+2e−2=0因为e>0，故e=3故答案为：B.【分析】设椭圆的右焦点为Fc,0，利用中点坐标公式求出PF的中点坐标，再代入椭圆方程得到c2+2ac−23．【答案】A【解析】【解答】解：易知a=2,b=1,c=a则F1设Px0,y0代入方程可得x024又因为PF所以PF故答案为：A.

【分析】由椭圆方程可得a,b,c，设Px0,y0，根据△4．【答案】A【解析】【解答】解：由椭圆C：x2当a>1时，可得c=a2−1由e=22，可得1−1当a<1时，可得c=1−a2由e=22，可得1−a故“a=2”是“椭圆C的离心率为2故答案为：A.【分析】根据椭圆的几何性质，列出方程，求得a的值，再结合充分、必要条件的判定方法判断即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：易知焦点三角形的周长为：C故答案为：D.【分析】根据椭圆的定义先求出PF1+6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，令x-2=1，解得x=3，则函数y=loga(x−2)+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点为则m+n=(m+n)(9当且仅当9nm=mn，即故答案为：C.【分析】先求函数恒过定点的坐标，代入椭圆方程可得9m7．【答案】D【解析】【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，

根据椭圆及双曲线的定义可得：PF1+PF2=2在△PF1F化简可得a12+31e12+3e22=4≥2故答案为：D．

【分析】设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，根据椭圆及双曲线的定义求得PF1=a18．【答案】B【解析】【解答】：解：令z=0可得底面圆锥曲线方程为：x2a2+y2b2=1，因为建筑的室内底面为面积为m2πm>0的圆，所以a=b，且a2π=m2π，解得：a=m，又a，b，c不全相等，所以c≠m，故②错误，又ac=m2，可得：mc=m2，即c=m，则a=b=c=m与a，b，c不全相等相矛盾，故③9．【答案】B,D【解析】【解答】解：易知F1−2,0，F22,0，设Px0,y0，

则PF1=−2−x0,−则x02=9m−94，要使得P故答案为：BD.【分析】易知椭圆的焦点坐标，设点Px0,y0，得到PF1→，PF2→的坐标，由点10．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、易知a=5,b=2,c=1BC、当长方形R的四边均与椭圆C:x25+则椭圆C的蒙日圆的半径为(2a)2+(2b)D、由C可知椭圆的蒙日圆的半径为3，设长方形R的长为m，宽为n，则m2+n2=36，长方形R的面积为S=mn≤故答案为：CD.【分析】由椭圆方程即可求得a=5,b=2,c=1，利用椭圆的离心率公式计算即可判断A；根据长方形R的四边均与椭圆C:x25+y11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：

对于选项A和选项B，不妨设Aa,0,B则AB=因为AB⊥BF1，所以故ac=b2，即对于选项C，因为b2=a2−方程两边同除以a2得，e2+e−1=0对于选项D，由于S△ABS△B由于a>c，故12a+cb>bc而S△BF1故选：BCD.【分析】设出点的坐标，根据AB⊥BF1得到AB⋅F1B=0，故ac=b2，从而判断出选项A和选项B；根据b2=a212．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因为点P2,1在椭圆内部，所以24e=cB、QF当Q在x轴下方时，且P，Q，F2三点共线时，QF1由e=24=c2，得c=所以QF1+C、

设Qx,y，若QF1⋅Q则得x2+y2=又由A项知e=ca∈0,22，得所以得c<b，所以该圆与椭圆无交点，C错误；D、QF1=1当且仅当QF故答案为：ABD.

【分析】A项中需先解出b的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B项中根据椭圆定义转化为求4−QF2+QP13．【答案】2【解析】【解答】解：已知如图所示：

令α=MF1，β=M则α+β=2a，OF在△OMF1和△OMF2中，由余弦定理可得α2在△MF1F由α+β=2a可得2a2由（2）（3）可得αβ=43a代入（1）可得4c2+所以e=c故答案为：22【分析】先根据椭圆的定义α+β=2a再结合余弦定理得b=c，再利用椭圆的离心率公式求解即可．14．【答案】55−5【解析】【解答】解：因为x210+y2连接F2M,F1M由角平分线性质，有PF2N故答案为：55−5，【分析】根据题意，利用椭圆离心率的定义，列出方程得到m=55−5，连接F215．【答案】1【解析】【解答】解：连接PF1，QF1，由点P在以又P，Q在椭圆上，故有PF1+设QF2=m，则PF2=2m，在Rt△PQF1中，由勾股定理得解得m=a3，于是PF2=故答案为：12.

