《分式的加减》讲义

《分式的加减》讲义一、教材版本与章节我们今天讲解的内容来自华东师大版（2012）初中数学八年级下册，第16章分式中的16.2分式的运算，具体是分式的加减这部分内容。二、教学目标1、知识与技能目标同学们要理解分式加减法的法则，就像我们之前学过的分数加减法一样。分式的加减法也有它自己的一套规则，咱们得好好掌握。比如说，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，这就和同分母分数加减法类似，这个规则得牢牢记住，就像把自己的小宝贝放在最安全的地方一样。能够熟练地进行简单分式的加减运算。这里的简单分式呢，就是那些分母不是特别复杂，分子也比较容易计算的分式。我们要像熟练的小工匠一样，看到分式的加减运算，就能麻溜地算出结果。2、过程与方法目标通过类比分数加减法的法则来探究分式加减法的法则，培养大家类比和归纳的数学思维能力。类比这个方法可厉害了，就像我们找东西的时候，找相似的地方，这样就能更快地发现规律。在这个过程中，大家要学会自己去发现、去总结，可不能总是等着老师告诉答案哦。提高同学们的运算能力和解决实际问题的能力。数学运算就像一场小战斗，每一个数字和符号都是我们的小战士，我们要合理地安排它们，让它们发挥最大的作用，算出正确的结果。而且分式的加减运算在很多实际问题中都能用到，学会了就能解决这些问题啦。3、情感态度与价值观目标培养同学们严谨的数学态度。数学是一门很严谨的学科，一个小符号或者一个小数字的错误都可能导致结果的大不同。就像盖房子，一块小砖头放错了位置，可能整座房子都不稳了。所以在做分式加减运算的时候，我们要特别仔细，不能马虎。增强同学们学习数学的信心。当大家掌握了分式的加减运算，成功地解决了一个又一个问题的时候，就会觉得自己超级厉害，学习数学的信心也就越来越足啦。三、教学重难点1、教学重点分式加减法的法则及其应用。这个法则可是我们这堂课的核心内容，就像一颗大树的树干一样重要。我们所有的分式加减运算都要依据这个法则来进行，所以大家一定要理解透彻，并且能够熟练运用。异分母分式加减法中的通分。通分就像给分式们找一个共同的“家”，只有找到了这个共同的“家”，我们才能进行加减运算。这可是异分母分式加减法的关键步骤，也是一个比较容易出错的地方，大家要特别小心。2、教学难点通分过程中最简公分母的确定。最简公分母就像一把特殊的钥匙，找到了它才能顺利地进行通分。有时候分母比较复杂，要确定最简公分母可不容易，需要大家仔细观察分母的因式分解情况，这就考验大家的观察力和分析能力啦。分式加减运算结果的化简。分式运算的结果要化为最简形式，就像我们要把自己打扮得漂漂亮亮的一样。这需要大家对因式分解、约分等知识掌握得很好，才能把结果化简到最简。四、教学方法1、讲授法老师会直接给大家讲解分式加减法的法则、通分的概念、最简公分母的确定方法等基础知识。这些就像数学世界里的基本规则，老师先把规则告诉大家，这样大家才能在这个规则下去玩耍（做练习）。2、类比教学法通过类比分数加减法的法则来学习分式加减法的法则。分数我们都很熟悉了，分式和分数有很多相似的地方，我们就利用这些相似点来帮助我们理解分式的加减法。这样大家就不会觉得分式加减法很陌生，而是像见到老朋友一样亲切。3、练习法大家都知道，数学光听不练可不行。所以我们会做很多分式加减运算的练习题，从简单到复杂，一步一步地提高大家的运算能力。就像学走路一样，先从慢慢走开始，然后再跑起来。五、教学过程（一）导入（5分钟）1、先给大家出一道简单的分数加法题：\frac{1}{2}+\frac{1}{3}。同学们肯定很快就能算出结果，是\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}。那老师再问一个问题，我们是怎么计算的呢？对啦，先通分，找到2和3的最小公倍数6作为分母，然后分子再相加。2、然后老师再写一个分式的式子，比如\frac{1}{x}+\frac{1}{y}。这个式子和刚才的分数加法题很像吧？那我们今天就来学习分式的加减法，看看分式的加减法和分数的加减法有哪些相同和不同的地方。（二）新课讲授（25分钟）1、同分母分式加减法老师在黑板上写几个同分母分式相加的例子，比如\frac{a}{b}+\frac{c}{b}。同学们看，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，所以这个式子的结果就是\frac{a+c}{b}。很简单吧？就像同分母分数加减法一样。再给大家出几道练习题，比如\frac{2}{x}+\frac{3}{x}，\frac{m}{n}-\frac{n}{n}，让同学们在练习本上做一下，做完后同桌之间互相检查。2、异分母分式加减法老师写一个异分母分式相加的例子，比如\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}。这个时候我们不能直接把分子相加了，因为分母不一样。那怎么办呢？我们要先通分。通分就是把分母变成一样的。那怎么找这个一样的分母呢？这个一样的分母就是最简公分母。对于这个式子，最简公分母就是x^{2}。把\frac{1}{x}通分变成\frac{x}{x^{2}}，这样原来的式子就变成了\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}}。那怎么确定最简公分母呢？老师来给大家总结一下方法。如果分母是单项式，就取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作最简公分母。比如说\frac{1}{2x}和\frac{1}{3x^{2}}，最简公分母就是6x²。如果分母是多项式，要先对分母进行因式分解，然后再确定最简公分母。