高考数学解题技巧讲义

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2021南存敖学解卷技巧年文

第/钻击起物泉技巧..........................................................................................2

技巧1分式函数求值域.........................................................................4

技巧2口算奇偶性求参数......................................................................5

技巧3形如.麴=奇函数+常数..................................................................7

第2将华面向量...................................................................................17

技巧1奔驰定理..............................................................................22

技巧2三角形的四心...........................................................................25

技巧3极化恒等式............................................................................27

技巧4等和线定理............................................................................37

第3舒解三角形..................................................................................46

技巧一三角形的射影定理.....................................................................49

技巧2三角形的中线定理.....................................................................5()

技巧3角平分线的定理........................................................................52

第，存数列......................................................................................62

技巧1等比数列前II项和规律................................................................65

技巧2单一条件口算结果.....................................................................66

技巧3公式法口算通项.......................................................................68

技巧4错位相减法口算结果....................................................................70

技巧5斐波那契数列...........................................................................72

第5将也直三角形...............................................................................82

技巧1焦点三角形的周长.....................................................................85

技巧2焦点三角形的面积.....................................................................85

技巧3焦点三角形的离心率...................................................................88

第6存离芯率...................................................................................101

技巧1焦点三角形中的离心率...............................................................103

技巧2点差法中的离心率......................................................................105

技巧3渐近线与离心率......................................................................108

技巧4焦点弦与离心率........................................................................110

第7科3成法....................................................................................123

技巧1点差法在椭圆在的应用...............................................................125

技巧2点差法在双曲线在的应用...............................................................130

技巧3点差法在抛物线在的应用.............................................................135

第3耕外接球星用切琳...........................................................................154

技巧1外接球之墙角模型......................................................................160

技巧2外接球之汉堡模型......................................................................162

技巧3外接球之斗笠模型......................................................................165

技巧4外接球之折登模型......................................................................167

技巧5外接球之切瓜模型.....................................................................1700

技巧6外接球之麻花模型......................................................................172

技巧7外接球之矩形模型......................................................................173

技巧8内切球半径............................................................................175

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第/耕房数相关技巧

技巧导出

技巧1：分式函数求值域

|BjBt技H2,奇偶性口算求参数

技巧3：f(x)=g(x)+k,其中g(x)为奇函数

技巧祥讲

一.分式函数求值域分子分母为同类型函数

(一)注意事项

1.求值域前先求定义域，如果绐出区间则不用求定义域

2.几个极限值

---->0----08+a—8-........>+oo------->-00

00000+0一

(二)模式

1分.子分母为一次函数

ad.

工人-(cx+d)--+b-----+b

a

y="+b分小”=C--------------—=—+c

cx+dcx+dccx+d

<=>y=常数+反比例函数=反比例单调函数=求值域带端点值即可

2.分子分母为无常数项的二次函数

i.="2+6澳无法at+b

常数+反比例函数

1»y=-----oy=

~ex+d-f=》2.新元,的范国ct+d

o反比例单调函数0求值域带端点值即可

3.分子分母为指数函数

々元>

=kce+b__二"W="常数饭比例函数

/cax+dE新兀丽巴国zct+dJ

o反比例单调函数。求值域带端点值即可

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二.奇偶性

1.常见函数的奇偶性(前提定义域关于原点对称)

⑴y=ax+—奇函数

x

a奇数n奇函数

(2)y=xa，

。偶数n偶函数

(3)，=优一「奇函数了二优+1、偶函数

(4)y=loga^~-或y=log“LH奇函数

\+x1-x

(5)y=loga(Jl+x?±切奇函数y=loga1—L——奇函数

Vl+x2±x

(6)常考的奇函数：(式子中的a,掰,〃均是使函数解析式有意义的范围.)y=log”(而彳17士加x)

x

a±1*-.mx±n3

y——：-----y—a—ay-logw----------y=sinxy—tanxy—xy=x

ax+1mx+n

xxkx

常考的偶函数：y=a+a~y=\oga(a+1)--y=cosx

2.有对称轴函数解不等式或比较大，】、--比较的是两个自变量与对称轴距离的远近

当函数的对称轴为x=a,则f(xi)>f(x2)

