高等代数考试试题附答案

姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：醛

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一、填空题（每小题5分，共25分）

1、在P[X]中，向量l+x+V关于基1,1-1,一一3工+2的坐标为o

2、向量组%=（1,2,-1）,%=（2,4,-2）1a3=（303）.=（1,-⑵%=（5,-3,8）的秩

为，一个最大无关组为…

3、（维数公式）如果匕，匕是线性空间V的两个子空间，那么o

’3-20、

4、假设A=-13-I的特征根是,特征向量分别为o

「57-1,

5^实二次型/'（再,x,,与）=-4-V'i%，+2M+2x,x3的秩为___________

二、是非题（每小题2分，共20分）

1、如果6,生，…，4.线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（）

2、在丹耳中，定义变换4nx）=/（%）,其中是一固定的数，那么变换A是线性

变换。（）

3、设叱,1%是向量空间V的两个子空间，那么它们的并WlJWz也是V的一个子空间。

（）

4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（）

5、令4="22，七，七）是川的任意向量，那么3是R4到自身的线性变换。其中

54）=（后,后,后,看）。（）

6、矩阵A的特征向量的线性组合仍是A的特征向量。（）

7、若矩阵A与3相似，那么A与8等价。（）

8、〃阶实对称矩阵A有〃个线性无关的特征向量。（）

9、在加2（穴）中，若W由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W是加2（/?）的

子空间。（）

10、齐次线性方程组。E-A）X=0的非零解向量是A的属于义的特征向量。（）

三、明证题（每小题XX分，共31分）

1、设々，㈢，…，〃是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明：A可逆当且〜

当人句,Aq,…,A&”线性无关。（10）

2、设3是〃维欧氏空间V的一个线性变幻，证明：如果S是对称变幻，U=/是单位变

幻，那么b是正交变换。（II）

3、设V是一个〃维欧氏空间，证明：如果叫，明都是丫得子空间，那么

（"+/尸=vxn叼。（io）

四、计算题（每小题8分，共24分）

「1-33、

1、求矩阵4=3-53的特征根与特征向量，并求满秩矩阵〃使得片飞尸为对角

、6-64,

形矩阵。

飞20、

2、求一个正交矩阵U,使得UAU使对角形式，其U」A=24-2o

<0-25,

3、化一次型/（为,々,&）=-4*々+2*&+2々3为平方和,并求所用的满秩线性变

换。

科目名称：《高等代数》

姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷

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SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

一、填空题（每小题5分.共25分）

1、（3,4,1）

2、秩为2,一个最大无关组为名,出

3、维（匕）+维（匕）二维（匕+匕）+维（V,p|V2）

4、特征根是1,1,2,特征向量分别为囚=（1,1,11%=（2,量1）

5、秩为3

二、是非题（每小题2分，共20分）

z是

1f

、x）

z是

2(

、x）

z是

3(

、x）

4/否

k

、）

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、）

6陪

、）

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、）

(

8是

、

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)

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、

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1分

，共3

XX分

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存在

则A」

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J),

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,则A

相关

线性

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