信息必刷卷02（北京专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷含解析

信息必刷卷02（北京专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷02（北京专用）数学考情速递高考·新动向：如第9题，第10题新文化题与立体几何和数列相结合，体现新动向高考·新考法：如第21题考查数列新定义，提升学子的理解和变通能力高考·新情境：如第14题，18题涉足生活情境，借助实际生活考查函数及统计与概率命题·大预测：整套试题对知识和能力的考查相当灵活和宽泛，体现了北京高考教考衔接的理念和特点。测试卷突出考查学生的思维品质和核心概念，引导高中数学教学遵循课程标准，突出基本目标，注重教材基础知识、基本技能考查、分析解决问题能力考查（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（

）A． B． C． D．3．已知单位向量和，若，则（

）A．2 B．1 C． D．4．下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（

）A． B．C． D．5．在的展开式中，项的系数为（

）A． B． C．16 D．1446．已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（

）A．8 B． C． D．7．已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且，则（

）A． B． C． D．8．已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是长方体，手柄近似空心的圆柱.已知铜方升总长是，内口长，宽，高（忽略壁的厚度，取圆周率），若手柄的底面半径为，体积为，则铜方升的容积约为（小数点后保留一位有效数字）（

）

A． B． C． D．10．为公差不为零的等差数列，是其前项和，是等比数列，是其前项和，则下列说法正确的是（

）A．对任意，，如果，那么B．存在，，满足，且C．对任意，，如果，那么D．存在，，满足，且第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知，若，则.12．已知双曲线，则的离心率为；以的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为.（写出一个即可）13．已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为.14．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入万元．15．已知函数，下面命题正确的是.①存在，使得；②存在，使得；③存在常数，使得恒成立；④存在，使得直线与曲线有无穷多个公共点.三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。16．（13分）如图所示，在四棱锥中，，，．

(1)若平面，证明：平面；(2)若底面，，二面角的正弦值为，求的长．17．（14分）已知函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.18．（13分）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；(2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；(3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明）19．（15分）已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由．20．（15分）设函数．(1)若m＝－1，①求曲线在点处的切线方程；②当时，求证：.(2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围.21．（15分）给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.(1)若，，，，，求和；(2)求证：，；(3)求的最小值.2025年高考考前信息必刷卷02（北京专用）数学·参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678910ADBDCCCBAC二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．或12．或（）13．（答案不唯一）14．15．①③三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。16．（13分）【详解】（1）证明：∵，，，即，∴，即，∵平面，平面，∴，（4分）∴，又平面，平面，∴平面；（6分）（2）∵底面，底面，∴，，又，以点为原点，以所在的直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：（8分）

令，则，，则，，设平面的法向量为n1=∴，令，则，∴，设平面的法向量为，∴，令，则，∴，∵二面角的正弦值为，则余弦值为，又二面角为锐角，∴，解得，所以.（13分）17．（14分）【详解】（1）由题意可知：，因为函数的最小正周期为，且，所以.（4分）（2）由（1）可知：，因为，则，可知当，即时，取到最大值3，即.（6分）若条件①：因为，由正弦定理可得，又因为，可得，且，则，可得，所以，（10分）由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为；（14分）若条件②；因为，由正弦定理可得：，则，因为，则，可得，即，且，所以，（10分）由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为；（14分）若选③：因为，则，整理得，且，所以，（10分）由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为.（14分）18．（13分）【详解】（1）根据表格中数据，完善表格，可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为，（2分）用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为；（4分）（2）男女比例为，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为，女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为，（6分）抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”，则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为，1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为，故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为；（10分）（3），，，因为，所以.（13分）19．（15分）【详解】（1）由题意可知，因为离心率为，所以，（2分）所以，故是正三角形，如图所示：若直线，则直线垂直平分线段，所以，由于的周长为，故的周长为，（4分）由定义可知：，所以的周长为，故，所以，故，所以椭圆的方程：.（6分）（2）由题意可设直线的方程为，，则，如图所示：可得直线的方程为：，因为，将其代入直线方程，可得，（8分）可整理得：，联立方程得，则，所以，即，将其代入式中，可得直线方程为：，（13分）可见直线过定点，所以直线过定点，坐标为.（15分）20．（15分）【详解】（1）①当时，，可得，则，（2分）可得曲线在点处的切线方程为，即．（4分）②令，则，当时，可得在上单调递减，又因为，所以，即，即，即当时，.（6分）（2）由函数，可得，令，当时，，即在区间0,1上单调递增．因为，所以，所以函数在区间0,1上没有零点，不符合题意；（10分）当时，函数的图像开口向上，且对称轴为直线，由，解得，当时，在区间0,1上恒成立，即在区间0,1上单调递减．因为，所以，所以函数在区间0,1上没有零点，不符合题意．（12分）综上可得，，设使得，当时，单调递减；当时，单调递增，因为，要使得函数在区间上存在唯一零点，则满足，解得，所以实数m的取值范围为．（15分）21．（15分）【详解】（1）以为首项的最长递增子列是，以为首项的最长递减子列是和.所以，.（3分）（2）对，由于是的一个排列，故.若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，得到一个以为首项的更长的递增子列，所以；而每个以为首项的递减子列都不包含，且，故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以.（5分）这意味着；若，同理有，，故.总之有，从而和不能同时为零，故.（7分）（3）根据小问2的证明过程知和不能同时为零，故.情况一：当为偶数时，设，则一方面有；（8分）另一方面，考虑这样一个数列：，.则对，有，.故此时.（10分）结合以上两方面，知的最小值是.情况二：当为奇数时，设，则一方面有；（12分）另一方面，考虑这样一个数列：，.则对，有，.故此时.（14分）结合以上两方面，知的最小值是.综上，当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是.（15分）绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷02（北京专用）数学考情速递高考·新动向：如第9题，第10题新文化题与立体几何和数列相结合，体现新动向高考·新考法：如第21题考查数列新定义，提升学子的理解和变通能力高考·新情境：如第14题，18题涉足生活情境，借助实际生活考查函数及统计与概率命题·大预测：整套试题对知识和能力的考查相当灵活和宽泛，体现了北京高考教考衔接的理念和特点。测试卷突出考查学生的思维品质和核心概念，引导高中数学教学遵循课程标准，突出基本目标，注重教材基础知识、基本技能考查、分析解决问题能力考查（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，又，所以，故选：A．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】复数对应的点的坐标是，所以，，所以.故选：D．3．已知单位向量和，若，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【详解】因为，，所以，所以，所以，所以，故选：B4．下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，因，则函数为偶函数，且显然在0,+∞上先减后增，故A错误；对于B，因，则函数为偶函数，且，显然函数在0,+∞上为增函数，故B错误；对于C，函数的定义域为0,+∞，故是非奇非偶函数，故C错误；对于D，因的定义域为，关于原点对称，且，即函数是偶函数，且在0,+∞上单调递减,即D正确.故选：D.5．在的展开式中，项的系数为（

