弹塑性力学完整版本

弹塑性力学课程安排授课方式：讲座,讨论,练习考试方式：闭卷或开卷参考书目≤应用弹塑性力学≥，徐秉业、刘信声、著，北京：清华大学出版社，1995≤岩土塑性力学原理≥，郑颖人、沈珠江、龚晓南著，北京：中国建筑工业出版社，2002≤弹塑性力学引论≥，杨桂通编著，北京：清华大学出版社，2004≤弹性与塑性力学≥，陈惠发、A.F.萨里普著，北京：建筑工业出版社，2004目录一、绪论二、矢量张量三、应力分析四、应变分析五、本构方程六、弹塑性力学问题七、能量原理及变分法八、塑性极限分析一、绪论1.1基本概念1.2弹塑性力学的发展历史1.3塑性力学的主要内容1.4塑性力学的研究方法1.5与初等力学理论的联系1.6弹塑性力学的发展趋势1.1基本概念弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力学问题打下必要的理论基础。弹塑性力学的基本假设

（1）物体是连续的，其应力、应变、位移都可用连续函数表示。（2）变形是微小的，忽略变形引起的几何变化。即连续介质和小变形假设。弹性和塑性变形的特点弹性变形的特点:应力－应变之间具有一一对应的关系，且在许多情况下可以近似地按线性关系处理。塑性变形的特点：应力－应变关系不再一一对应，且一般是非线性的单轴应力应变曲线弹性、塑性线性、非线性典型的塑性本构模型理想弹塑性模型强化弹塑性模型软化弹塑性模型1）理想弹塑性模型2）强化弹塑性模型3）软化弹塑性模型弹塑性力学基本方程弹塑性力学的基本方程是：（1）平衡方程；（2）几何方程。（3）本构方程。前两类方程与材料无关，塑性力学与弹性力学的主要区别在于第三类方程1.2

弹塑性力学发展历史1678年胡克（R.Hooke）提出弹性体的变形和所受外力成正比的定律。19世纪20年代，法国的纳维（C.I.M.H.Navier）、柯西（A.I.Cauchy）和圣维南（A.J.C.B.deSaintVenant）等建立了弹性理论1864年特雷斯卡（H.Tresca）提出最大剪应力屈服条件。1871年列维（M.Levy）将塑性应力应变关系推广到三维情况。米赛斯（R.vonMises）提出形变能屈服条件。普朗特（L.Prandtl）和罗伊斯（A.Reuss）提出塑性力学中的增量理论岩土塑性理论形成早期研究：1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为

Mohr-

Coulomb准则；1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移面概念；1903年Kötter建立滑移线方法；1929年Fellenius提出极限平衡法；1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法；1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法；1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。形成独立学科：岩土塑性力学最终形成于20世纪50年代末期；1957年Drucker指出要修改Mohr-Coulomb准则，以反映平均应力或体应变所导致的体积屈服；1958年剑桥大学的Roscoe等提出土的临界状态概念，于1963年提出剑桥粘土的弹塑性本构模型，开创了土体实用计算模型从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃，建立的岩土本构模型也很多。1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，指出岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。1.3塑性力学的主要内容（1）建立屈服条件。对于给定的应力状态和加载历史，确定材料是否超出弹性界限而进入塑性状态，即材料是否屈服（2）判断加载、卸载。加载和卸载中的应力应变规律不同，需要建立准则进行判断。（3）描述加载（或变形）历史。应变不仅取决应力状态，还取决于达到该状态的历史，在加载过程中必须对其历史进行记录。1.4塑性力学的研究方法宏观塑性理论以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特点是：数学上力求简单，力学上能反映试验结果的主要特性。实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变形过程的物理化学本质。细微观塑性理论从细微观的层次来看，具有内部细微结构，如位错、微裂纹和微孔洞等。从细微结构的改变过程推求宏观塑性变形性质宏观塑性理论的求解方法精确解法。满足弹塑性力学中全部数学方程的解；近似解法。采用合理简化假设，获得近似结果。如差分法、有限元法、加权残值法等。实验方法。采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力和应变的分布规律。精确解法对形状简单的物体比较有效，但对复杂形状的物体难以列出方程；有限元数值解法是近似方法，将列出方程的难度转移到复杂几何形状的模拟上。1.5与初等力学理论的联系材料力学、结构力学从研究对象、基本任务来看，弹塑性力学与它们都是相同的；从处理问题的方法来看，都是从静力学、几何学、本构关系三个方面进行分析。区别研究问题的范围：材料力学仅研究杆状构件，结构力学主要研究杆状构件组成的结构系统，弹塑性力学涉及各种固体结构。研究问题的深度：材料力学和结构力学主要局限于弹性阶段，而弹塑性力学研究从弹性阶段到塑性阶段，直至最后破坏的整个过程。研究问题的简化程度：材料力学和结构力学除了采用与弹塑性力学相同的一些基本假定外，还要对杆件的应力分布和变形状态作一些附加的假定。如梁横力弯曲的平截面假定等，得到的结果比较近似。而弹塑性力学则不作该假定。总的来看，弹塑性力学的研究范围更加广泛、研究问题更加深入，得到的结果更加精确。1.6弹塑性力学的发展趋势由早期的精确解法占主导地位到如今的数值近似解法占主导地位。由线性问题向非线性问题不断扩展，并且研究开裂过程，多组分材料、多场耦合问题。由研究型的软件逐渐发展成商品化软件，如ANSYS、ADINA等。以后的趋势是功能更加完善，使用更加方便，与其它软件进行集成。二、矢量和张量2.1基本概念2.2矢量2.3张量2.1基本概念讨论应力、应变和本构方程时，通常采用矢量和张量符号。具有表达简洁的特点。坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系，熟悉记法为x轴、y轴、z轴，按规则记法为x1轴、

