高考数学 千锤百炼2

第21炼多元不等式的证明

多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本

章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。

一、基础知识

1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：

（1）利用条件粗略确定变量的取值范围

（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用

2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个〃元代数式，如果交换任意两个字母

的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序

3、证明多元不等式通常的方法有两个

（1）消元：①利用条件代入消元②不等式变形后对某多元表达式进行整体换元

（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自

变量大小来证明不等式

（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。

二、典型例题：

例1：已知/（力=111%送。）=/（%）+0¥2+反，其中g（尤）图像在（l,g⑴）处的切线平行于

X轴

（1）确定。与的关系

（2）设斜率为左的直线与的图像交于A（XQJ,8（X2,力）（王<X2），求证：

解：(1)^(x)=lnx+ax2+bxg(x)=—+2or+h,依题意可得:

g(1)=1+2«+Z?=0=>/?=—(2a+l)

（2）思路：上二2二且=”-1呻,所证不等式为_L<g山<1

即玉二A<]n三〈三二工，进而可将三视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等

式

解：依题意得左=-一由」-'*,故所证不等式等价于：

±Jnx2-lnxl<1^：^<lnxI<x1-A1^1_A<lnxI<x1_1

x2x2-xxXjx2X[X]x2X,X]

令七强则只需证：

%t

先证右边不等式：ln，v，—loln，T+lv()

令Mx)=ln/-f+l//(r)=--1=—

在(1,+0。)单调递减?.〃⑺<〃(1)=0

即Im+lvO

对于左边不等式：1—lvlnfu>lnf+1—l>0

tt

令p(f)=lnr+l_1,则p(1)==

/.p(r)在(l,+oo)单调递增/.p(t)>p(l)=O

小炼有话说：

(1)在证明不等式」-〈In—-E*--L时,由于%,%独立取值，无法利用等量关系消去

x2x2-X,Xj

一个变量，所以考虑构造表达式/(%,9):使得不等式以/(七,七)为研究对象，再利用换元

将多元不等式转变为一元不等式

(2)所证不等式为轮换对称式时，若司,电独立取值，可对玉,马定序，从而增加一个可操作

的条件

例2：已知函数/(x)=xlnx.

(1)求/(x)的单调区间和极值；

<2)设4(%,/(2)),3(工2，/(工2))，且尤1工电，证明："")</'

%一XI2

解：

(1)定义域为(0,+00)

f(x)=lnx+l

令f(x)>0解得：x>^~

・・・“X)的单调增区间是单调减区间是(o,g

/(x)的极小值为==无极大值

(2)思路：所证不等式等价于证[In"-'lnX]<仙"十々+],轮换对称式可设王〈占，

x2-2

进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量

证明：不妨设王<“2

,,,/X+%2\xjnx,-xjn%.x.+x2t

A|X

x2-x(In^<x2In-XjIn—+x2-xi(由于定序玉vx2，去分母避免了分

类讨论)

x,\n-^<xl\n-^-+x2-xl(观察两边同时除以西，即可构造出关于土的不等式)

■xi+x2xx+x2

2.&

两边同除以西得，三In—2-〈,二一+五一1令三=/,则z〉l,

%/强1+强内耳

2/2

即证：tIn-----<In-------\-t—\

l+t1+r

2t2

令g(f)='ln-------In--------f+1

\+t1+r

，/、.It1+r2J+r2[i2，\—t1,If—1、f—1

g(O=In--+t-1=ln-----+------=ln(1+------)--------

l+r2t(1+r)22(1+r)l+r1+rr+1f+1

令，h(m)=ln(l+7n)-m

7+T=m(n>0),(再次利用整体换元)

A'(w)=—L--l=-2?L_<0,在(0,M)上单调递减，所以〃(M〈〃(O)=O

即ln(l+")vm,即g'«)=ln(l+—)--<0恒成立

f+1r+1

・•・g⑴在(L+co)上是减函数，所以g(t)<g(l)=0

2/2

•••tIn---<In----Ff—1得证

1+r1+r

所以左.</'(笥殳)成立

小炼有话说：

(1)本题考脸不等式的变形，对于不等式々In2、vxjn—8—+冬一王而言，观察到

玉+/玉+/

每一项具备齐次的特征(不包括对数)，所以同除以巧，结果为强或者1,观察对数的真数,

再

其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以玉,结果为土或者1,进而就将不

等式化为以，■为核心的不等式

(2)本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式

例3:已知函数/(x)=e*-5冗2一如(q£R).

