材料力学公式总结大全

材料力学

材料力学的任务〔1〕强度要求；(2)刚度要求；〔3〕稳定性要求。

变形固体的根本假设〔1〕连续性假设；〔2〕均匀性假设；〔3〕各向同性假设；〔4〕小变形假设。

外力分类：外表力、体积力；静载荷、动载荷。

内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各局部之间的因外力作用而引起的

附加相互作用力

截面法：〔1〕欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两局部，弃去任一局部，保存另

一局部研究〔2〕在保存局部的截面上加上内力，以代替弃去局部对保存局部的作用。〔3〕根据平衡条

件，列平衡方程，求解截面上和内力。

应力：〃=lim"=更正应力、切应力。变形与应变：线应变、切应变。

杆件变形的根本形式〔1〕拉伸或压缩；〔2〕剪切；(3)扭转；〔4〕弯曲；〔5〕组合变形。

静载荷：载荷从零开始平缓地熠加到最终值，然后不再变化的载荷。

动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。

失效原因：脆性材料在其强度极限叫破坏，塑性材料在其屈服极限巴时失效。二者统称为极限应力理

H=—M=—加

想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：％,叫，强度条件：

-^-<[cr]

，等截面杆A

轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：△/=《―/,沿轴线方向的应变和横截面上的应

力分别为：£="”=»=[横向应变为：/=半="心，横向应变与轴向应变的关系为：

/AAbh

£=。

胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即。=氏，这就是胡克定律。E为弹

性模量。将应力与应变的表达式带入得：△/=*NI

EA

静不定：对于杆件的轴力，当将力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知

力。

图轴扭转时的应力变形几何关系一圆轴扭转的平面假设/=p穿。物理关系一胡克定律

.Gyp=Gp牛。力学关系7=[P金44=]夕2G仪=6?]\夕2,例圆轴扭转时的应力：

C/AC/久C/A

TTT

rmax=—/?=—;圆轴扭转的弱度条件：rmax=^-<[r],可以进行强度校核、截面设计和确定许

可载荷。

圆轴扭转时的变形：（P=[-^-dx=dx；等直杆：9=/

圆轴扭转时的刚度条件："=a=:，0、=乒勺硝

dxGlp'GIp

弯曲内力与分布载荷q之间的微分关系丝也=q*）；吗2=。（X）;粤旦=笑耳=4（只

dxdxdx~ax

Q、M图与外力间的关系

a）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

b）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线.

c）在梁的某一截面。空®=Q（x）=0,剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。

dx

d）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转

折点。

梁的正应力和剪应力强度条件仆皿=24口]，[ax<H

W

提高弯曲强度的措施：梁的合理受力（降低最大弯矩Mma、，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截

面形状

塑性材料：口』=k],上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料：匕/<口,],采用T字型或上下

不对称的工字型截面。

等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁

用叠加法求弯曲变形：当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，

然后进行叠加，即可求得梁在几介载荷共同作用时的总变形。

简单超静定梁求解步骤：(1)判断静不定度；(2)建立根本系统〔解除静不定结构的内部和外部多余约

束后所得到的静定结构〕；(3)建立相当系统〔作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的根本系统〕；〔4

〕求解静不定问题。

二向应力状态分析一解析法

C.+C,.(7r~~C..

⑴任意斜截面上的应力=2-+2cos2of-Txysin2a;

一°V

r=—-----sin2a+rcos2a

u2vv)

2丁

(2)极值应力正应力：吆2。0=——也°max———L±

(J.

crv-(7min2

切应力：tg2al=J—max

2rnun

(3)主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系

。与%之间的关系为：2%=2g+g0=%十］,即：最大和最小剪应力所在的平面与主平面的

乙I

夹角为45°

扭转与弯曲的组合［1［外力向杆件截面形心简化(2)画内力图确定危险截面〔3〕确定危险点并建立

强度条件

按第三强度理论，强度条件为：巧工周或、辰+4/<⑸，对于圆轴，叱=2W,其强度条

I2T"