x2轴、

x3轴。2.2.1矢量代数矢量既有大小又有方向，在坐标系中通常用箭头表示。对空间任一点Ｐ，坐标是（v1，v２，v３），可以表示为矢量ＯＰ或Ｖ。由单位矢量叠加有：或简洁写为：若两矢量Ｖ和Ｕ相等，可表示为：可简洁表示为：下标i没有特别指明，认为它代表了三种可能下标中的任一个。两个矢量Ｕ与Ｖ之和由平行四边形法则得到，为分量之和：或简洁表示为：2.2.2标量积矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积）和矢量积（叉积）。矢量U和V的标量积定义为：|U|表示矢量U的绝对长度，为矢量U和V的夹角。标量积的计算式为：两个垂直矢量的点积为零。一个矢量长度的平方由它与自身的点积得到。应用：力F作用在一运动速度为V的物体上，功率由点积（）求出。2.2.3矢量积两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右手螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长度等于。标记为：W的大小等于由U和V组成的平行四边形的面积。矢量积的计算式为矢量叉积不满足交换律和结合律：一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力F绕原点的力矩为：2.2.4三重积三重标量积：称为三重标量积或框积，是以U、V、W为边的平行六面体的体积或体积的负值。可用[U，V，W]来表示。三重矢量积：2.2.5标量场和矢量场函数称为一个标量场，梯度构成矢量场，垂直于=常数的表面。矢量的散度：矢量的旋度：2.3张量1.3.1指标记法和求和约定1.3.2符号（Kronecker符号）1.3.3符号（交错张量）1.3.4坐标变换1.3.5笛卡尔张量1.3.6张量性质2.3.1指标记法和求和约定矢量V用指标记法为，指标可以自由挑选。规则1：如果在一个表达式或方程的一项中，一种下标只出现一次，称之为“自由指标”。规则2：如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为“哑标”，它表示从1到3进行求和。规则3：在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。在下标中，用一个逗号表示微分，如：2.3.2符号（Kronecker符号）克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即由求和约定可得到由于所以，将应用于只是将j用i置换，因此符号通常称为置换算子。2.3.3符号（交错张量）符号有33或27个元素，取值为1，-1，0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如果交换次数为偶数，则元素为1，为奇数，则为-1，如果下标出现重复，则值为0。可从图解判断：叉积证明：对分量1，对于表达式由于下标1，j，k必须互不相同，所以可能的组合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2，因而同理可对其它分量计算，合并得证。三重标量积可写为对交错张量和克罗内尔符号，有下列关系式：可用指标方法证明：2.3.4坐标变换假设和是共原点的两个笛卡尔右手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中的分量分别为和，则有称为方向余弦，即与轴夹角的余弦。方向余弦表新坐标轴老坐标轴注意的元素不对称。由的定义有：所以或该式隐含6个等式：两坐标系中的点的坐标变换为和i为新坐标轴，j为旧坐标轴。2.3.5笛卡尔张量张量的名称起源于它与应力（张力）有关的历史。新坐标系中每一个新矢量的分量是原来分量的一个线性组合，这种变换很规则方便且有很多用途。根据线性变换的思想来定义张量。标量不受坐标变换的影响，定义为零阶张量，分量数=30=1。满足，这些矢量称为一阶张量，分量数=31=3。满足，称为二阶张量，分量数=32=9。满足，称为三阶张量，分量数=33=27。如此可以推广到更高阶张量。虽然所有的矢量都是张量，但并不是所有的矩阵都必定是张量，如工程应变分量不构成一个张量。2.3.6张量性质相等当两个张量对应的分量相等时，则定义它们相等。相加两个同阶张量的和（或差）仍是一个同阶张量，其分量为两个张量对应分量的和（或差）。相乘一个张量与一个标量的乘积为一同阶的张量。张量相乘构成一个新张量，其阶数是原张量的阶数之和。如缩并将两个指标赋给相同的字母，则张量进行缩并。如对三阶张量，有缩并后，这是对一阶张量的变换规则。对称与斜对称对张量，如果，则称之为对称张量；如果，则称之为斜对称张量。任何一个二阶张量都可唯一分解成一个对称张量与一个斜对称张量之和，即各向同性如果一个张量的分量在所有坐标系中都具有相同的值，则它是各向同性的。张量都是各向同性的。商法则对于，如果在任一坐标系中对任何张量，有：c是一标量，则是一个张量。证明：由于c是标量由于于是得到对任意矢量有，为一矢量；对任意张量有，为一张量；那么为一张量。对任意矢量有，c为一标量，那么为一张量。例题2-1如果是一个标量，试证明（a）是一个一阶张量；（b）是一个二阶张量；（c）是一个标量（零阶张量）；三、应力分析3.1一点的应力状态3.2主应力3.3最大剪应力3.4Mohr应力图3.5偏应力张量3.6八面体应力3.7应力的几何表示3.8平衡方程3.1一点的应力状态材料质点从宏观尺度上看它无限小；但微观尺度上看它无限大，它包含大量稀疏分布的分子、原子；材料质点的力学行为是这些大量分子、原子力学行为的统计平均。应力矢量T(n)=定义坐标分量