(1)若函数/(3)在/?上是增函数，求实数。的取值范围；

(2)如果函数g(x)=/(x)-卜恰有两个不同的极值点%,乙,

证明：土卫"<1112。.

2

解：

⑴•・"(%)是K上是增函数

:.yxeRJ(x)=ex-x-a>0(注意：单调递增一导数值NO)

:.a<(er-x)

设7i(x)=ex-xh(x)=ev-1

令"(x)>0解得x>0故力⑶在(-8,0)单调递减，在(0,+oo)由调递增

:.a<\

(2)思路：^(x)=f(x)-\a--}x2=ex-ax2-ax,g(x)=^r-2ax-a<)所证不等

ex,-2ax-a=0

式含有3个字母,考虑利用条件减少变量个数。由4超为极值点可得，1

x

e'-2ax2-a=0

从而可用为,工2表示。，简化所证不等式。

解：依题意可得:

g(")=fW-x2=ex-ax1-ax,g(x)=ex-2ax-a

,/xpx2是极值点

g(x,)=0(ex,-2ax-a=0

=«t两式相减可得：2a——2

Xz

g(%2)=0[e-2ax2-a=0

文正_X2

x,+.6、一e"e

所证不等式等价于:----;<In------oe（2<-------不妨设司

2x,-x2西一看

“1一&6所_内_1

两边同除以"2可得：e2<---------,（此为关犍步骤：观察指数耗的特点以及分式的分母，化不同

为相同，同除以e”使得多项呈西一%的形式）

从而考虑换元减少变量个数。令1=玉一次2，£（。,+8）

所证不等式只需证明：1v63or）-e'+l<0,设〃（x）=/■-d+1

P（x）=一/+

由（2）证明可得：/一（；+1）20/.p（x）<0

在（0,+oo）单调递减，p（r）<p（0）=0证明完毕

原不等式成立即士玉<In2a

2

小炼有话说：本题第（3）问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于。的等式消去

a,进而使所证不等式变量个数减少。最大的亮点在于对*+%〈ml'二•二的处理,此时

2%1-x2

对数部分无法再做变形，两边取指数，而后同除以""使得不等式的左右都是以王一%为整

体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式。

例4:已知/(x)=(4+l)lnx+④2+1

(1)讨论/(力的单调性

(2)设〃《—2,求证：G(0,+OO),|/(X,)-/(X2)|>4|X1-X2|

解：(1)定义域x>0

f(x)=----+lax=-------令f(x)>0,即

XX

2ax2+4+1>0=2加>一(0+])

①4=0则/(力>0恒成立,/(力为增函数

②。>0则/>一与富，/(工)>0恒成立，为增函数

三L2(〃+1)

③。<0时，X<------

2a

当则/(x)v0恒成立，/(x)为减函数

当一lva<0时，解得：0<x<J—四

V2a

1。尸]'1a+1、

X[J2af

1V2a

十—

/

(2)思路：所证不等式/(%)—/(占)|24|不一司含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由

(1)问可知/(力单调递减，故只需知道玉,超的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式，

且％,占任取，进而可定序々，所证不等式/(^)-/(%])>4^2-4xj,即

/(%)一4/之/(%)一你，发现不等式两侧为关于七,9的同构式，故可以将同构式构造一

个函数，从而证明新函数的单调性即可。

解：不妨设超>王，•••白工一2,所以由第(1)问可得单调递减，.•./(々)</(百)

所证不等式等价于：/(^)-/(xj)>4X2-4X(O/(5)+4苔>f(x2)+4x2,令

g(x)=/(x)+4x=(6t+l)lnx+a¥2+l+4x»只需证明g(x)单调递减即可

，/、〃+1./2ax2+4.v+a+l

g(x)=---+2ar+4=-------------°

xx

设〃(X)=2OX2+4x+a+l

方程〃(x)=0A=16—16tz(6t+l)=—16(«+2)(«—1)<0

..〃(x)K0=g(x)<0

g(x)在(0,+oo)单调递减。.\^(^)>^(^2)即所证不等式成立

小炼有话说：同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式，从而可将这个表达式视为

一个函数，表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结。将不等式转化为

函数单调性的问题。双变量的同构式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。

例5：已知函数/(x)=21nx-£-Qt.

