材料力学-第五版-附录I-截面的几何性质+习题答案

附录I截面的几何性质习题解

［习题1-1］试求图示各截面的阴影线面积对X轴的静积。

习题1-1图

(a)

3

解:Sx=A•yc=(40x20)x(20+10)=24000(mm)

(b)

解：S,.=A•)‘,=(20x65)x等=42250(w/n3)

(c)

5

解：SA=A•)1=(100x20)x(150-10)=280000(w/n)

(d)

解：Sx=A・”=(100x40)x(150—20)=520000("〃/)

［习题I・2］试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如下图。

dA=(xdO)-dx；微分面积的纵坐标：)，=xsin0；微分面积对x轴的静矩为:

半圆对x轴的静矩为：

因为S,=A•y,,所以冬=.以久二孑

323万

［习题1-3］试确定图示各图形的形心位置。

(a)

解：

习题1-3(a):求门形截面的形心位置

矩形LiBiAiYciAiYciYc离顶边

上4002080001601280000

左15020300075225000

右15020300075225000

140001730000123.646.4

Ai=Li*BiYc=LAiYci/SAi

(b)

解:

习题I-3(b):求L形截面的形心位置

矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXciXc

下1601016005800080128000

左9010900554950054500

2500575002313250053

Ai=Li*BiYc=EAiYci/LAiXc=EAiXci/EAi

(C)

r：

习题「3(c):求槽形与L形组合截面的形心位置

型钢号Ai(cm2Yci(cmAiYci(cm3Yc(cmXci(cmAiXci(cm3Xc(cm

)))))))

植钢2010

等边角钢

80*10

7.(S-0.6

Yc=EAiYci/ZAiXc=ZAiXci/EAi

［习题I・4］试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩4、.利惯性积/0。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如下图。

dA=(xdO)-dx；微分面积的纵坐标：)，=xsin。；微分面积对x轴的惯性矩为：

四分之一圆对x轴的惯性矩为：

由圆的对称性可知，四分之一圆对)，轴的惯性矩为：

微分面积对X轴、y轴的惯性积为：

［习题1・5］图示直径为d=20()〃〃〃的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为5=20〃〃〃的弓形,

试用积分法求余下阴影局部对其对称轴x的惯性矩。

解：圆的方程为：

如图，作两条平行x轴的、相距为dy线段，截圆构成微分面积，微分面积为：

切去25之后，剩下局部对尤轴的惯性矩为：

［习题1-6］试求图示正方形对其对角线的惯性矩。

解：正方形四条边的直线方程如下图(设水平坐标轴为z,竖坐标轴为y)。

_2(a4

———+—I

3(1616)

4

故正方形对其的对角线的惯性矩为：/=—O

12

［习题1・7］试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x的惯性矩。

⑶

d

解：/v=-!-通|(1一。2)=_!_乂3.14乂175'fl-(―)1=21177368("〃/)

*6464175

(b)

［习题1-8］试求图示三角形截面对通过顶点力并平行于底边比的x轴的惯性矩。

史

解：三角形截面对以欧边为轴的惯性矩是12,利用平行轴定理，可求得截面对形心轴为的惯性矩

/二一3从3二从3

所以-I%一而一不

再次应用平行轴定理，得

［习题1-9］试求图示,二1m的半圆形截面对于轴X的惯性矩，其中轴X与半圆形的底边平行，相距1m。

冗d4_nr4

解：半圆形截面对其底边的惯性矩是两一丁，用平行轴定理得截面对形心轴配的惯性矩

再用平行轴定理，得截面对轴x的惯性矩

［习题1-10］试求图示组合截面对于形心轴工的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为d的等边三角形。该等边三角形的形

心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴K的距离是

上面一个圆的圆心到x轴的距离是冬8“。

6

利用平行轴定理，得组合截面对K轴的惯性矩如下：

［习题1-11］试求图示各组合截面对其对称轴X的惯性矩。

解：(a)22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是3.4x10'mm,

利用平行轴定理得组合截面对轴X的惯性矩

(b)等边角钢100x100x10的截面积是1926mm2,其形心距外边缘的距离是28.4mm,求得组

合截面对轴X的惯性矩如下：

习题171(b)图

图形bhIxcaAlx

中间矩形1060018000000006000180000000

上矩形25010208333052500232583333

下矩形25010208333052500232583333

左上L形17951001926143869495

右上L形17951001926143869495

左下L形17951001926143860495

右下L形17951001926143869495

1220644645

I\=/、c+/A

［习题IT2］试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴X的惯性矩。关于形心位置，可利

用该题的结果。

解：形心轴X位置及几何尺寸如下图。惯性矩4计算如下：

［习题-12］试求图示各截面对其形心轴工的惯性矩。

习题13图

习题IT3(a)

图形bihiAiYciAiYciYcaiIxclx(mm1)

上矩形100010010000065065000000833333335145833333

下矩形3006001800003005400000012554000000008212500000

全图280000119000000425

习题173(c)

习题IT3(b)

图形bihiAiYciAiYciYcaiTxclx(mm1)