(1)当函数的先增后减时，卜一。|<卜2一。|

(2)当函数的先减后增时"再一。|>k2一。|

3.奇偶性的运算

同性相加减的同性，异性相加减为非奇非偶

同性乘除为偶函数，异性乘除为奇函数

三,函数模型为的/㈤+心其中g㈤为奇函数，所给区间要关于原点对称

Lf(x)+f(-x)=2k

推导：f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2k

2.f(X)max+f(X)min=2k

推导於劝佝加〃=gGMx+k+g®"而+k=2A(奇函数的最大值与最小值成相反数)

3.如何找匕-#))=k

推导

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技巧卷证

技巧1分式函数求值域

【例1】⑴（2020山西省太原市实验中学）已知函数/（x）=—w，xe[3,5]的取值范围o

r2-l

（2）（2020湖南省长沙市第一中学）函数y=的值域为____________「

x2+l

53

【答案】（1）-]（2）[-1,1）

42L，

【解析】（1）/（3）=与=1二。/（5）=*亍1=与，则其值域[。，1]

3+145+1242

丫2_I27

（2）常规法：分离常数由已知:y=J—=1一一--,vx2+l>l,.*.0<--

x2+lx2+lx2+l

技巧法：frlfNO,则函数》寸，切=m/3=-/48）=/（取不到，开区间），-1<<1

【举一反三】

2r+3

1.（2019上海市普陀区曹杨第二中学函数）y=-----,xc[0,2]的值域是：

x+2

37-

2-4-

-

37

【解析】技巧法：俭37故答案为：

2424

2x+32x+4-11rA111

常规法:y=------=---------=2-------，因为“£[0,2],故-----G一，一

x+2x+2x+2x+242

37-

37

故2------G—■，―.故答案为:2-4-

x+224-

2.（2020广东省东莞市北师大东莞石竹附属学校）函数y=2z=的值域是____________________

2+x"

【答案】（T,1]

,2

【解析】技巧法：t=x2,tN（）,则函数尸Rx）=昔,f（0尸l,f（8尸-1（取不到，开区间），即函数丁二=1r的值域

t+22+x

是㈠，1].

22x24-2-4

常规法:2-x=x-2

2+x2~~X2+2X2+2

r1144

■/x2+2...2,0<-",则0<――2,r.-1<-1+—_1.

厂+22厂+2x~+2

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即函数^=上4的值域是(-1,1].

2+x2

3.(2020陕西省西安市高新一中)函数y=7/的值域为

X+1

【答案】(-oo,4)u(4,+co)

【解析】技巧法：y=生也的定义域为(一8,—1)。(-1,+00),则yHf(-l)=4

X+1

故答案为：(-8,4)D(4,+CO)

常规法：由题7=4一一收=4.丫+4—4-行=4工+4_4+也=4_4+行

x+1x+1x+1X+lX+1

因为),=，的值域为(-<»,0)50,+00),故>=—彳的值域为(-00,0)“0,+8),

故歹=4+0的值域为(_oo,0)u(0,+8).

x+1

故y=4-士捶的值域为(-8,4)D(4,E)故答案为：(一8,4)0(4,物)

x+1

技巧2口算奇偶性求参数

【例2】(I)(2020•福建漳州•高三其他(文))若函数/(x)=(sinx)ln(Jx2+a+x)是偶他数,则实数。=

()

7T

A.-1B.0C.1D.—

2

(2)12020河南高三月考(理))已知/(万)=FlrSe??)是存函数，且实数人满足/(24—1)<；,则左

的取伍范围是()

A.(-co,-l)B.(-l,+oo)C.(-<»,0)D.(0,4co)

【答案】(1)C(2)D

【解析】(1)技巧法：因为函数为偶函数，正弦为奇函数，所以对数为奇函数，根据常见函数可知。=1

常规法：因为/'(x)=(sinx)ln(Jx2+〃+工)