(1)当。之3时，讨论函数y=/(x)在+8)上的单调性；

(2)如果芭,马(X〈天)是函数/(尢)的两个零点，f(x)为函数/(力的导数，证明：

解：(1)/(x)=--2x-«可判断f(x)在1+oo]单调递减

/(x)</f^J=4-l-a=3-a<0

「1、

.,J(x)在一,+oo单调递减

.2/

(2)思路：/(X)=2-2x-a可得：#+2.]=——乌-----—(%(+2x^)-a,含有三

xI3JM+293

个字母，考虑利用条件减少字母的个数。由/(内)=/(9)=0可得:

21n强

21nx.-xl-ax.=0

,两式相减便可用须，“2表岳々，即々—（x2+2），代人可得:

21nx2一石一但二°

21n强

—————xL=6(x2-x1)_21n^_J_

V一

+2X23x2-x,Xj+2X2g31

从而考虑换元法将多元解析式转变为一元解析式进行证明

Xj+2X62,

2---------------(x.+、}~ci

解：fV1

~~3-XJ+2X23

,.•不工2（西＜工2）是函数/（力的两个零点

2

/(x,)=21nx1-x1-ar1=021nx(\

=>a=-------L—4-rJ

/(x2)=21nx2-xj-ar2=0x2-x,

21n强

.//+2-62/、6x.

---------------(X+2x,)—a=----------------------

XX3V1」

31+22x,+2X2X2-x,3

•••一*2")2<0

21n强It!

6w

二.只需证-In—<0

xx+2X2X2-x,Xj+2X2Xj1+2强石

王

V

,4"/=—(=(l,+oo)

%

则设—Inr下面证〃（。＜0

/?（i）=0,//（/）=-——?（：，）（，）＜0恒成立

，(%+2%、

.♦./2⑺在（1,+8）单调递减，.•.〃（。＜〃（1）=0即/<0

3

小炼有话说:

（1）体会在用表示。时为什么要用两个方程，而不是只用21n芯一片-依］=0来表示。？

如果只用演或马进行表示，则In再很难处理，用不工2两个变量表示。，在代入的时候有项

In三，即可以考虑利用换元法代替三，这也体现出双变量换元时在结构上要求“平衡”的特

耳X,

点

21nx

(2)在/'(智卫)再+62/■T/f)这一步中，对一如f)项的处理

可图可点，第三问的目的落在判断/(土产)的符号，而一((乙一七)符号为负，且在解

析式中地位多余(难以化成土)，所以单拿出来判断符号，从而使讨论的式子得到简化且能

表示为上的表达式

例6：(2010年天津，21)已知函数f(x)=xe-*

(1)求函数/(x)的单调区间和极值

(2)已知函数)=8(%)的图像与函数y=/(x)的图像关于x=l对称，证明当%>1时,

/(x)>g(x)

(3)如果%工工2，且/(克1)=/(工2)，求证：玉+冗2>2

解：(1)/(%)=-我-、+/、=(1-x)e-x

令f(x)>0=>x<l/./(x)的单调区间为：

X(fl)(L”)

