2025高考数学考点巩固卷16 空间向量与立体几何(六大考点)（原卷版）

空间向量与立体几何(六大考点)考点01：法向量的秒杀方法1、眼神法：给定一个几何体中，若所求平面的法向量直接可以从图中看出，则此平面垂线的方向向量即为平面的法向量．方法2、待定系数法：步骤如下：①设出平面的法向量为．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量，．③根据法向量的定义建立关于的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．方法三：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量.1．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（

）A． B． C． D．2．已知为平面的一个法向量，，则下列向量是平面的一个法向量的是（

）A． B． C． D．3．已知，，，则平面的法向量与的夹角的余弦值为（

）A． B．或C． D．或4．已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（

）A． B． C． D．5．在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（

）A． B． C． D．6．已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（

）

A． B．C． D．7．已知，若平面的一个法向量为，则（

）A． B． C． D．8．已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为（

）A． B．C． D．或9．已知，，，则平面的一个法向量是（

）A． B． C． D．10．已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（

）A． B．C． D．考点02：空间直角坐标系构建策略①：利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系②：利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系③：利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系④：利用正棱锥的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系⑤：利用底面正三角形，构建空间直角坐标系⑥：利用底面正方形的中心，构建空间直角坐标系11．已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的大小；12．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．13．如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点D到平面的距离．14．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)．(1)求证：；(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离．15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面是的中点，.

(1)求证：.(2)若㫒面直线与所成的角为，求四棱锥的体积.16．如图，为正方体．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值．17．如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：

(1)平面平面；(2)平面平面.18．如图，直三棱柱中，，，，，是的中点．(1)求直线的一个方向向量；(2)求证：．19．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.(1)求证：；(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；(3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.20．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面．考点03：坐标处理距离问题结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》 推导过程：已知直线的方向向量是，点则直线与直线夹角为θ，则结论2：《点面距离》 提示：分别是平面外及平面上的两点，是平面的法向量结论3：《线面距离》 提示：分别是直线上及平面上的任意两点，是平面的法向量结论4：《面面距离》 提示：分别是平面1及平面2的任意两点，是平面2的法向量结论5：《点点距离》提示：与,的距离为21．如图的外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，BD//CE，，BC=BD=1，为上的点.

(1)证明：；(2)当为的中点时，求点到平面的距离.22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为PD中点，且．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求直线与平面所成角的余弦值．23．如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且．(1)求四棱锥的表面积(2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离．24．如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求点到平面的距离．25．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.

(1)证明：；(2)当为线段的中点时，求点到面的距离.26．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，PB=PD，，点E，F分别为棱，的中点.(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的大小为.①求二面角的余弦值；②求点F到平面的距离.27．如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．(1)若点为棱的中点，求点到平面的距离；(2)求锐二面角的余弦值的取值范围．28．如图，在四面体中，平面，点在线段上.

(1)当点是线段中点时，求点到平面的距离；(2)若二面角的余弦值为，求的值.29．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，．(1)求到平面的距离．(2)与平面平行吗？请说明理由．30．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．考点04：坐标处理角度问题结论1：异面直线所成角 ①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出关键是求出及与结论2：线面角 提示：是线与平面法向量的夹角，是线与平面的夹角结论3：二面角的平面角 提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负.31．如图，在四棱锥中，，底面为正方形，，分别为的中点．(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．32．如图，在四棱锥中，为的中点，平面．(1)求证：；(2)若，．（i）求证：平面；（ii）设平面平面，求二面角的正弦值．33．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．

(1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由；(2)求点到平面的距离；(3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．34．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.

(1)求证：平面；(2)若，点在棱上，且二面角的大小为.①求证：；②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.35．如图，直三棱柱的体积为6，的面积为4．(1)求到平面的距离；(2)设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值．36．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.(1)证明：平面.(2)求二面角的正弦值.37．如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面所成角的余弦值.38．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为8的正三角形，，且，点G，H分别是BC，BF的中点．(1)设AE与平面DGH相交于点M，求的值；(2)求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值．39．如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动.(1)求证：.(2)当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离.(3)在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由.40．如图，平行六面体的体积为，，，，．(1)求点A到平面的距离；(2)求二面角的正弦值．考点05：坐标处理平行问题线线平行：两个向量存在一定的倍数关系线面平行：先求平面的法向量，然后法向量与线垂直即可面面平行：先求其中一平面的法向量，然后让法向量与另一个平面垂直即可41．如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，.(1)若为的中点，证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.42．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.(1)证明：平面平面；(2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.43．如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点．(1)求证：平面；(2)已知：条件①平面，条件②，条件③平面平面，从这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱存在且唯一确定，并求二面角的余弦值．44．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M是棱PC的中点．(1)求证：平面PAD；(2)求平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值．45．如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点．(1)证明：平面；(2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值．46．如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若，求点C到平面的距离．47．已知四棱锥分别为的中点，平面.(1)若，证明：平面；(2)若，二面角的大小为，求.48．如图，在三棱柱中，平面平面，，分别为棱的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.考点06：

坐标处理垂直问题线线垂直：两个向量乘积等于0线面垂直：线与平面中任意两条相交直线乘积等于0面面垂直：求两个平面的法向量，然后两个法向量乘积等于0即可49．如图所示，是的直径，点是上异于的动点，平面，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)若，二面角的正弦值为，求.50．如图，在平行六面体中，，(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.51．如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为.(1)证明：平面平面PAE；(2)求平面与平面夹角的余弦值.52．在长方体中，点E，F分别在，上，且，．

(1)求证：平面AEF；(2)当，，时，求平面AEF与平面所成二面角的余弦值．53．在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．

(1)求证：平面平面ABC；(2)求点C到平面PAB的距离．54．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.55．如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与