件为：按第四强度理论，强度条件为：

叱W”<lb0

b-。J+(S-6『+(6-CTJ2］«口］,经化简得出：Ver2+3r2<［a］,对于圆轴，其强度

JM2+07572

条件为：------------W匕1O

欧拉公式适用范围〔1〕大柔度压杆〔欧拉公式〕：即当4？4,其中4=JX”时，

~(2

V。

〕中等柔度压杆〔经验公式〕：即当为wav4，其中力二三区时，。"。一"(3)小柔度压杆

b

F

〔强度计算公式〕：即当％<4时，

A

压杆的稳定校核〔1〕压杆的许用压力：忸］=些」内为许可压力，〃”为工作平安系数。

(2)压杆的

稳定条件：P«［川

提高压杆稳定性的措施：选择合理的截面形状，改变压杆的约束条件，合理选择材料

=9549卜皿

外力偶"忖'2矩计算公式〔P功率，n转速〕

d'M(x)dFs(x)

;-=-:--------4(x)

弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式山:---------dx

轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式A〔杆件横截面轴力椒,横截面面积A,拉应力为正〕

轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式〔夹角a从“轴正方向逆时针转至外法线的方位角为

]。a

a=p.cuia-crcosa=­(1+cos2a)r=osina-acasasina="sin2a

正〕22

纵向变形和横向变形〔拉伸前试样标距I,拉伸后试样标距II；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径dl

j81=h-IM=d「d

AZ,M

纵向线应变和横向线应变一了一彳泊松比

AZ=

胡克定律EAa=Ec

=的您

受多介力作用的杆件纵向变形计算公式

承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式

=(与)…二团

轴向拉压杆的强度计算公式G

许用应力"，脆性材料％=5,塑性材料4=%

(5=^^xlOO%

延伸率1

3=---------xlOO%

截面收缩率A

剪切胡克定律〔切变模量G，切应变g)r=Gy

拉压弹性模量E、泊松比卜和切变模量G之间关系式2(1+V)

j=也

图截面对圆心的极惯性矩〔a〕实心圆’32

ED-。m.

乙=~=五八")

(b)空心圆

T

K广〒

国轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式〔扭矩T,所求点到圆心距离r)。

TT

=—Rn~~~

国截面周边各点处最大切应力计算公式“外

扭转截面系数"‘一至，〔a〕实心圆"‘一"不〔b〕空心圆一次"一

T

薄壁圆管〔壁厚Ro/10,Ro为圆管的平均半径〕扭转切应力计算公式2咽(5

TI

G/

圆轴扭转角中与扭矩7；杆长4扭转刚度GHP的关系式>

同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同〔如阶梯轴〕时或

m24

等直圆轴强度条件％;盼如

塑性材料旧=3~°6)15；脆性材料=(08~1615

扭转圆轴的刚度条件―八或G/>11

1.庭PD

受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式IS

平面应力状态下斜截面应力的一般公式

巴.0、

—-_-mlaA-x,cos2a

2

平面应力状态的三个主应力

丁-丐+%

tan2%=

主平面方位的计算公式

受扭圆轴外表某点的三个主应力5=T,5=。，巧=一点

三向应力状态最大与最小正应力

三向应力状态最大切应力2

_…士一一】二石1巧-M%+RI。=后15-M巧+卬旧二石I，一N5+RI

广义胡克XE律匕匕也

♦=5

%=5-M5+5）

（=5一』

%=*【（可一巧—♦（巧-5）、。一巧）”

四种强度理论的相当应力，2

-种常见的应力状态的强度条件为=J5十，'"同,%=J『+婷"回

EA/ciN4s

y=----------4=------------

组合图形的形心坐标计算公式’c

任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式

截面图形对轴z和轴卜的惯性半径

平行移轴公式〔形心轴2C与平行轴zl的距离为a,图形面积为A｝々=1

。=—My

纯弯曲梁的正应力计算公式乙

横力弯曲最大正应力计算公式

矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数'"一12'2-664232,

x64232'"

几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式〔口2为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，6为横截

T=।

面在中性轴处的宽度〕”

j=Yk=也

矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处IbhIA

工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式bh

3勺

轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式M，Js03）

4Q45

图形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处“3（必/4）3.4

J-2人

圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处2祸（5

弯曲正应力强度条件I匕

几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件白乙

弯曲梁危险点上既有正应力。又有切应力T作用时的强度条件4=tc'团或

q<=qd+3/^[o][5=]

d'wM(x)

梁的挠曲线近似微分方程ivEI

。上T幽

梁的转角方程hJET

w=-[[dxik+C.x+Z)j

梁的挠曲线方程”EI

轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式

"a1_冬_土A。”

-]=±区土竺

偏心拉伸〔压缩〕'匕