/(力4-—

/W/

••・〃力的极大值为/⑴=L无极小值

e

(2)解：与人力关于x=l轴对称的函数为“2—月

g（力=/（2-M=（2-x）ex-2所证不等式等价于证：

X""+（X—2）+2>0设/2（力=X"，+（x-2）/?（1）=0

h[x）=-xe~x4-e-t+ex~2+（x-2）ex~2={x-\）{ex~2-1）

=^x（x-l）（e2x-2-l）

•/x>1/.e2x~2-1>0.\/z（x）>0

M力在（1,”）单调递增「.MxAMihBivaAga）

（3）思路：所给条件/（%）=/（占）=>%"』=七6』，但很难与％+%>2找到联系。首

先考虑玉,工2的范围，由（1）可得工=1是极值点，.,./（玉）=/（毛）=%,%2应在工=1的

两侧，观察已知和求证均为菁,9的轮换对称式，所以可设王〈工2，进而工[<1<12，既然无

法直接从条件找联系，不妨从另一个角度尝试。已知条件给的是函数值，所证不等式是关于

自变量的，%]+x2>2<=>%）>2-x2,而2—工2<1，根据/（x）的单调区间可发现2—工2，王

同在单调递增区间中，进而与函数值找到联系芭>2-X2=/（芯）>〃2—电）

由〃％）=/（/）可得所证不等式等价于/（々）>“2—工2），刚好使用第二问的结论。

解：•.,/（内）=/（工2），X=1是极值点

X]，W在4=1的两侧，不妨设尤<1<12

所证不等式等价于项>2-％2而2-电V1

•・•7（/）在（-8,1）单调递增

二.％>2-电=/（3）>“2-毛）•・"（%）=/（%）

.,.只需证明/（9）>/（2—冗2）X2>1

二.由第（2）问可得/（X2）>g（%）=/（2-工2）成立

.♦.%[+占>2得证

小炼有话说：（1）本题第（3）问是利用函数的单调性，将自变量的不等式转化为函数值的不

等关系，进而与前面问题找到联系。在处理此类问题感到无法入手时，不妨在确定变量的范

围后适当将其赋予一个函数背景，犷展不等式变形的空间

(2)本题笫(2)(3)两问存在图形背弟。首先说笫三问：所证不等式七十%>20小上>1

122

,即证X=%],%=看的中点横坐标大于1,而X=1恰好是/(x)的极值点。/(芭)=/(工2)可

理解为了(力与一条水平线交于演,马，而土土土■>1说明什么？说明如果是以极大值点x=l

为起点向两边走，左边下降的快而右边下降的慢！从函数角度来看说明f(x)增长快下降慢(如

图)。那么如何使用代数方法说明函数快增长慢下降的特点呢？

I

本题的第二问提供了一个方法，就是以极值点所在竖直线为对

称轴，找“X)的对称图形(虚线)，这样便杷极值点左边的情，J'、

I

I

况对称到右边来(即g(x)),由于对称轴右边都是从x=l起x=l，

开始下降，那么通过证明对称轴右侧原图像在对称图像的上方即可说明增减的相对快慢。

例7：已知函数〃X)J二A

(1)求“X)的极值

(2)若Inx—乙<0对任意的x>0均成立，求Z的取值范围

(3)已知芯>0,工2>。且芭+W<«，求证：x1+x2>XjX2

解：(1)f\x)=a~^X令/(尤)>0解得

.V

.•./(力在(0,«“)单调增，在(e",+00)单调递减

.•./(%)有极大值/(/)一无极小值

InX

(2)Inx一履vO=Z>——(参变分离法)

x

]设g(x)=@±(即a=l时的/(力)

\X/maxX

•・g(x)max=g(e)W

(3)思路：所求证不等式须+工2>玉12无法直接变形，联系/(x),g(x)的特点可以考虑不

等式两边取对数，即％+%>%毛=ln(x+电)>In%]+lnw,由玉>0,%2>。且

x]+x2<e可得芭，w£(°,e)，联系第⑵问的函数g(x)即可寻找IhXiJnw与1”西+电)

的联系了。

解：A'(>0,x>0,

2x1+x2<e

：.XpX2G(0,^)

考虑g(力=皿在(0,e)单调递增

X

玉Xj+x2x(+x2

I"<IG+W)=10羽<当屿+%)

同理：.•闻工2)〈8($十')=>

x2X,+x2芭+电

,Jn%+lnx2<M(…)+仙(…2)

=ln(X)+x2)

