【二轮复习】高考数学 重难点14 圆锥曲线必考压轴解答题全归类（新高考专用）（原卷版）

重难点14圆锥曲线必考压轴解答题全归类【十一大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1轨迹方程】 4【题型2圆锥曲线的弦长问题】 5【题型3圆锥曲线的“中点弦”问题】 7【题型4斜率之和差商积问题】 8【题型5圆锥曲线中三角形（四边形）的面积问题】 9【题型6圆锥曲线中的最值或取值范围问题】 11【题型7圆锥曲线中的定点、定值问题】 12【题型8圆锥曲线中的定直线问题】 13【题型9圆锥曲线与向量综合】 15【题型10圆锥曲线中的探索性问题】 16【题型11圆锥曲线新定义】 18平面解析几何是高考数学的重要考查内容，其中圆锥曲线是高考的必考内容之一，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量较大.从近几年的高考情况来看，在解答题中的考查主要有三个方面：一是平面解析几何通性通法的研究；二是圆锥曲线中的弦长、面积、最值、定点、定值或定直线等问题的求解；三是圆锥曲线中的常见模型.圆锥曲线的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”，所有的圆锥曲线有关试题都是围绕这些核心内容展开；试题难度较大，需要灵活求解．【知识点1动点轨迹问题】1.求动点的轨迹方程的方法

求动点的轨迹方程有如下几种方法：(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；(3)相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；【知识点2圆锥曲线中的弦长问题】1．椭圆的弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(a>b>0)于，两点，则或.2．椭圆的“中点弦问题”(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.设，，代入椭圆方程+=1(a>b>0)，得，

①-②可得+=0，

设线段AB的中点为，当时，有+=0.

因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法.(2)弦的中点与直线的斜率的关系

线段AB是椭圆+=1(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即.

3．双曲线的弦长问题①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.4．双曲线的“中点弦问题”“设而不求”法解决中点弦问题：①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.5．抛物线的弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点，则