是偶函数，y=sinx是奇函数,

所以y=In+x|是奇函数，所以In-In+。+x,

所以In+。+x=0,所以ln(》2+〃一%2)=0,

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所以lna=O,所以4=1,故选：C.

a-Y

(2)因为/(x)=L^是定义域为&的奇函数，所以/(0)=0,可得。=1,

1+2”

l-2r-2v-l+2,2

此时/(%)=---------=-1+-----,易知/(x)在H上为减函数.

l+2r1+2、1+2V

又因为/(2丘一1)〈：=/(一1),所以所以%>0.故选：D.

【举一反三】

1.(2020•沙坪坝•重庆南开中学高三月考(理))已知函数/(乃二产+小'/,则不等式/(2x)</(x-3)

的解集为()

A.(-oo,—3)D(1,4~QO)B.(—1,2)C.(0,1)D.(—3,1)

【答案】D

【解析】技巧法：根据常见奇偶性函数可知Rx)为偶函数，根据对勾函数已知二次函数可知x>0函数为单调

递增，则xvo函数为单调递减，|2司<卜一3|,即(2x)2<"-3「解得一3cx<1,故选：D.

r

常规法：设g(x)=e'+。一二%(x)=f由g'(x)=^~~F^，当x<0时，g(x)<0,

当x>0时，g'(x)>0,则g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

由二次函数的性质可知，人(力在(-oo,o)上单调递减，在(o,+8)上单调递增，

所以/(x)="+"'+，在(―8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

又/'(T)=«-*+炉+工2=/(%),所以/(X)为偶函数.由/(2x)</(%-3)可知，

|2x|<|x-3|,即(2x)2<(工一3)2,解得一3<X<1,故选：D.

2.(2020•河北桃城•衡水中学高三其他(文))若函数/(》)=£、一d'+工，则不等式/(|x|+l)+/(2x)A0

的解集为()

A.B.(-oo,l]C.(0,1)D.(-1,0)

【答案】A

【解析】技巧法：根据常见函数可知f(x)为奇函数求为单调递增则/(|x|+l)+/'(2x)N0可化为

/(|x|+l)>-f(2x)=/(-2x)所以原不等式等价于不等式IXI+12-2x.

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①当xNO时，可化为x+12—2xn所以xiO；

3

②当x<0时，可化为一x+12-2xnx2-l,所以一lWx<0.

综上，原不等式的解集为［-1,+8).

常规法：因为函数/(》)=/一/+%的定义域为R,

且满足/(一切=e'-靖一x=-(ex-ex+x)=-f(x),

所以/(X)为R上的奇函数，

则/(|x|+l)+f(2x)N0可化为/(|x|+1)N-f(2x)=f(-2x),

因为/'(幻=/+6-'+1>0恒成立，所以/(x)为R上的增函数.

所以原不等式等价于不等式|x|+12-2x.

①当xNO时，可化为x+12-2x=>xN—1,所以xNO；

3

②当x<0时，可化为一x+1N-2x=xN-l,所以一l<x<0.

综上，原不等式的解集为［-L+8).故选：A.

3.(2020•河南罗山•高三月考(理))已知函数危)的图象关于)，轴对称，且人劝在(一8,0］上单调递减，则

满足了(3x+l)</(‘)的实数x的取值范围是()

V2>

_1_1

A.，B.

~2~6>15,

1_1」_1

C.3，-6D.l-3，-6j

【答案】B

【解析】由题意/(戈)是偶函数，且在［0,+8)上单调递增,

・•・不等式/(3x+l)<f|3x4-1|<—,解得一］<X<—.故选：B.

技巧3形如/2=奇函数+常数

【例3】⑴(2020•河南平顶山•高三月考(文))已知函数/(x)=d-3sinx+2,若/(w)=3,则/(一加)=

()

A.-3B.-1C.ID.2

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(2)(2019秋•市中区校级月考)已知/(x)=sinx-d+],XG[-2^,2幻，若/(x)的最大值为加，/⑴的

最小值为N,则M+N等于()

A.0B.2C.4万D.8/

(3)(2020•五华•云南师大附中高三月考(文))已知函数/.(x)=cosx+x.eXx-」x+2,则

cosx+2

/220192019、2018、+.••+//———

/+…+)

+fI2020)

2020；<2020>20202020；2020?