X+%2

即In(再%)vIn(%1+x2)/.XjX2<x{+x2

例8：已知函数g(x)=lnx+bx

(1)函数g(x)有两个不同的零点外,占，求实数b的取值范围

2

(2)在(1)的条件下，求证：x,x2>e

解：(1)g(x)有两个不同的零点』,々，即lnx+区=0有两个不同的根

,Inx4、\nx

：.b=-----设〃刈=----------

xx

/'(x)=---令/(x)>0可得：l-lnxv0=x>e

X

.•./(X)在(0,e)单调递减，在(e,+8)单调递增

且X—>+oo时,0，/(e)=—

..hw(一±0

(2)思路一：所证不等式中含有两个变量玉,多，考虑利用条件消元将其转化为一元不等式,

InX+=0/、

由零点可知，,从中可以找到王々，即1n=-Z?(X1+Xj),下面只需用玉,工2

"2b"2°

In—（%）+x2）\n-

将。消掉即可，仍然利用方程组两式作差可得。二一工，从而------------五

%一工2

（X）4-x2）ln—

只需证明............-＞2f两边同除以王，即可利用换元将所证不等式转为一元不等式

王一占

来进行证明

解：不妨设/＞大

,,Inx+bx.=0/、

由已知可得：/.Inxx.=-b(x,+X.)

Inx2+bx2=0

即只需证明：—力（％+无）＞2,在方程11n可得：〃x-x,）=ln三

L[\nx2+bx2=0-〃x

hi迨1n强

:.b=—工只需证明：——工（斗+不）＞2

X一/xi-x2

In强1+强m三

xj%>201+*In强>2%一1

即———(xj+x2)>2<=>

强-1

%

V

令t=j则/>1,所以只需证明不等式：(l+/)hu>2(r—l)=>(l+i)hv—2/+2>0①

x\

设/7(f)=(l+i)hv—2/+2从1)=0

/?(/)=—+lnz-2=-+lnr-l//(1)=0

,力(，)=：一"二^^>。.•.//(/)在(1,+oo)单调递增

.,./z(/)>/?(1)=0

在(1,+0。)单调递增

.-./z(r)>//(1)=0,即不等式①得证

2

-b(x^+%)>2即In>2/.x{x2>e

思路二：参照例题6的证明方法，构造一个单调的函数，进而将自变量的不等式转化为函数

值的不等式进行证明。由(1)可知在构造的函数/(%)=-----中，有/(药)=/(%)=6,

且“X)在(o,e)单调递减，在(G+8)单调递增，所以考虑使用来进行转换，所证不等

2

式芭工2ox1>J,通过(1)中的数形结合可知0<再<e<%，从而有

%

2/2\/2\

%«O,e),j£(O,e),所以所证不等式转化为〃为)</—,^f(x2)<f—,转化

W\X2J\X2J

为关于超的一元不等式，再构造函数证明即可

2

解：所证不等式x,x,>eox1>—

X2

因为g(x)=lnx+床有两不同零点xvx2

Inx

满足方程lnx+bx=O=b=-------,由(1)可得：0V%<6<%2

x

考虑设〃刈=一小.=

X

由⑴可得:/(力在(0,e)单调递减,在(e,+»)单调递增

2

e

\-0<x<e<x.”e(O,e),一e(O,e)

12x?

结合/(X)的单调性可知：只需证明/(%)</

.・"(%)=/(工2)

所以只需证明：/(x2)</—O/(X2)-/—<0

\X27IWJ

,e2

In一122

22

即证明：一---^-<0<=>x2ln-———lnx7<0=2x；—(x；+e)lnx2<0

e~x2x2x2''

x2

设〃(x)=2f-(%2+e2)lnx,xe(e,-l-oo),则〃(e)=0

12

7?(x)=4x——(x2+e2^-2x\nx=3x--——2x\nx,则〃(e)=0

A(x)=3+--2(1+Inx)=1+—-21nx,则〃(e)=0

XX

单调递减/Jz(x)<A(^)=0

单调递减/./z(A:)<h(e)=0

〃(x)单调递减〃(x)v=0

22

即-(x+e)lnx2<0得证

(^\/

2

・'•/(%)</'—得证，从而有一<=>x]x2>e

(xjx2

例9：已知函数=-,入+m(x+a),其中常数。>0

(1)求〃力的单调区间

(2)已知0<〃<g,若不X2«—a，a)，F工工2，且满足/(xj+f(W)=。，试证明:

/(x,+x2)</(O)

解：(1)定义域“£(-。,+8)

2ax+a2a(x+a)

令/(x)>0即x^ax-(2->oX]=0,x2=———>-a

①x}<x2=>0<a<yf2

X(-a,0)

Ia)<。J

/w+—+

//

②x}=^=>=a=42/(x)20恒成立.,./(力在(一〃,+8)单调递增

③x1>x2=>a>>/2

(2-/、

X-a------(0,+oo)

