第4章 专题5 半角模型【2025中考数学第1轮复习考点梳理练 】(含解析)

第四章三角形专题五半角模型模型一含45°半角模型模型特点：共端点的等线段，共顶点的倍半角．在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.解题方法：将△ABD绕点A旋转，使AB与AC重合，得到△ACF，连接EF.【结论】①△AED≌△AEF；②△CEF为直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2.1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，EF，AF，∠EAF＝45°.求证：EF＝BE＋DF.【方法一】补短法【思维引导】延长CD至点G，使得DG＝BE，然后证明△AFE≌△AFG.证明：延长CD至点G，使得DG＝BE，连接AG.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠DAG＋∠FAD＝45°，即∠GAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF.∵AF＝AF，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.【方法二】旋转法【思维引导】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，证明△AFE≌△AGE.证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，使AD与AB重合，由旋转的性质可知△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠D＝∠ABG＝90°，AF＝AG，∠FAD＝∠GAB，∴∠ABG＋∠ABE＝180°，即G，B，E三点共线．∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠BAE＋∠GAB＝45°，即∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF.∵AE＝AE，∴△AFE≌△AGE(SAS)，∴EF＝EG.∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF.2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，∠DAE＝45°.若BD＝2，CE＝4，求DE的长．解：将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACF，连接EF，则CF＝BD＝2，∠ACF＝∠B，∠FAC＝∠BAD，AF＝AD.∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠EAC＋∠FAC＝∠EAC＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°＝∠DAE.∵AE＝AE，∴△AFE≌△ADE(SAS)，∴FE＝DE.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ECA＋∠ACF＝∠ECA＋∠B＝90°，∴FE＝eq\r(CF2＋CE2)＝2eq\r(5)，∴DE＝2eq\r(5).模型二含60°半角模型模型特点：如图，△BCD是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∠A＋∠BDC＝180°，∠EDF＝60°.解题方法方法1：延长AC至点G，使CG＝BE，连接DG.方法2：将△BDE绕点D旋转，使BD与CD重合(需证明F，C，G三点共线).【结论】①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF.3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，在边BC上取点P，连接AP，以AP为边作∠PAQ＝60°，交CD于点Q，连接PQ.求证：△APQ是等边三角形．证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAC＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴BA＝CA，∠B＝∠ACQ＝60°.∵∠PAQ＝60°，∠BAC＝60°，∴∠PAC＋∠CAQ＝60°，∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠CAQ＝∠BAP.在△BAP和△CAQ中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BAP＝∠CAQ，,BA＝CA，,∠B＝∠ACQ，))∴△BAP≌△CAQ(ASA)，∴AP＝AQ，∴△APQ是等边三角形．4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交边AB，AC于M，N两点，连接MN.(1)探究BM，MN，NC之间的数量关系，并说明理由；(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．解：(1)MN＝BM＋NC.理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°.∵∠BDC＝120°，∴∠ABD＋∠ACD＝360°－∠A－∠BDC＝180°.将△MBD绕点D顺时针旋转120°，得到△ECD.由旋转的性质，得ED＝MD，∠ECD＝∠ABD，∠EDC＝∠MDB，∴∠ECD＋∠ACD＝180°，∴N，C，E三点共线．∵∠MDN＝60°，∴∠NDC＋∠EDC＝∠NDC＋∠MDB＝60°，∴∠EDN＝∠MDN.∵DN＝DN，∴△EDN≌△MDN(SAS)，∴NE＝CE＋NC＝MN.∵CE＝BM，∴MN＝BM＋NC.(2)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2.由(1)知MN＝BM＋NC，∴△AMN的周长为AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋NC＋AN＝AB＋AC＝4.模型三一般半角模型5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，EF，AF，∠B＋∠D＝180°，且∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，判断BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．解：EF＝BE＋DF.证明如下：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG的位置，使AB与AD重合．由旋转的性质，得∠ADG＝∠B，DG＝BE，AG＝AE，∠BAE＝∠DAG.∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADG＋∠ADC＝180°，∴C，D，G三点共线．