T(n)=Txex+Ty

ey+Tzez

ex，ey和ez表示坐标轴的单位基矢量，Tx、Ty

和Tz是应力矢量沿坐标轴分量。法线方向和切线方向分量沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。性质：同一点的T(n)与所取截面的法线方向n有关，所有这些不同截面上的应力矢量构成该点的应力状态只有三个面上的应力矢量是独立的；外法线为

n微面上的应力矢量为：T(

n)=

T(n) 应力张量

zy

z

y

x

xy

xz微六面体三个坐标面上的应力矢量T(ex)＝

xex+

xyey+

xzez T(ey)＝

yxex+

yey+

yzez

T(ez)＝

zxex+

zyey+

zez以上9个分量，构成应力张量在笛卡尔坐标系下的分量张量表示用1、2、3取代下标x、y、z，应力正、负号规定正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。Cauchy公式（斜面应力公式）已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应力矢量，由四面体平衡条件导出。由微四面体的平衡条件得：T(n)dS+T(

ex)ldS+T(

ey)mdS+T(

ez)ndS+XdhdS/3=0T(

n)＝T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n 将斜面应力矢量T(

n)沿坐标轴方向分解 T(

n)＝Txex+Tyey+Tzez

斜截面公式

Tx＝

xl+

yxm+

zxn

Ty＝

xyl+

ym+

zyn

Tz＝

xzl+

yzm+

zn张量表示：Tj

=

ij

ni求斜截面的各种应力（1）正应力

n=T(n)

n=Txl+Tym+Tzn

n＝

xl2+

ym2+

zn2+2

xylm+2

yzmn+2

zxnl＝

ijninj

（2)剪应力确定力边界条件例题3-1求在面上的法向正应力和切向剪应力

解应力分量的坐标变换

exeyezl11l12l13l21l22l23l31l32l33

3.2主应力在主平面上，无剪切应力T(n)＝

n

或Tx＝

lTy＝

mTz＝

n

(

x

)l+

yxm+

zxn＝0

xyl+(

y

)m+

zyn＝0

xzl+

yzm+(

z

)n＝0 l2+m2+n2=1非零解条件特征方程

3

I1

2+I2

I3=0不变量I1=

x+

y+

z=

kk

I2=

x

y+

x

z+

y

z

(

)=

(

ij

ij)

主应力性质（1）主平面相互垂直（2）极值性3.3最大剪应力以应力主轴建立坐标系，在法线为n的斜截面上，应力矢量为 T(

n)＝T(e1)l+T(e2)m+T(e3)n＝l

1e1+m

2e2+n

3e3

斜截面上的正应力

n=T(

n)

n=l2

1+m2

2+n2

3

应力矢量的模为 =(l

1)2+(m

2)2+(n

3)2

斜截面上的剪应力是 =(l

1)2+(m

2)2+(n

3)2－(l2

1+m2

2+n2

3)2

当斜截面方向l、m、n变化时，剪应力

n随之变化。求上式的极值可得最大剪应力约束条件

l2+m2+n2=1条件极值无条件极值 F=

(l2+m2+n2

1)

为引进拉格朗日乘子

lmn

n0000

10000

2

0000

3

000最大剪应力规定

1

2

3

所在平面与

2平行而与

1和

3的角度分别为450

并非纯剪面，存在正应力纯剪切状态一个应力状态成为纯剪切状态的充分必要条件是必要性直接从定义得到，充分性证明采用连续性判断。3.4Mohr应力图每个截面上有正应力和剪应力，建立平面坐标系—截面上的应力对应坐标系的一个点截面上的正应力和剪应力＝(l

1)2+(m

2)2+(n

3)2截面上的正应力

n=T(

n)

n=l2

1+m2

2+n2

3l2+m2+n2=1 以上三个式子联立求解方向余弦

平面应力Mohr圆消去，得用斜截面应力公式，得到法向应力和切向应力，并用倍角公式变形得主应力时，由此可决定方向3.5偏应力张量静水压力状态偏应力状态定义平均应力

0=(

x

+

y+

z)