【分析】连接PF1，QF1，根据点P在以F1F2为直径的圆上，得到PF1⊥PF2，设QF2=m16．【答案】（1）解：由题意可知：2a=4，则a=2，∵e=ca=32，∴c=3，

∴b=（2）解：由（1）知，椭圆的方程为x24+y2=1，可得a=2,b=1，则c=a2-b2=3，

所以F1−3,0F23,0，

所以直线l：y=−33x+1，联立方程组x24+y2【解析】【分析】（1）根据题意，利用椭圆的基本性质，求得椭圆a,b,c的值，即可求得椭圆标准方程；（2）根据椭圆的几何性质，求得直线方程y=−33x+1，联立方程组，由韦达定理得到x1+x2（1）由题意可知：2a=4，则a=2，∵e=ca=3∴b=a∴椭圆C:（2）F1−3,0F23联立方程组x24+设Px则x1+PQ点F1到直线PQ的距离∴S17．【答案】（1）解：依题意可得上顶点A0,b，左，右焦点分别为F1−c,0所以AF1=又AF所以AF1⋅AF所以a2=2c（2）解：由（1）可得b=c，a=2c，则椭圆方程为射线AF1的方程为联立y=x+cx22解得x=0或xB=−43c所以AB=43c2所以△ABF2的周长【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，由AF1⋅AF（2）由（1）可得a与c，b与c的关系，设直线AF1的方程，联立方程组，求得点B的坐标，求出AB的表达式，求得a,c的值，结合椭圆的性质，得到△ABF（1）依题意可得上顶点A0,b，左，右焦点分别为F1−c,0所以AF1=又AF所以AF1⋅AF所以a2=2c（2）由（1）可得b=c，a=2c，则椭圆方程为射线AF1的方程为联立y=x+cx22解得x=0或xB=−43c所以AB=43c2所以△ABF2的周长18．【答案】（1）解：由题意可知，x−4整理为x2所以动点P的轨迹方程E:x（2）解：如图所示，设A−2,0，B2,0，则直线AT:y=t6x+2联立y=t6x+2则−2xM=4联立y=t2x−2则2xN=4t所以四边形AMBN的面积S==2×6设m=t+则S=16mm2+4=当m=23时，m+4m取得最小值，此时面积S所以四边形AMBN面积的最大值为23​​​​​​​【解析】【分析】（1）由动点Px，y到直线l:x=433的距离与点（2）根据题意，得出直线AT和BT的直线方程，分别与椭圆联立方程组，求得点M,N的坐标，得出四边形AMBN的面积的表达式，结合换元法和基本不等式求面积的最大值，即可得到答案.（1）由题意可知，x−4整理为x2所以动点P的轨迹方程E:x（2）如图，设A−2,0，B2,0，则直线AT:y=t6x+2联立y=t6x+2则−2xM=4联立y=t2x−2则2xN=4t所以四边形AMBN的面积S==2×6设m=t+则S=16mm2+4=当m=23时，m+4m取得最小值，此时面积S所以四边形AMBN面积的最大值为2319．【答案】（1）解：设Px,y，由|OP|2当λ=7,μ=2时，x2+y2=7+2（2）解：由x2+y2=λ+μy2若12,μ曲线为焦点在y轴上的椭圆，即1−μ>0且1−μ≠1，所以x2+1−μy2则μ>0，故μ的取值范围为；0,1（3）解：由λ=9,μ=−18得曲线Ω的方程为x29+设Ax联立y=kx−1,x由韦达定理可得x因为点B关于x轴的对称点为点D，所以Dx则直线AD的方程为y−y根据对称性可知，直线AD经过的定点必在x轴上.令y=0，得x=−=k当k≠0时，x=2故直线AD过定点9,0.【解析】【分析】（1）设Px,y，由|OP|2=λ+μd（2）根据焦点在y轴上的椭圆的性质可得12（3）联立直线与曲线