上图(3)2515037502751031250148703125089601489

中图(2)20015030000125375000025625000056328044

下列图10050500025125000102104166752667577

(1)

全图387504906250127198597110

图

bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm')

形

能

2140115024610005751415075000271222708333159333213698275

形

半

790-980333335-32869266742750202791399

圆

全14806671086382333734

图

半圆:儿=4r/3知半圆：4=加4/8_8//9不

习题I-13(d)

图bihiAiYciAiYciYcaiIxcilx(mm1)

形

221635208281603775093492438613

04

IS11252022579603541160324821280

09

166741078436739577280408242699408242699

2214308071121898803250307333432587

09

449400528936133427034464367735

51

239099127341：-：S2023302914

2

［习题1-14］在直径0=8。圆截面中，开了一个2ax4a的矩形孔，如下图。试求截面对其水平形心轴

和竖直轴形心的惯性矩儿和.

解：先求形心主轴工的位置

截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零:

>=—^=0189%

2a-1(y轴向下为正)

nZ)44x(2a)3/c2]

-[+4a2a•a]

64------12------------------------(组合图形对过圆心

轴X1的惯性矩)

丸。'324n(8a)43239

-----——a=-------..-a4=g.—>♦=190,4a1

643M3

32224

人=-Ay=1904--(16rrd-8a)x(01893a)=1889a（组合图形对形心轴X的惯性矩）

习题1-14

b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)TxcaiIx(a4)

矩

42-8.001-82.6671.189314.0

形

圆450.2700201.062-0.1893202.9

42.27-8-0.1893188.9

:习题T-15］JF方形截面中开了一个直径为“=10(>〃%的半圆形孔.如下图.试确定截面体形心位置.

并计算对■水平形心轴和竖宜形心轴的惯性矩。

解:

习题1-15

图形bihirAiYciAiYciYcIxciaiIx

王方形2002004000010040000001333333332133546801

半圆50-392779-309365685977242860346

全图360733690635102130686455

X=1(X)4•/8r4

-£I=--------------I、=/“+。2A

xc89万

4

形心位置：X(0,102)o对水平形心轴的惯性矩：Ix=130686455nuno对竖直形心轴的惯性矩:

习题1-15

图形arly(mm)

正方形200

半圆502454367

全图130878966

a47i•r4

=

4128

［习题IT6］图示由两个20。号槽钢组成的组合截面，假设欲使截面对两对称轴的惯性矩。和人相等,

那么两槽钢的间距。应为多少？

解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴仆、X)的惯性矩是4。=178*10'mm：

55

/川二1.28x106mmi横截面积为42883mm2；槽钢背到其形心轴为的距离是&=2°】mm

根据惯性矩定义的和平行轴定理，组合截面对工，V轴的惯性矩分别是

4=2*./》=孙+24彳+%/

假设4=与

2。=〃+24弓+小

即4

等式两边同除以2,然后代入数据，得

a/（ITS-l^xlO6_

Q+20.1）-J---------TTTT-------------73.6

于是2V2883

所以，两槽钢相距

:习题1-17］试求图示截面的惯性积/“

解：设矩形的宽为b高为h,形心主惯性轴为冗.0果，那么

由平行移轴公式得：

故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为:

［习题1-18］图示截面由两个

习题1-17

图形bhIxy

左矩形10100250(

下矩形：10010250(

重复加的矩形1010250(

全图上图+下列图-重复图=497E

125m/"125帆〃以10〃〃〃的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。

习题I-18图

试求该截面的最大惯性矩/max和最小惯性矩/mix。

解：从图中可知，该截面的形心C位于两缀板共同的形心上。过C点作水平线，向右为七轴正向；过

C点，垂直于5轴的直线为此轴向上为正。把儿cy,坐标绕C点逆时针转45°

后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴X0,），o。主惯性矩人，=/max，

〃二，min

查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：

A=24.37W，I=/'=149.46cm4,I=/'=573.89cm4,z=3A5cm

>oMi而）'ou0

角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：

（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）

［习题1・19］试求图示正方形截面的惯性积和惯性矩/*,仆并作出比拟。

r：i=—

x12

Ixy=0为形心主惯性轴)

结论：

1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性枳为零；

2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。

［习题1・20］确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

(a)

解：截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

1XlyIxy

-2592000001x0=704109187

-259200000[vO54184146

4+:,(/「/、・)2+4/；

42-

(b)

解：以20号槽钢(图I)的下边缘为x轴，左边缘为y轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II。那

么组合截面的形心计算如下：

习题『20(b)长度单位:cm

图形AiXciYciAiXciAiYciXcYc

11064

II16-15

全图

习题T-20(b)

图

AihiIxci'lyci'IxcilyciIxciyci'Ixciycitan2aoaO1x0lyO

形%

119811650

II0

金22962490

图

［习题21］试用近似法求习题1-4所示截面的并与该题得出的精确值相比拟。己矩该我面的半径

r=100mm0

解：圆的方程为：

把y轴的半径10等分，即6=1()加加。过等分点，作x轴的平行线。从下往上，每个分块的中

点的y坐标与x坐标如下表所示。