两种应力状态用张量表示

ij=sij+

0

ij其中ij是Kronecker符号，定义为

ij=1，当i＝j

ij=0，当i≠j，关于静水压力状态任意一个面都是主平面主应力值均相等在应力圆上是一个点静水压力张量是各向同性张量偏应力张量sij的主值

s3+J1s2

+

J2s+J3=0 J1

=skk=sx+sy+sz=0J2=sijsij=[(

x

y)2+(

y

z)2+(

x

z)2+6()] =[(

1

2)2+(

2

3)2+(

1

3)]2

3.6八面体应力八面体每个面的外法线为

n=le1+me2+ne3=(e1+e2+e3)称为等倾面等倾面上的应力

8=(

1+

2+

3)八面体剪应力和最大剪应力是决定金属屈服准则的两个最重要的剪应力。3.7应力的几何表示将三个主应力作为坐标，某点的应力状态表示为三维应力空间中的一点。静水状态轴：过原点且与坐标轴有相等夹角的直线。偏平面：垂直于静水状态轴的平面。平面：过原点的偏平面。对任意应力空间点分解：静水轴上：偏平面上：三个应力主轴在偏平面上投影，构成互为夹角的三个坐标轴。NP在单位矢量的投影：与应力张量主值关系s1=

1

0

s2=

2

0s3=

3

0两者方向相同等效应力J2=sijsij/2=[(

1

2)2+(

2

3)2+(

1

3)2] 单轴拉伸时，应力状态为

1=

，

2=

3=0，应力洛德参数（Lode)：

3.8平衡方程在x=0的面上，应力是

x、

xy、

xz

在x=dx面上的应力由x方向的平衡

由y、z方向的平衡指标记法为：对运动情况：Navier于1827年首次导出。

力矩平衡：绕z轴(

xydydz)dx

(

yxdxdz)dy=0

xy＝

yx

绕x和y方向的形心轴取矩

yz=

zy

xz=

zx

静力学边界条件

xl+yxm+zxn＝

xyl+ym+zyn＝

xzl+yzm+zn＝例3-2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为

，试写出边界条件。解：在x=0上，l=

1，m=0，

(

x

)x=0

(

1)

+(

yx)x=0

0=

y(

xy)x=0

(

1)

+(

y)x=0

0=0(

x)x=0=

y(

xy)x=0=0在斜边上l=cos

，m=

sin

x

cos

yx

sin

=0

xycos

y

sin

=04.1位移和应变4.2应变张量4.3应变与位移的关系4.4位移的分解第4章应变分析4.5主应变4.6体积应变4.7应变张量的分解4.8应变协调方程4.1位移和应变连续体内任意两点的相对位置改变时，此物体被称为有变形或有应变。物体发生位移，应变由位移得到。对物体中足够小的区域，认为该区域的应变是均匀的。 u(x、y、z)=rx

Rx

v(x、y、z)=ry

Ry

w(x、y、z)=rz

Rz位移应变考察物体内任意一微小线段长度的相对改变

正（线）应变方向的相对改变

剪（角）应变4.2应变张量三个方向线元的应变决定该点的应变状态取与坐标轴相平行的三个方向

对称张量张量的剪切应变分量

实际的剪切应变工程剪应变和张量剪应变的区别4.3应变与位移的关系（几何方程）

OA和OB两线元的长度分别为OA=dx，OB=dy。设O点的位移是u(x，y)和v(x，y)，A点的位移是u(x+dx，y)、v(x+dx，y)，B点的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+dy)。，，根据定义，导出xy平面内的应变分量考虑小变形假定

其他应变分量几何方程张量表示位移梯度应变张量是位移梯度的对称化4.4位移的分解A点位移是：

u(x、y、z)，v(x、y、z)，w(x、y、z)，B点位移是： u

=u(x+dx、y+dy、z+dz) v

=v(x+dx、y+dy、z+dz) w

=w(x+dx、y+dy、z+dz)Taylor级数将B点位移相对A点展开矩阵表示

转动矢量

＝

xex＋

yey＋

zez

刚体转动：以

方向的直线为转轴，且转角为位移分解（1）随A点平动；AB

A

B

（2）相对A点刚体转动；A

B

A

B

（3）纯变形。A

B

A

B

。4.5主应变将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换，例如求主应变的特征方程对于非零解条件行列式展开得主剪应变工程主剪应变最大值应变的Mohr圆图解表示4.6体积应变

变形前的体积是V0=dxdydz

变形后的体积是体积应变

(1+

x+y+z)dxdydz

＝

x+y+z4.7应变张量的分解球形张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变；偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变张量表示对偏应变张量也可求主值，不变量：八面体应变八面体正应变八面体剪应变等效应变在材料不可压缩（）的情况下，单轴拉伸实验中就是单轴应变

4.8变形协调方程问题根据几何方程去求位移分量，有多组位移解表明物体发生裂缝或者相互嵌入，产生不连续。因此，6个应变分量不能任意给定，必须满足一定的协调关系，位移单值连续的必要条件，对单连通体，其充分条件是：

必要性证明同样得到另外两个类似的方程，，

（1）式+（3）式-（2）式，得由圣维南首次导出。关于大变形应变定义无限多种但应满足两个条件（1）物体只产生刚体位移是零（2）在小变形时，与小变形的应变定义一致已知三个主方向，及三个主伸长

1，2，3对数应变对小应变积分得到大应变：得到对数应变和工程应变之间的关系。5本构关系5.1弹性应力应变关系5.1.1一般表示5.1.2材料对称性5.1.3各向同性弹性体5.1.4弹性常数的测定5.1.5矩阵形式表达5.1.6弹性应变能

应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关

x=

x(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

y=

y(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

…….