比如\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-1}，先把x^{2}-1分解成(x+1)(x-1)，那么最简公分母就是(x+1)(x-1)。给大家出几道异分母分式加减法的练习题，如\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}，\frac{2}{x^{2}+x}+\frac{3}{x^{2}-1}，让同学们自己做一下，老师在教室里巡视，看看大家的掌握情况。（三）课堂练习（20分钟）1、布置一些分式加减法的练习题，有同分母的，也有异分母的。同分母的练习题：\frac{3}{a}+\frac{2}{a}；\frac{5}{m}-\frac{1}{m}。异分母的练习题：\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}；\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}；\frac{3}{x^{2}+2x}+\frac{1}{x^{2}-4}。2、同学们在练习本上认真做这些练习题，老师巡视的时候如果发现有同学有问题，就及时给予指导。比如有的同学在确定最简公分母的时候可能会出错，老师就可以提醒他按照之前讲的方法再仔细看一下分母的情况。3、做完练习后，老师找几位同学到黑板上把自己的答案写出来，然后大家一起检查对错。如果有错误，就一起讨论错在哪里，应该怎么改正。（四）课堂小结（10分钟）1、请一位同学起来总结一下今天学习的内容。分式加减法包括同分母分式加减法和异分母分式加减法，同分母分式相加减分母不变分子相加减，异分母分式相加减要先通分再按照同分母分式加减法的法则进行计算，通分的关键是确定最简公分母。2、老师再补充一些同学没有说到的重点内容。比如说分式加减运算结果一定要化简到最简形式，还有在通分和计算过程中要注意符号的变化等。（五）课后作业（10分钟）1、布置课后作业，作业题分为基础题和提高题。基础题：\frac{4}{y}+\frac{3}{y}；\frac{1}{a}-\frac{2}{a}；\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}；\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+2}。提高题：\frac{1}{x^{2}-x}+\frac{1}{x^{2}+x}；\frac{2}{x^{2}-4x+4}-\frac{1}{x^{2}-4}。2、要求同学们认真完成作业，下节课老师会检查作业情况，并且对作业中的问题进行讲解。六、教学反思在这堂课的教学过程中，同学们对同分母分式加减法掌握得比较好，能够很快地算出结果。但是在异分母分式加减法中，确定最简公分母还是有一些同学存在问题。在以后的教学中，要加强这方面的练习，多举一些不同类型的例子，让同学们能够熟练掌握确定最简公分母的方法。还有在课堂练习环节，时间的把控可以更精准一些，确保每个同学都有足够的时间去思考和完成练习题。另外，在讲解分式加减运算结果的化简时，可以再详细一点，多强调一些容易被忽略的细节，这样同学们在做课后作业的时候就能够更好地化简结果了。七、答案1、课堂练习答案同分母的练习题答案：\frac{3}{a}+\frac{2}{a}=\frac{3+2}{a}=\frac{5}{a}；\frac{5}{m}-\frac{1}{m}=\frac{5-1}{m}=\frac{4}{m}。异分母的练习题答案：\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{2+1}{2x}=\frac{3}{2x}；\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+2-x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}；\frac{3}{x^{2}+2x}+\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{3}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x-2)}=\frac{3(x-2)+x}{x(x+2)(x-2)}=\frac{3x-6+x}{x(x+2)(x-2)}=\frac{4x-6}{x(x+2)(x-2)}。2、课后作业答案基础题答案：\frac{4}{y}+\frac{3}{y}=\frac{4+3}{y}=\frac{7}{y}；\frac{1}{a}-\frac{2}{a}=\frac{1-2}{a}=-\frac{1}{a}；\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}=\frac{3+2}{6x}=\frac{5}{6x}；\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{3(x+2)+2(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3x+6+2x-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{5x+2}{(x-2)(x+2)}。提高题答案：\frac{1}{x^{2}-x}+\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x(x-1)}+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x+1+x-1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x(x-1)