【二轮复习】高考数学 重难点13 圆锥曲线常考经典小题全归类（新高考专用）（原卷版）

重难点13圆锥曲线常考经典小题全归类【十二大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆锥曲线的定义及应用】 3【题型2圆锥曲线的标准方程的求解】 4【题型3椭圆、双曲线的离心率或其取值范围问题】 5【题型4焦半径问题】 5【题型5焦点三角形问题】 6【题型6圆锥曲线中的最值问题】 6【题型7阿波罗尼斯圆与圆锥曲线】 6【题型8阿基米德三角形】 8【题型9蒙日圆】 9【题型10切线问题】 10【题型11定比点差法与点差法】 10【题型12圆锥曲线的光学性质问题】 11圆锥曲线是高考的热点内容，其中圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容.从近几年的高考情况来看，在选择、填空题中的考查主要有三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题；难度中等.通过对圆锥曲线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、逻辑推理与数学运算等核心素养．【知识点1圆锥曲线的定义及应用】1.利用圆锥曲线的定义求轨迹方程

在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．2.圆锥曲线定义的应用(1)圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．(2)应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．【知识点2圆锥曲线的几何性质的研究】1.解析法研究圆锥曲线的几何性质：用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．【知识点3圆锥曲线的标准方程的求解方法】1.椭圆标准方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.2.双曲线标准方程的求解(1)用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.(2)用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.3.抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点4椭圆、双曲线的离心率或其取值范围的解题策略】1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用离心率公式求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.【知识点5圆锥曲线中的最值问题的解题策略】1.椭圆中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.2.双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.3.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【题型1圆锥曲线的定义及应用】【例1】（2023·陕西西安·模拟预测）P为椭圆x26+y22=1上一点，曲线x2+y=1与坐标轴的交点为A，B，C，D，若PA+PB+PC+PD=4A．913 B．813 C．219【变式1-1】（2023·四川达州·二模）设F1，F2是双曲线C：x24-y23=1的左、右焦点，过F2的直线与A．5 B．6 C．8 D．12【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)，直线l:x=32与抛物线C相交于A，B两点，点A为x轴上方一点，过点AA．12 B．1 C．2 D．【变式1-3】（2023·广东广州·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2.A．23 B．45 C．57【题型2圆锥曲线的标准方程的求解】【例2】（2023·河南安阳·二模）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2A．x2-yC．2x23【变式2-1】（2023·河南新乡·三模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，C上一点A．y2=2x B．y2=x【变式2-2】（2023·安徽合肥·三模）已知O为坐标原点，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，平行四边形OACB的三个顶点A，B，C在椭圆E上，若直线ABA．x28+C．x24+【变式2-3】（2023·天津河西·模拟预测）已知双曲线x2a2-y2b2=1(A．x22-C．x24-【题型3椭圆、双曲线的离心率或其取值范围问题】【例3】（2023·广西南宁·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，直线A．33 B．3 C．3-1【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,A．2 B．4 C．5 D．6【变式3-2】（2023·全国·模拟预测）已知F1,F2是椭圆C1:x212+yA．52 B．5 C．102 D【变式3-3】（2023·湖南永州·一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，点PA．217 B．3311 C．77【题型4焦半径问题】【例4】（2023·西藏拉萨·一模）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在抛物线C上，且MF=4，O为坐标原点，则A．5 B．25 C．4 D．【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）设F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点P为C上第四象限的点．若直线A．6 B．4 C．3 D．2【变式4-2】（2023·四川·模拟预测）设O为坐标原点，点P2,y0在抛物线C:y2=2px(p【变式4-3】（2023·广东茂名·三模）已知O为坐标原点，直线l过抛物线D:y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线D及其准线依次交于A,B,C三点（其中点【题型5焦点三角形问题】【例5】（2023·广东梅州·三模）已知椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线A．23 B．13 C．4 D．【变式5-1】（2023·广东广州·一模）双曲线C:x2-y2=4的左，右焦点分别为F1,F2，过F2作垂直于A．62-8 B．62-4【变式5-2】（2023·安徽·一模）已知椭圆C:x2a2+y2=1a>1的左、右焦点分别为F1、F2，过FA．32 B．3 C．23 D【变式5-3】（2023·四川成都·模拟预测）已知F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A．52 B．12 C．5-【题型6圆锥曲线中的最值问题】【例6】（2023·广西柳州·模拟预测）已知F1,F2是椭圆x24+【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，M4,0，过点M作直线x+a-3y-3【变式6-2】（2022高三·江苏·专题练习）已知椭圆E:x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2【变式6-3】（2022·河北邯郸·一模）已知点P在双曲线x24-y25=1的右支上，A0,2，动点B满足【题型7阿波罗尼斯圆与圆锥曲线】【例7】（2023·贵州毕节·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办法．如图，已知圆锥的高与底面半径均为2，过轴OO1的截面为平面OAB，平行于平面OAB的平面α与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分．若双曲线C的两条渐近线分别平行于OA,OB，则建立恰当的坐标系后，双曲线A．y2-xC．y2-x【变式7-1】（22-23高三下·湖北武汉·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，A．12 B．22 C．32【变式7-2】（2023·湖南·模拟预测）两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形，平面α∥PQ，平面α截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（A．233 B．133 C．3【变式7-3】（2023·新疆乌鲁木齐·三模）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，点A-32,12，B-32,2，若点P是满足λ=A．34 B．37 C．42 D．3【题型8阿基米德三角形】【例8】（2023·青海西宁·二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点，△ABQA．p22 B．p2 C．2【变式8-1】（2023·河北唐山·模拟预测）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(A．x29+4y227=1 B【变式8-2】（2023·山西·模拟预测）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①点P必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且∠APB为直角；③PF⊥AB，已知P为抛物线A．12 B．14 C．2 D【变式8-3】（2024·陕西铜川·一模）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆C的面积为125π，离心率为23，F1，F2是椭圆C的两个焦点，A①椭圆C的标准方程可以为x236+y220③存在点A，使得∠F1AF2A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【题型9蒙日圆】【例9】（2023·青海西宁·二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：x2a2+y2b2=1A．22 B．32 C．33【变式9-1】（2023·四川·三模）19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆x2a2+y2b2=1a>bA．±3 B．±4 C．±5 D．2【变式9-2】（2023·江西·模拟预测）定义：圆锥曲线C:x2a2+y2b2=1的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，a2+b2为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆C的方程为x25+y24=1，A．-34或43 B．125或0 C．-95或【变式9-3】（2023·贵州毕节·模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M:x2