zx=

zx

(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)5.1.1一般表示对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy+c15

yz+c16

zx

y

=c21

x+c22

y+c23

z+c24

xy+c25

yz+c26

zx

z

=c31

x+c32

y+c33

z+c34

xy+c35

yz+c36

zx

xy

=c41

x+c42

y+c43

z+c44

xy+c45

yz+c46

zx

yz

=c51

x+c52

y+c53

z+c54

xy+c55

yz+c56

zx

zx

=c61

x+c62

y+c63

z+c64

xy+c65

yz+c66

zx

系数cmn共36个，取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关张量形式表示

ij

=Cijkl

kl

其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。同样也取决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律

弹性张量的对称性（1）根据应力张量和应变张量的对称性

Cijkl=Cjikl

（2）根据应力张量和应变张量的对称性

Cijkl=Cijlk

独立的分量也是36个。（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称

Cijkl=Cklij

独立的弹性常数共有21个两种表示方式之间的关系

弹性系数c的下标1、2、3、4、5、6对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31例如：c11＝C1111

c12＝C1122

c13＝C1133

c14＝C1112

弹性系数cmn也应具有对称性

cmn＝cnm

5.1.2材料对称性弹性对称面该面对称的两个方向具有相同的弹性关系

以最后一个方程为例

zx

反号，而

x，

y，

z和

xy不变，c61＝c62＝c63＝c64＝0

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy

y

=c12

x+c22

y+c23

z+c24

xy

z

=c13

x+c23

y+c33

z+c34

xy

xy

=c14

x+c24

y+c34

z+c44

xy

yz

=c55

yz+c56

zx

zx

=c56

yz+c66

zx13个独立常数正交各向异性材料

具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个

x

=c11

x+c12

y+c13

z

y

=c12

x+c22

y+c23

z

z

=c13

x+c23

y+c33

z

xy

=c44

xy

yz

=c55

yz

zx

=c66

zx

各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料横观各向同性材料存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同性。将x，y轴互换时，材料弹性关系不变

c11=c22，c13=c23，c55=c66将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变，得c44=0.5(c11

c12)

x

=c11

x+c12

y+c13

z

y

=c12

x+c11

y+c13

z

z

=c13

x+c13

y+c33

z

xy

=0.5(c11

c12)

xy

yz

=c55

yz

zx

=

c55

zx独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。5.1.3各向同性弹性体广义Hooke定律将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关系不变，

c11=c33，c12=c13，c55=c66=0.5(c11

c12)

于是，独立的弹性常数减少到2个

x

=c11

x+c12

y+c12

z

y

=c12

x+c11

y+c12

z

z

=c12

x+c12

y+c11

z

xy

=0.5(c11

c12)

xy

yz

=0.5(c11

c12)

yz

zx

=0.5(c11

c12)

zx令

c12=

，c11

c12=2G

、G称为Lame（拉梅）弹性常数

x=2G

x

+

xy=G

xy

y=2G

y

+

yz=G

yz

z=2G

z

+

zx=G

zx

=

x

+

y

+

z

是体积应变广义Hooke定律的张量形式

ij=

kk

ij+2G

ij

ij

=Cijkl

kl

Cijkl=

ij

kl+G(

ik

jl+

il

jk) 某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零应力的主方向与应变的主方向重合应变用应力表示

kk=(3

+2G)

kk

体积应力与体积应变关系将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的关系：

3

0=(2G+3

)

式中

0=(

x+

y+

z)/3是平均应力。

0=K

式中 K=(3

+2G)/3是体积变形模量。偏应力与偏应变关系

x=2G

x

+

sx+

0=2G(ex

+

)+

将体应力与体应变关系代入：

sx=2Gex

同理可得：

sy=2Geysz=2Gez

张量形式表示为

sij

=2Geij

在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。5.1.4弹性常数的测定静水压缩实验体积模量单轴拉伸实验使用物理关系，有弹性模量和泊松比：相反，有

纯剪实验使用物理方程，

xy

=2G

xy，

因此，G也是剪切模量。单轴应变实验有唯一应变分量约束模量：各向同性弹性本构关系用其他参数表示：正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变之和。弹性常数的限制实验结果表明，E、G、K总为正值，有大多数材料为正值，而，有即材料弹性不可压缩，如橡胶。5.1.5矩阵形式表达平面应力情况平面应变情况（重力坝）5.1.6弹性应变能一维情况