A.2019B.2020C.4038D.4040

【答案】(1)C(2)B(3)C

【解析】(1)因为y=x3,y=s加x是奇函数，/(加)+/(一机)=4・・・/(一机)=4一/(加)=1.故选：C

(2)函数g")为奇函数，.•.g(x)2+ga)*=0,f(x)max-1+f(x)mln-1=0,/.f(x)max+f(x)min=2,

即M-N=2.故选：B.

(3)^=/(0)=l

122019、201920181

所以/++••・+/-------+/---------+---,,,+f-----------

202020202020;2020)I2020(2020

=2019x2=4038.故选：C

【举一反三】

1.(2019秋•椒江区校级期中)已知函数以%)=2+-7生二的最大值为"，最小值为〃？，则M+用的值等

e+e

于()

A.2B.4C.2+-^D.4+-^-

1+e1+e

【答案】B

【解析】设g(x)=-^―,则g(x)是奇函数，g(x)的最大值和最小值互为相反数，且f(x)的最大值为M,

e+e

最小值为〃？，M+m=4.故选：B.

2.(2021•宁夏银川二十四中高三月考(理))若/(x)=3?+加inx+1,且/(5)=7,则/(-5)=()

A.-7B.-5C.5D.7

【答案】B

【解析】设g(x)=/(x)-「加+bsinx,则g(r)=-g(x),所以g(5)=/⑸一1=6,

则g(-5)=-1=一6,所以/(-5)=-6+1=-5.故选：B.

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3.已知函数/GJ=In(x+y/x2+1+1，若实数。满足/(-。)=2,则/(。)等于()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】B

【解析】•・•函数f(x)=In(x+&+i)+],

实数a满足f(-a)=2,

•**/(-〃)=/〃(-〃+\Ja24-1)+1=2»；♦/〃(-〃+Ja?+1)=1♦

，/(q)=/〃(〃++D=-功(-4+“2+D+1=-1+1=0.故选：B.

(]、2cosx+一x~s~x+4

4.(2020・云南师大附中高三月考(理))已知函数/x+—=-----------------------------------,则

\2)cosx+2

岛■扁江+/(费卜()

A.2019B.2020C.4038D.4040

【答案】C

【解析】/卜+；卜2cosx+x2ex-x2c~x+4_x2(eT-e~x)

-------------------------------=2H-----------------

cos.r+2cosx+2

…、x2(ex-e-r),则〃(_x)=.(er_；)

令风x)二，——/=-h(x),所以h(x)为奇函数,

cosx+2cosx+2

所以A(x)关于坐标原点对称，则/(戈)关于1万，2J成中心对称,

201912019

则有/(x)+/(l-x)=4,所以/=-x2019xf=4038.

202020202020220202020

故选：C.

5.(2020•全国高三月考(理))已知函数/(x)=ln(JP_7T-x)+sinx-2,则/(2020)+/(—2020)=

()

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】D

【解析】设g(x)=ln(&+1-x)+sini.则

g(-x)+g(x)=In^Jx2+1+x)+In(Jd+1-xj+sin(-x)+sinx=lnl=0

所以g(-x)=-g(x),即g(x)为奇函数，所以g(2020)+g(—2020)=0,所以

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f(2020)+/(-2020)=g(2020)+g(-2020)-4=-4,故选：D.

技巧强化

1.（2019江苏省盐城市）函数/（x）=3—：2018的值域为

x~+1

【答案】（3,2018].

【解析】技巧法：/=/,良。则利汽答、f（0）=2（H8,f（8）=3故答案为（3,2018].

“、3/+20183(/+1)+20152015

3+

x2+1x2+1

丁婴]e(0,2015]/.3+e(3,2018]故答案为(3,2018].