A．椭圆M的离心率为33 B．椭圆M的蒙日圆方程为C．若G为正方形，则G的边长为25 D．长方形G的面积的最大值为【题型10切线问题】【例10】（2024·江苏·模拟预测）已知P为抛物线x2=4y上一点，过P作圆x2+(y-3)A．12 B．23 C．34【变式10-1】（2023·湖北·一模）已知圆C1:x2+y2=b2b>0与双曲线C2:x2a2-A．1,52 BC．1,3 D．【变式10-2】（2022·河南·模拟预测）已知Ma,3是抛物线C：x2=2pyp>0上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为4，过点P4,2向抛物线C作两条切线，切点分别为A．-1 B．1 C．16 D．【变式10-3】（2024·河南·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2a>b>0的左、右焦点分别为F1-c,0，F2c,0，过点F2作圆O：x2+yA．12 B．64 C．22【题型11定比点差法与点差法】【例11】（2023·河南·模拟预测）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的离心率为2，直线lA．2 B．3 C．4 D．6【变式11-1】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，MA．12 B．22 C．33【变式11-2】（2023·四川成都·模拟预测）已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦点F1的直线l（斜率为正）交双曲线于A．26 B．35 C．43【变式11-3】（2023·全国·模拟预测）已知直线l:y=kx与椭圆E:x2a2+y2b2=1a>A．-22,-C．-32,-【题型12圆锥曲线的光学性质问题】【例12】（2023·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F

A．2 B．2 C．72 D．【变式12-1】（2023·河北张家口·二模）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是80cm，灯深40cm，则光源到反射镜顶点的距离为（A．20cm B．10cm C．30cm【变式12-2】（2022·全国·模拟预测）桂林山水甲天下，那里水㺯山秀，闻名世界，桂林的山奇特险峻，甲、乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A、B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点，现已知椭圆：C:x2100+y216=1上一点M，过点M作切线l，AA．26 B．10 C．310 D【变式12-3】（2023·河南郑州·模拟预测）双曲线的光学