|AB|==或

|AB|==(k为直线的斜率，k≠0).6．抛物线的焦点弦问题抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：标准方程弦长公式y2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)【知识点3圆锥曲线中最值或取值范围问题的解题策略】1.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【知识点4圆锥曲线中的定点、定值问题的解题策略】1.圆锥曲线中的定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.2.圆锥曲线中的定值问题的解题策略圆锥曲线中的定值问题主要分两类：一类是圆锥曲线中的定线段的长的问题；另一类是圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题.(1)探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.(2)探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.【知识点5圆锥曲线中的探索性问题的解题策略】1.圆锥曲线中的探索性问题此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【题型1轨迹方程】【例1】（2024·全国·模拟预测）已知A是圆E：x-32+y2=16上的任意一点，点F-3,0，线段AF的垂直平分线交线段AE于点T．(1)求动点T的轨迹C的方程；(2)已知点Q(4,0)，过点P(1,0)的直线l与C交于M，N两点，求证：【变式1-1】（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系xOy中，点.F5,0，点Px,y是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆D(1)求C的方程;(2)设点A(1,0),M(0,t),N(0,4-t)(t≠2)，直线AM，AN分别与曲线C交于点S，T(S，T异于A)【变式1-2】（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点P到定点F12,0的距离比到定直线x=-2023的距离小40452(1)求C的方程；(2)点A2,1,M,N为C上的两个动点，若M,N,B恰好为平行四边形MANB【变式1-3】（2024·山西临汾·一模）已知M是一个动点，MA与直线l1:y=x垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线l2:y=-x垂直，垂足(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设过点M的直线l与l1，l2分别相交于P，Q两点，△APM和△BQM的面积分别为S1和S2，若S1=【题型2圆锥曲线的弦长问题】【例2】（2024·山西·模拟预测）已知F为椭圆C:x22+y2=1的右焦点，过点F且斜率为k1的直线与椭圆C(1)求AB的取值范围；(2)过点F作直线ED与椭圆C交于点E，D，直线ED的倾斜角比直线AB的倾斜角大π4，求四边形AEBD【变式2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）设抛物线C：y2=2pxp>0，直线x-2y+1=0(1)求p；(2)若在x轴上存在定点M，使得MA⋅MB=0，求定点【变式2-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线E:x2a2(1)求双曲线E的离心率；(2)设直线y=12x-12与双曲线E【变式2-3】（2024·广西·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2①直线l的方程；②△MPQ的面积【题型3圆锥曲线的“中点弦”问题】【例3】（2023·河南开封·一模）已知直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的离心率；(2)若直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|【变式3-1】（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为(1)求抛物线C的方程；(2)已知直线l交抛物线C于M,N两点，且点4,2为线段MN的中点，求直线【变式3-2】（2023·广西南宁·模拟预测）已知双曲线C:x2a2-y2(1)求双曲线C的方程；(2)过点P1,1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB【变式3-3】（2023·河北承德·模拟预测）已知斜率为k的直线l与椭圆C:x26+y23=1(1)若n=1，m=-1，求(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点P0,-13，且AB=4【题型4斜率之和差商积问题】【例4】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,(1)求抛物线E的标准方程．(2)已知过点Q且互相垂直的直线l1,l2与E分别交于点A,C与点B,D，线段AC与BD的中点分别为【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点F2的直线l1，l2分别交椭圆E于A，B两点和C，D两点，且直线AC和BD分别与直线QF2交于点M，N，若PM和PN的斜率分别为k【变式4-2】（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24+y23=1的左，右焦点分别为F1，F2，过点T4,0且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于A(1)记直线AF2，BF2的斜率分别为k1(2)设直线AF1与BF2交于点M【变式4-3】（2023·四川南充·一模）如图，椭圆E:x25+y2=1的四个顶点为A，B，C，D，过左焦点F1(1)求四边形ABCD的内切圆的方程；(2)设R(1,0)，连结MR，NR并延长分别交椭圆E于P，Q两点，设PQ的斜率为k'．则是否存在常数λ，使得k=【题型5圆锥曲线中三角形（四边形）的面积问题】【例5】（2024·四川·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(1)求C的方程；(2)若点A、B在椭圆C上，O为坐标原点，且OA⊥OB，求【变式5-1】（2023·湖南·模拟预测）已知双曲线C:(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与椭圆y22+x2=1相切，且与双曲线C的左、右支分别交于A,B两点，与双曲线C的渐近线分别交于E,F两点．【变式5-2】（2023·安徽合肥·三模）已知点F(0,1)，动点M在直线l：y=-1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线(1)求曲线C的标准方程；(2)过F的直线与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与圆x2+y2-2y=0的另一个交点分别为【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，已知k1=3k2，设△APQ和△【题型6圆锥曲线中的最值或取值范围问题】【例6】（2023·贵州·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程；(2)若C的上顶点为E，过左焦点F1的直线交椭圆C于P，G两点（与椭圆顶点不重合），直线EP，EG分别交直线x+y+4=0于H，Q【变式6-1】（2023·河南·三模）设双曲线E:x2a2-y2b(1)求E的方程；(2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2，与E的右支分别交于A，C两点和B，D【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）已知F是抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，过点F的直线交抛物线C(1)求抛物线C的方程；(2)若O为坐标原点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，AE的中点为G，求GBDG【变式6-3】（2023·四川攀枝花·一模）与双曲线x2-y2=1(1)求椭圆C的方程；(2)过点N0,-2的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于点P，点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于点Q.求OP+【题型7圆锥曲线中的定点、定值问题】【例7】（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，(1)求椭圆E的方程；(2)当点P为椭圆E的上顶点时，过点P分别作直线PM，PN交椭圆E于M，N两点，设两直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，且k1+【变式7-1】（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且∠PGQ=π2【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线E:x2-y2=λ2(λ>0)的右顶点为A，右焦点为F，点F到E的一条渐近线的距离为2，动直线(1)求E的方程；(2)若∠FAB+∠FAC=【变式7-3】（2023·山西临汾·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，点P在C(1)求C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于D，E两点，过线段DE的中点G作直线x=4的垂线，垂足为N，记△ODE的面积为S，直线DN，EN的斜率分别为k1，k【题型8圆锥曲线中的定直线问题】【例8】（2023·山东泰安·模拟预测）已知曲线C上的动点P满足|PF1(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P'.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立①直线AB经过定点M4,0②点P'在定直线x=【变式8-1】（2023·安徽安庆·一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2