一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为

L，外力功为 由于应力

x=P/S，

x=

L/L，上式可写成

单位体积的应变能W为求应变能相对应变的偏导三维情况

考察微小六面体，应力分量

ij产生的应变分量

ij，各应力分量

ij都只在与它相同的应变分量

ij上做功，根据能量平衡，单位体积的应变能应是

所以

dW=

ijd

ij

对于弹性体，应变能只取决于状态，是应变状态的单值函数W=W(

ij)，应变能增量dW必须是全微分

于是对于任意的应变增量d

ij都应成立：这是从能量角度出发建立的弹性物体的应力-应变关系可导出如下对称性

Cijkl=Cklij将物理方程

ij

=Cijkl

kl代入dW=

ijd

ij，考虑对称性，则

W=Cijkl

ij

kl=

ij

ij

应变能分解

应变能可分解为体积改变能和形状改变能。

W=

ij

ij=(sij

+

0

ij)(eij

+

kk

ij)=

0

kk+sijeij

第一项是体积应力在体积应变上做的功，称为体积改变能（体变能）；第二项是偏应力在偏应变上做的功，称为形状改变能（畸变能）。在各向同性情况下，应变能由应变表示为

W=K(

kk)2+(2G)eijeij

或者用应力表示为

W=(

0)2+J2

应变能函数W应是正定的，即W

0，应变余能对任意非线性弹性，应变能和应变余能之和为例5-1：对非线性弹性的单轴应力-应变关系n为常数，求与的比值。5.2屈服准则5.2.1引言5.2.2与静水压力无关的材料5.2.3与静水压力有关的材料5.2.1引言基本概念物体在外载荷作用下，随着载荷增大，逐步从弹性状态过渡到塑性状态，这种过渡称为屈服。物体内质点开始产生塑性变形时，应力或应变所必须满足的条件，叫屈服条件。一般情况下，它是应力、应变、时间、温度等的函数，但在不考虑时间效应和接近常温的情况下，屈服条件中不包含时间和温度。在初始屈服之前应力和应变之间是一一对应关系，这样，屈服条件只是应力分量或应变分量的函数。

若材料是各向同性的，则屈服条件应该与方向无关，这时宜采用与坐标无关的主应力或应力不变量表示。屈服条件通常写为：

在应力空间中，屈服条件可以表示为屈服曲面。屈服面在平面上的迹线一般称为平面上的的屈服曲线，屈服面与子午平面的交线称为子午平面上的的屈服曲线。平面上屈服曲线的一般性质1）屈服曲线是一条封闭的曲线；2）屈服曲线是外凸的；3）屈服曲线所围成的区域是单连通的；4）对于各向同性材料，屈服曲线对于平面内的三个坐标轴是对称的。在平面内的6个60度扇形区屈服曲线具有相同的形状。5.2.2与静水压力无关的材料材料的屈服对静水压力不敏感，剪切应力控制着这些材料的屈服。金属等晶体结构材料Tresca条件：材料常数k值可由简单实验确定（1）单轴拉伸：屈服时

1=s，2=3=0，代入屈服条件k=s/2（2）简单剪切：屈服时

=

s

1=s，2=0，3=s,代入屈服条件k=sMises条件：sijeij=sijsij=J2

J2与弹性状态的形状改变能成正比J2的物理意义

J2也与八面体上的剪应力成比例材料常数k由简单实验确定（1）单轴拉伸：屈服时

1=s，2=3=0，代入屈服条件

（2）剪切：屈服时=

s

1=s，2=0，3=s,，屈服条件两种屈服条件比较

如假定单轴拉伸时两个屈服面重合，则Tresca六边形内接于Mises圆；如假定简单剪切时两个屈服面重合，则Tresca六边形外切于Mises圆5.2.3与静水压力有关的材料岩石、混凝土、土等摩阻材料在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生塑性变形。只有在受压状态，由于微裂纹的扩展或闭合，裂纹表面的相对滑动，才可能产生类似于金属的塑性变形。拉伸和压缩的力学性能差别很大产生应变软化现象产生塑性体积膨胀变形与静水压力有关具有弹塑性耦合

Rankine条件1876年Rankine（朗金）提出最大拉应力准则，用于确定脆性材料的拉伸破坏。还可表达为Mohr-Coulomb条件：考察一任意剪切面，该面上的剪应力为

n，正应力为n，推动剪切滑移的有效剪切力是

n阻止剪切滑动力：内摩擦力(n)tg，粘结力CMohr条件

n

=(n)tg＋C随静水压力增长，

减小，在

应力平面上不是直线，而是曲线，Coulumb条件：

对于土和受静水压力不太大的岩石，可假定

角为常数，为直线

n=(1+3)+(1

3)sin

n=(1

3)cos屈服条件为：(

1

3)+(1+3)sin

Ccos=0

作单向拉伸和压缩实验，屈服条件可简化

单轴拉伸屈服应力单轴压缩屈服应力Mohr-Coulomb条件过高地估计了脆性材料的抗拉强度，可与最大拉应力条件联合运用。当

1

2

3时，Mohr-Coulomb屈服条件可写成Drucker-Prager条件：偏平面上DP条件的屈服曲线DP准则可以通过调整圆锥的大小来适应Mohr-Coulomb准则。（1）圆外接于六边形（2）圆内接于六边形Zienkiewicz-Pande条件：双参数抛物型Mohr屈服准则：其中为单轴抗拉强度，a为系数为单轴抗压强度双剪应力屈服准则（俞茂鋐，1961）广义双剪应力屈服准则（俞茂鋐，1982）两种著名的帽子模型Druker提出的帽子模型剑桥模型（Cam-Clay模型）例：例5-2：一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚为t，受内压p作用，讨论下列两种情况：

（1）

管的两端是自由的；

（2）管的两端是封闭的；分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）解：将Mises和Tresca中的材料常数都使用纯剪时的屈服极限表示，并使得两种屈服条件重合，则有Mises屈服条件:J2=

s2Tresca屈服条件:1

3=2s（1）管的两端是自由的；应力状态为，

z=0，

=pR/t，

r=0，

zr=r

=

z=0

J2=[(z

r)2+(r

)2+(

z)2+6()]

