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文档简介

第二节一、对坐标曲线积分概念与性质二、对坐标曲线积分计算法三、两类曲线积分之间联络对坐标曲线积分第1页一、对坐标曲线积分概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作功.设一质点受以下变力作用在xOy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作功处理方法:动过程中变力所作功W.第2页1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做功为F

沿则用有向线段上任取一点在第3页3)“近似和”4)“取极限”(其中

为n

个小弧段最大长度)第4页2.定义.设

L

为xOy

平面内从A到B一条有向光滑弧,若对L任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作第5页若

为空间曲线弧,记称为对x曲线积分;称为对y曲线积分.若记,对坐标曲线积分也可写作类似地,第6页3.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分特例.说明:

对坐标曲线积分必须注意积分弧段方向

!第7页二、对坐标曲线积分计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L参数方程为则曲线积分连续,存在,且有第8页尤其是,假如L

方程为则对空间光滑曲线弧

:类似有定理第9页例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点一段.第10页例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L参数方程为(2)取L方程为则则第11页例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第12页例4.设在力场作用下,质点由沿

移动到解:(1)(2)

参数方程为试求力场对质点所作功.其中

为第13页例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取

参数方程第14页三、两类曲线积分之间联络设有向光滑弧L

以弧长为参数

参数方程为已知L切向量方向余弦为则两类曲线积分有以下联络第15页类似地,在空间曲线

上两类曲线积分联络是第16页例7.

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