(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M【变式8-2】（2023·新疆·一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆C的方程；(2)设过M0,1的直线交椭圆C于E、D两点，Q为坐标平面上一动点，直线QE、QM、QD斜率的倒数成等差数列，试探究点Q【变式8-3】（2023·山东淄博·一模）已知抛物线C：y2=2pxp>0上一点P2,t到其焦点F的距离为3，A，B为抛物线C上异于原点的两点.延长AF，BF分别交抛物线C于点M，N(1)若AF⊥BF，求四边形(2)证明:点Q在定直线上.【题型9圆锥曲线与向量综合】【例9】（2023·广西玉林·模拟预测）已知点P在椭圆C:x212+y26=1，直线y=kx与椭圆D:x22λ+y2(1)求椭圆D的方程；(2)直线PA，PB分别交椭圆D于另一点M，N，若AB=mMN【变式9-1】（2023·广西·模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp>0上一点P的横坐标为4(1)求抛物线C的方程；(2)点A,B是抛物线C上异于原点O的不同的两点，且满足OA⋅【变式9-2】（2023·上海奉贤·一模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23，离心率为32，椭圆的左右焦点分别为F(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆上有一动点T，求PT⋅(3)设线段BC的中点为M，当t≥2时，判别椭圆上是否存在点Q，使得非零向量OM与向量【变式9-3】（2023·安徽阜阳·三模）已知双曲线C：y2a2-x2b2=1a>0,b>0，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，PM=λPN，MQ=【题型10圆锥曲线中的探索性问题】【例10】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b(1)求椭圆C的标准方程；(2)若O为坐标原点，过点4,0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C上是否存在点Q，使得直线MQ,NQ与直线x=4分别交于点A，B，且点A，B关于x【变式10-1】（2023·河南·模拟预测）已知抛物线Γ:x2=2py((1)求抛物线Γ的准线方程；(2)若过点F的直线l与抛物线Γ交于A,B两点，线段AB的中垂线与抛物线Γ的准线交于点C，请问是否存在直线l，使得tan∠ACB【变式10-2】（2023·广东梅州·三模）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ【变式10-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线l:x=1的垂线，垂足分别为M，N，记△BMP，△MNP，△CNP的面积分别为S1，S2，S3，试问：是否存在正数【题型11圆锥曲线新定义】【例11】（2023·广西·模拟预测）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若kOM，kON存在．证明：【变式11-1】（2023·全国·模拟预测）定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x2a2+y2b2=λa>b>0表示的椭圆Cλ称为椭圆x(1)当λ=2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线l1，l2恰好相交于点P，直线l(2)当λ=e2（e为椭圆C的离心率）时，设直线PM与椭圆C交于点A,B，直线PN与椭圆C【变式11-2】（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圆的面积为13π，该椭圆的上顶点和下顶点分别为(1)证明：AP1，BP2的交点P(2)求直线AP1【变式11-3】（2023·上海奉贤·二模）已知椭圆C:x24+y2b2=1b>0，A0,b，B0,-b．椭圆C内部的一点Tt,1(1)若椭圆C的离心率是32，求b(2)设△BTM的面积是S1，△ATN的面积是S2，若S1(3)若点U(xu,yu)，V(xv,yv)满足1．（20