∵∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF，∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，∴∠FAG＝∠EAF.∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG.∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.第四章三角形(解析版）专题五半角模型模型一含45°半角模型模型特点：共端点的等线段，共顶点的倍半角．在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.解题方法：将△ABD绕点A旋转，使AB与AC重合，得到△ACF，连接EF.【结论】①△AED≌△AEF；②△CEF为直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2.1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，EF，AF，∠EAF＝45°.求证：EF＝BE＋DF.【方法一】补短法【思维引导】延长CD至点G，使得DG＝BE，然后证明△AFE≌△AFG.证明：延长CD至点G，使得DG＝BE，连接AG.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠DAG＋∠FAD＝45°，即∠GAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF.∵AF＝AF，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.【方法二】旋转法【思维引导】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，证明△AFE≌△AGE.证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，使AD与AB重合，由旋转的性质可知△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠D＝∠ABG＝90°，AF＝AG，∠FAD＝∠GAB，∴∠ABG＋∠ABE＝180°，即G，B，E三点共线．∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠BAE＋∠GAB＝45°，即∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF.∵AE＝AE，∴△AFE≌△AGE(SAS)，∴EF＝EG.∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF.2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，∠DAE＝45°.若BD＝2，CE＝4，求DE的长．解：将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACF，连接EF，则CF＝BD＝2，∠ACF＝∠B，∠FAC＝∠BAD，AF＝AD.∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠EAC＋∠FAC＝∠EAC＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°＝∠DAE.∵AE＝AE，∴△AFE≌△ADE(SAS)，∴FE＝DE.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ECA＋∠ACF＝∠ECA＋∠B＝90°，∴FE＝eq\r(CF2＋CE2)＝2eq\r(5)，∴DE＝2eq\r(5).模型二含60°半角模型模型特点：如图，△BCD是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∠A＋∠BDC＝180°，∠EDF＝60°.解题方法方法1：延长AC至点G，使CG＝BE，连接DG.方法2：将△BDE绕点D旋转，使BD与CD重合(需证明F，C，G三点共线).【结论】①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF.3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，在边BC上取点P，连接AP，以AP为边作∠PAQ＝60°，交CD于点Q，连接PQ.求证：△APQ是等边三角形．证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAC＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴BA＝CA，∠B＝∠ACQ＝60°.∵∠PAQ＝60°，∠BAC＝60°，∴∠PAC＋∠CAQ＝60°，∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠CAQ＝∠BAP.在△BAP和△CAQ中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BAP＝∠CAQ，,BA＝CA，,∠B＝∠ACQ，))∴△BAP≌△CAQ(ASA)，∴AP＝AQ，∴△APQ是等边三角形．4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交边AB，AC于M，N两点，连接MN.(1)探究BM，MN，NC之间的数量关系，并说明理由；(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．解：(1)MN＝BM＋NC.理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°.∵∠BDC＝120°，∴∠ABD＋∠ACD＝360°－∠A－∠BDC＝180°.将△MBD绕点D顺时针旋转120°，得到△ECD.由旋转的性质，得ED＝MD，∠ECD＝∠ABD，∠EDC＝∠MDB，∴∠ECD＋∠ACD＝180°，∴N，C，E三点共线．∵∠MDN＝60°，∴∠NDC＋∠EDC＝∠NDC＋∠MDB＝60°，∴∠EDN＝∠MDN.∵DN＝DN，∴△EDN≌△MDN(SAS)，∴NE＝CE＋NC＝MN.∵CE＝BM，∴MN＝BM＋NC.(2)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2.由(1)知MN＝BM＋NC，∴△AMN的周长为AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋NC＋AN＝AB＋AC＝4.模型三一般半角模型5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，EF，AF，∠B＋∠D＝180°，且∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，判断BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．解：EF