=[2(pR/t)2]=(pR/t)2

1

3=

=pR/t

对于Mises屈服条件:J2=

s2

对于Tresca屈服条件:1

3=k=2s

p

=2st/R

（2）管段的两端是封闭的：应力状态为，

z=pR/2t，

=pR/t，

r=0，

zr=r

=

z=0J2=[(z

r)2+(r

)2+(

z)2

+6()]=(pR/t)2

1

3=

=pR/t对于Mises屈服条件：

p=2st/R对于Tresca屈服条件：

p

=2st/R对管的两端为固定的情况，屈服压力又如何？5.3塑性应力应变关系5.3.1加载条件5.3.2流动法则5.3.3强化法则5.3.4增量理论5.3.5全量理论5.3.6稳定公设5.3.7典型例题5.3.1加载条件在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。需要判断应变往塑性变形发展还是弹性变化，即需要加卸载条件判断。塑性变形时，应变和应力的关系如何，需要流动法则来解决。塑性变形后，材料屈服极限是否提高，屈服曲面如何变化，由强化法则来判断。

加载条件和加载面

在单轴试验中，当应力超过初始屈服应力后发生塑性变形，卸载后重新加载其屈服应力将提高（强化）或减小（软化）。推广到三维情况下，在空间应力条件下这就相当于是加载面的移动、扩大或缩小，经过塑性变形变化后的屈服条件就称加载条件。加载条件在应力空间内形成的曲面称为加载面。

对理想塑性材料，加载条件和加载面不发生变化，都是最初的屈服面。

加卸载准则

在应力空间上的屈服面确定了当前弹性区的边界。若应力状态改变时材料中有新的塑性变形产生，这种应力变化称加载（loading）；而当应力变化时材料回到弹性状态，不产生新的塑性变形，这种应力变化称卸载（unloading）。

上述情况下应力应变关系是不同的。因此，要确定应力应变关系还需建立一个加载准则。对单轴受力的情况，加卸载准则可表为：

对于理想弹塑性材料，加卸载条件为对于硬化材料在强化阶段，加卸载条件为：

对于硬化材料在软化阶段，加卸载条件在应力空间无法体现。可以在应变空间进行描述为：5.3.2流动法则

塑性位势理论：Mises将弹性位势理论推广到塑性理论，提出塑性流动方向（塑性应变增量矢量的方向）与塑性势函数的梯度方向一致：关联流动法则

非关联流动法则Mises形式的塑性势能函数由流动法则得不会产生塑性体积变化：塑性应变增量是一个偏量

展开为考虑弹性应变，得到：这就是Prandtl-Reuss方程。在大塑性流动中，忽略弹性变形，得到Levy-Mises方程：相对弹性力学问题，增加了d

未知数，也增加了一个方程（屈服条件）理想弹塑性问题，考虑平衡方程＋几何方程＋物理方程＋屈服条件讨论：当给定应力sij，由本构方程可确定应变增量d

ij各分量的比例关系，由于d

未知，不能确定应变增量d

ij的大小。其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。但变形必须始终保持协调而受到相互限制。应变大小的确定需结合变形协调条件。反过来若给定d

ij，则可以确定sij。应变Lode参数Tresca形式的塑性势能函数在应力状态位于塑性势能面顶点或奇异点，塑性应变增量必须位于六边形两相邻边的法线方向之间。不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成f1=

2

3

s=0f2=3+1

s=0f3=1

2

s=0f4=2+3

s=0f5=3

1

s=0f6=1+2

s=0当应力点位于f1=0上当应力点位于f2=0上=(0

d

1

d

1)=(d

2

0

d

2)当应力点在f1=0和f2=0的交点上可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，这个变化区域称之为尖点应变锥一般地，在几个光滑势能面相交的奇异点处，塑性应变增量表示成在该点相交的各面的法线方向所确定的增量的线性组合：5.3.3强化法则1）强化法则的概念在加载过程中，屈服面不断改变它的形状以使应力点总是位于它上面，从某一个屈服面如何进入后继屈服面的准则就是强化法则，也就是控制加载面发展的规则。

单轴拉伸下的强化随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化新的屈服极限：

(s)new=Max()

后继屈服条件（也称加载条件）

＝(s)new处于屈服状态

<(s)new处于卸载状态

Max()随塑性变形历史单调增长， Max()＝

(

p) 后继屈服条件即加载条件也可表示为

(

p)＝0复杂应力状态

为了描述强化性质，需要：（1）记录塑性加载的历史；（2）描述强化与塑性加载历史的关系。表达加载历史的参量为硬化参量，它又称为内变量（internal-variable），它不能由观测仪器直接观测求出，而应力变形一类可由仪器直接测出的量称外变量。硬化参量记为目前常用的硬化参量有如下几种：1．塑性功是目前岩土弹塑性理论中用得较多的。2．塑性应变3．等效塑性剪应变4．塑性体应变使用一组内变量