）A． B． C．16 D．144【答案】C【详解】，其展开式通项公式为，，所以所求项的系数为，故选：C．6．已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（

）A．8 B． C． D．【答案】C【详解】因为抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，所以，故，不妨设在第一象限，故，所以.故选：C.7．已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，由正弦定理可得，、，则，所以，，所以，，故.故选：C.8．已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】易知圆的圆心为，半径为，当，直线与圆有公共点时，恒成立，即恒成立，则且，解得，即或（舍去）所以“，直线与圆有公共点”是“”的必要不充分条件，故选：B.9．公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是长方体，手柄近似空心的圆柱.已知铜方升总长是，内口长，宽，高（忽略壁的厚度，取圆周率），若手柄的底面半径为，体积为，则铜方升的容积约为（小数点后保留一位有效数字）（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意手柄的底面半径为，体积为，则手柄的底面积为，所以手柄的长度为，所以长方体的内口长，所以升体的容积为，即铜方升的容积约为.故选：A10．为公差不为零的等差数列，是其前项和，是等比数列，是其前项和，则下列说法正确的是（

）A．对任意，，如果，那么B．存在，，满足，且C．对任意，，如果，那么D．存在，，满足，且【答案】C【详解】对于A：是首项为，公差为，则满足，但不满足，故A错误；对于B：若，则可得或或或，不妨取，由等差数列的前项和公式可得，所以，故B错误；对于C：若，则或或或，显然公比，由等比数列前项和公式可得，故，所以必为偶数，可得，所以，故C正确；对于D：，则等比数列的公比为，则，故，故D错误.故选：C.【点睛】考查等比数列，等差数列的项和公式的应用，以及等比，等差数列的性质，灵活运用是关建,第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知，若，则.【答案】或【详解】因为且，所以或，解得或.故答案为：或12．已知双曲线，则的离心率为；以的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为.（写出一个即可）【答案】或（）【详解】的离心率为，又渐近线为，即，故焦点与到的距离均为，则以的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为或，故答案为：；或（）13．已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为.【答案】（答案不唯一）【详解】，若对任意实数x都有恒成立，则，或，由，得，因为，令，得，由，得，因为，令，得，所以满足条件的一组有序数对为或.故答案为：（答案不唯一）14．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入万元．【答案】【详解】设李明获得的利润为万元，则，则，当且仅当，因为，即当时，等号成立.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．已知函数，下面命题正确的是.①存在，使得；②存在，使得；③存在常数，使得恒成立；④存在，使得直线与曲线有无穷多个公共点.【答案】①③【详解】函数，定义域.由于知其为偶函数.，令，与同正负..对于①，当，，则单调递增，则，故存在，，即存在，使得.故①正确.对于②，与①同理，当，，则单调递减，则，故，，即，单调递减.任意，，故②错误.对于③，由于为偶函数，根据对称性，我们只需要考虑即可.令，则，即在上单调递减，故，即，故，故存在常数，使得，故③正确.对于④，将代入，得，由于为偶函数，根据对称性，我们只需要考虑即可.由①②知，，单调递减，，单调递减，，单调递增.一直往复下去.图象如下.则与不能有无数个交点，即与不能有无穷多个公共点.故④错误.综上所得，只有①③正确.故答案为：①③.三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。16．（13分）如图所示，在四棱锥中，，，．

(1)若平面，证明：平面；(2)若底面，，二面角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵，，，即，∴，即，∵平面，平面，∴，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵底面，底面，∴，，又，以点为原点，以所在的直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：

令，则，，则，，设平面的法向量为n1=∴，令，则，∴，设平面的法向量为，∴，令，则，∴，∵二面角的正弦值为，则余弦值为，又二面角为锐角，∴，解得，所以.17．（14分）已知函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.【答案】(1)1(2)【详解】（1）由题意可知：，因为函数的最小正周期为，且，所以.（2）由（1）可知：，因为，则，可知当，即时，取到最大值3，即.若条件①：因为，由正弦定理可得，又因为，可得，且，则，可得，所以，由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为；若条件②；因为，由正弦定理可得：，则，因为，则，可得，即，且，所以，由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为；若选③：因为，则，整理得，且，所以，由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为.18．（13分）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；(2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；(3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明）【答案】(1)140(2)(3)【详解】（1）根据表格中数据，完善表格，可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为；（2）男女比例为，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为，女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为，抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”，则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为，1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为，故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为；（3），，，因为，所以.19．（15分）已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见详解.【详解】（1）由题意可知，因为离心率为，所以，所以，故是正三角形，如图所示：若直线，