2.函数/=g一1的值域足____.

Vx+3

【答案】一；』

【解析】技巧法,人（d。）赃=会"（。）=-/（8）=1,则值域为f

M.m•].1MX.—1yfx+3—44

常规法•：由题知y=----=—j=-----=1—产----,

Jx+3Jx+3y/x+3

因为420,所以&+3N3,

1-44

o

<-加<<

6+3-3k3-

因此日-WHf）’

故答案为：一;，1）.

sin0

3.（2020黑龙江省哈尔滨师范大学附中）函数＞=--------的值域为.

2-sin。--------

【答案】

【解析】技巧法：令sin6=z,则故丁=二，/（-1）=一1,

2—f3

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常规法：令sinO=f,则/£1一1,1],故~‘)+2=

'2-t2-t2-t

A

由于他[一1,1],・•・2TE[1,3],

Z31

即函数y=一—的值域为一；」故答案为：一§』

2—sin。3

4.(2020•江西省信丰中学高三月考(文))已知阳数/(%)=0?+版3+3+8,且/(-2)=10,则函数/(2)

的值是______

A.-2B.-6C.6D.8

【答案】6

【解析】技巧法：/(—x)+/(x)=16,令X=2,得/(一2)+/(2)=10+〃2)=16,解得"2)=6,

常规法：f(x)=axs+bx3+cx+S,令8(X)=0?+区3+6=/(1)-8,

其中g(一1)=一批5一区3—cx=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,

即g(T)+g(x)=/(r)-8+/(x)-8=O,

可得/(r)+/(x)=16,令x=2,得/(一2)+/(2)=10+/(2)=16,解得〃2)=6

5.(2020•山西大同•高三月考(文))设函数/'(X)=奴3+65出x+cIn((+Jj?+1)+3的最大值为5,则f(x)

的最小值为

【答案】1

【解析】技巧法：f(X)nm+nX)min=6,则f(X)的最小值为1

常规法：由题可知，/(x)=尔+bsinx+cIn(x+Jx?+1)+3,

设gCr)=ox3+Z?sinx+cIn(x+\lx2+11,其定义域为R,

又g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+cln(-x++1),

即g(-x)=-ox3-bsinx+cln(-x+Jx2+1),

22

由于g(-x)+g(x)=clnx+\!x+1j+clnf-x+Vx+lj

(x+Ji+1J/+l)=cln(x24-1-x2

=c\n)=clnl=0,

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即g(-x)+g(x)=。，所以g(x)是奇函数，

而/(x)=g(x)+3,由题可知，函数的最大值为5,

则函教g(x)的最大值为：5-3=2,

由于g(x)是奇函数，得g(x)的最小值为-2,所以/(x)的最小值为：-2+3=1.

Asmx

6(2020•广东霞山•湛江二十一中高三月考)已知函数/(》)=----丁+2的最大值为A/,最小值为〃?，则

1+x

M+m=_______

【答案】4

【解析】技巧法：fWmax+WXMin9

力sinx,、力sin(-x)-Jsinx,、，、

常规法：设——尸，因为g(一%)二।」="；-----=-gU),所以g(x)为奇函数，

l+xl+(-x)\+x~

则g(x)的最大值为M-2,最小值为〃?一2,

由奇函数对称性知，两者相加为0,即A/—2+(〃?-2)=0,：.M+m=4.

7.(2019•杏花岭•山西实脸中学高三月考)已知函数/(x)=a+'+sinx,其中/'(x)为函数的导

x+1

数，则/(2018)+/(-2018)+/'(2019)-/'(-2019)=

【答案】2

‘亩以工】r(x+1)2+sinxx2+2x+1+sinx2x+sinx

L解析】J(X)=------------------=-----------------------=1+----z-------

x2+lx2+lx2+l

令g(X)=2x；s]:,则有/(x)=g(x)+1,/'(x)=g'(x)

X+1

因为g(x)的定义域是R,g(-x)=2：=_g(x)