（

=1，2，…，n）描述塑性变形历史，后继屈服条件 f(ij，

)=0

随塑性变形的发展，

不断变化，后继屈服面或加载面也随之改变。施加增量d

ij：（1）加载：d

ij指向加载面外（2）中性变载：d

ij沿着加载面（3）卸载：d

ij指向加载面内当应力状态

ij处在加载面上，f(ij，

)=0增量后f(

ij+d

ij，

+d

)=0由于任何一种应力状态都不能位于加载面之外

增量前f(ij，

)=0，一致性条件：随加载过程，内变量

不断地增加中性变载或者卸载时，则内变量

保持不变总之：内变量

只会增加，不会减少。且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。这是由塑性变形的不可逆性所决定的。

常用的强化模型

1.等向强化几何特点（在应力空间）：加载面形状和中心位置都不变，大小变化，形状相似的扩大。物理意义：假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。数学表示：f(

ij)

k(

)=0等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈服极限得到提高，所有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。Mises初始屈服条件

函数

可通过单轴拉伸下实验曲线

确定

加载（后继屈服）条件2.随动强化几何特点（在应力空间）：形状和大小、方向保持不变，只是中心位置发生改变，加载面作刚体移动。物理意义：材料在强化后为各向异性。数学表示：

f(

ij

ij)

k=0

ij是一个表征加载面中心移动的应力值，称为背应力（backstress）提供了考虑Bauschinger效应的简单方法。Prager随动强化模型背应力增量应平行于塑性应变增量d

ij=c式中c是材料常数，由试验确定。对于Mises屈服条件，该模型可写成3混合强化几何特点：加载面大小、位置和中心都改变，它是前面两种情况的综合，数学表达：f(

ij

ij)k(

)=0与随动强化不同的是，这里k随加载的历史而变化。说明：以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在应力空间中进行的。对应变软化材料来说，应变空间中讨论会更方便些。5.3.4增量理论

描述塑性变形规律的理论大致分两大类：增量理论和全量理论。增量理论建立了塑性应变增量与应力及应力增量之间的关系，又称为流动理论。全量理论建立了应力全量和应变全量之间的关系，又称为形变理论。在塑性变形阶段，塑性变形与加载路径有关，因此，一般情况下，必须考虑某时刻的应变增量，再用积分或求和的办法求出整个加载历史的总应变，即塑性本构关系本质上只能采用增量的形式，这是与弹性本构关系的明显区别。本构关系的一般形式

本构关系的推导方法（用矩阵形式）应变增量的分解：

弹性部分：用应力增量表示应变增量：A可通过实验测定为了求出逆关系，将上式两端乘上5.3.5全量理论

一般来说，增量应力—应变关系（本构关系）不能积分成全量关系，但在某些加载情况下，增量理论可积分得到应力与应变之间的全量关系，即全量理论。应力应变一一对应的确定关系，相当于非线性弹性（不考虑卸载），求解简单。

简单加载（比例加载）是指应力各分量之间成比例且单调增长，即（t>0，dt>0）此时，可由增量理论推导出全量理论在

平面上，该加载路径是一条

=const的射线，deij=dsij+d

sij（Mises准则）d

kk=d

kkeij=sij

kk=kk

积分得令H=1/2G+

得：eij=Hsijeijeij=H2sijsij得：单一曲线假定当材料几乎为不可压缩时，按照不同应力组合所得出的～曲线与单轴拉伸时的～曲线十分相近。如何保证物体的每一个微小单元都处在简单（比例）加载情况，Il

usion给出了一组充分条件。（1）小变形；（2）材料不可压缩；（3）外荷载按比例单调增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；（4）材料～的曲线具有幂指数硬化形式：这是一组苛刻的条件（不可压缩材料不多，幂次型有效应力和应变关系也难满足），揭示出全量方法在应用上的极大局限性。在工程实际应用中，许多实例是偏离简单加载定理的，只能满足条件（1）、（3），但结果还比较满意，说明在一个较大范围内可以采用全量理论，计算结果再用实验复核。5.3.6稳定公设（1）稳定材料：应力增加，应变随之增加，即

>0，（2）不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软化，

<0，（3）随应力增加，应变减少，这种情况和能量守恒原理矛盾从1点的应力状态（是静力可能的应力）开始，施加某种外力使其达到2点（其应力为

ij）并进入屈服，再施加应力增量d

ij使其加载到达3点（其应力为ij+d

ij)，然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的应力状态。应力循环在如此的应力循环1-2-3-4内，附加应力ij

所做的功应不小于零：

Drucker公设

在应力循环中，附加应力在弹性应变上所做功为零Drucker公设的推论

由于路径是任意的，所以：又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑性功总是大于或者等于静力可能应力所做的塑性功，也可写为：外凸性和正交性Drucker公设是一个充分非必要准则，直接导致了加载面外凸性和正交流动法则。加载面外凸性

定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加载面相切，该超平面若不再与加载面相交，即加载面位于超平面的一侧，则加载面外凸。由于应力增量和塑性应变增量矢量的标量积非负，则初始屈服面和后继加载面必然是外凸的，否则不能满足该条件。正交性塑性应变增量必须沿着外法线方向n

假定屈服函数f与静水压力无关，必然是一个偏张量，因此，也是偏张量，即塑性体积是不可压缩的。对流动法则：

g=f，相关联的流动法则。塑性