所以g(x)是奇函数，所以g'(x)是偶函数

所以g(2018)+g(—2018)=0,gz(2019)-g(-2019)=0

所以/(2018)+/(-2018)+/r(2019)-八—2019)

=g(2018)+l+g(-2018)+1+/(2019)-£(-2019)=2故选:A

cinx4-TCCWX

8.(2019・山东任城济宁一中高三月考)设函数/(x)=：(。£凡。工0),若/(一2019)=2,

ax

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7(2019)=L

【答案】-2

、sinx+xcosx“，//、sin(-x)-xcos(-x)sinx+xcosx、

［解析］因为/(x)二-------、——,所以/(r)=2——=---------、——=―/(X)，

ax~axax

因此函数/(x)为奇函数，又/(一2019)=2,所以/(2019)=—/(—2019)=-2.

9.(2019•湖南娄底•高三期末(文))已知函数/'(x)=-------+x3+sinx,其导函数为f\x),则

ex+\

/(2020)+7*(2020)+/(-2020)-/\-2020)的值为t

【答案】4

4,44/

【解析】函数/(x)=-；^--+x3+sinx=>/(x)+/(-x)=--------+--------=4,

e+1')')，+1e'+l

4e”,

+3Y+COSY

二(x)=~/ex+1y~，/«)-/")=o,

7(2020)+/(2020)+/(-2020)-广(-2020)=4.

10.(2019秋•渝中区校级月考)已知/(外=量2)-，则/J)在区间［-2,2］上的最大值最小值之和为_____L

x+4

【答案】2

【解析】技巧法：我0)=1,则最大值和最小值的和为2

a....工，/、x2+4+4x,4x./、4x

常规n法：由/(、)=­；~—=1+—~7令g(x)=r-

x~+4x+4r+4

可得g(-x)=--=-g(x)是奇函数，

可得g(x)区间［-2,2］上的最大值最小值之和为0.

那么〃x)在区间［-2,2］上的最大值为l+g(x)M，最小值为l+g(x)所;

・・・/(x)在区间［-2,2］上的最大值最小值之和为2..

11(2020秋•广东月考)已知函数/(%)=(/-2x)sin(x-l)+」一在［-1,3］上的最大值为M,最小值为加，

x-1

则A/+m=(

【答案】2

【解析】技巧法：所给区间不管原点对称需要换元，令t=x-l,则任［-2,2］

f(t)=(t2-1)sint+^-,f(O)=1,则f(x)的最大和最小值为2k=2

常规法：由/。)=［(#_1)2_小出。-1)+］+工令x—］=£,xe［-l,3］上,可得2］；

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那么/(X)转化为g(/)=rsin/+y-sin/+l

由于伯)=/sinf+l-sinf是奇函数可得的)，re[-2,2]的最大值与最小值之和为0,

那么g(t)的最大值与最小值之和为2..

12.(2019秋•宁波期中)已知函数/a)=a+Da-'+2'-2”的最大值为加,最小值为切，则“+加=(

x-4

【答案】2

【解析】，•2+D(…)+2=f严-2-、

X2-4X2-4

2x-2-x-3x

=1t+———，

x-4

Xx

令g(x)，2-f2~-,3x,则g(-x)=-g(x),即g(x)为奇函数，图象关于原点对称，

x--4

g(x)=/(x)-l,

M7，g(x)〃丽一,〃-1,且g(")2十g(x)附加一。，

/.M-1+m-1=0,

则M+m=2.

13.(2020•陕西西安•高三月考(理))已知0：a=±l,q：函数/(x)=ln(1+jL+i)为奇函数,则夕

是夕成立的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】技巧法：根据常见困数可知。=±1

常规法：当〃=±1时，/(x)=ln(x+>Ja2+x2)=In(x+Vl+x2),

即有/(一%)=ln(\/l+x2-x)=In(/：——)=-ln(Vl+x2+x),

Vl+x2+x

故有/(r)=~/'(x)即/G)为奇函数：Pnq

当/(x)=ln^x+V^2+x2j