Iya,Ia)

/«+—+

小）/X/

（2）

思路一：分别用用,工2，〃表示出/（Xj+x2）,并利用/（%1）+/（9）=0进行代换，然后判

斯/（3+超）的符号即可。

解：f（玉+工2）="a一'+----------,/（0）=0,所以只需证明：/（x+x,）＜0

7

2ax}+x2+a

.・./（七）十/（W）=。

，/、./、111111玉+x,211八

/(xj+/(xj=-x.--+—+-x2--+—=---+—+—=0

即％+々=2——!------!_

2axx+ax2+a

只需证f(玉+招)=1+——!---------!........-<0

aa+x1+x2a+X]a+x2

-%）=匕-小J+［一右一.1

a+x1-a(ai.)(aIX]卜巧)玉玉

---------+-----------------------=----------

G+X

a(4+xj(a+X[+/2)(〃+W)a(a+xj(i+x2)(6r+x2)

(〃+%+々)(〃+12)-4(4+工1)

二x\

a(a+%)(a+X]+x2)(a+x2)

22

a+ax2+叫+x[x2+ax2+x1-a-ax^

Q(a+xJ(a+X]+x2)(a+x2)

x

x)x2+20r2+i%+占+2。

〃(a+xJ(4+X+x2)(6f+x2)a(a+xJ(a+X+x2)(iz+x2)

vxpx2£（一。,〃），4£（0,；

X)+a>+a>0,x,+x2+2a>0

若要证/（%+毛）＜0,只需证明：＜0即可

下面判断公起的范围

(X+〃)2-2

八------(~a<x<a)f(x)=-——

u+x+aJ2+2(x+a)2

(x+a)?-2v(a+a)?-2=4/-2<0

单调递减，不妨设用<七v/(0)=0,/(xI)+/(x2)=0

:.-a<xl<0<x2<a与9<0,玉+巧+a=/+(%+a)>0

—_<0得证

a\+x2

•."G+W)v°即不等式f(x,+x2)</(0)得证

思路二：在证明f（%+X,）=--1------------------------＜0时，固定工2（视为,一个参

-aa+x1+x2。*a+x2

数），将a+演作为一个整体视为自变量，构造函数判断/（M+W）符号

解：考虑证明f(%+x,)=1+——--------.......-<0

-a。+$+乙。%a+x2

同思路一判断出/.-a<%1<0<x2<a

令X=4+X]XG(O,67)设g(x)=^+—5--------!—

ax+x2xa+x2

...g(x)=----!—+2-=(少+工匹〉0

22,22

(x+x2)XX(x+x2)

/.g(x)在(0,a)单调递增g(a+玉)vg(a)=。

即/(玉+/)=)+——!--------!.1......-<o不等式得证

a+x}+x2a+x}a+x2

小炼有话说：（1）思路一的方法比较直接，在整理完/（须+工2）后通分判断符号。其中证明

玉+工2>。借鉴了例6的思路，通过单调性将自变量的大小关系转化为函数值的大小关系，

构造函数证明。

(2)思路二为我们提供了一个证明多元不等式的方法：可固定其中一个变量，视其为参数，

以另一个变量作为自变量构造函数，计算出最值，对原表达式进行一次放缩，然后再将先前

固定的变量视为自变量构造函数证明不等式，这种方法也称为调整法

(3)第(3)问中对凡,超范围的判定是一个亮点，利用极值点与单调性来进行判定。此方法

通过图像更为直观，所以在判断变量范围时可以考虑做出草图，然后观察其大概位置，在用

代数语言进行说明和证明。

例10：已知函数f(x)=。一⑪一"其中agwR,e=2.71828...

(1)当l=—。时,求/(x)的极小值

(2)当〃>0,人=一々时，设/(力为/(x)的导函数，若函数/(x)有两个不同的零点玉,工2,

且内<工2，求证：f(3\na)>f\^|%2

Ig+M

解：(1)f^x)=ex-ax+af\x)=ex-a

①当时，/(x)>0恒成立.•./(%)为增函数，无极小值

②当々>0时，令/(x)>0=e'>a,解得x>lna

「./(X)在(-00,Ina)单调递减，在(Ina,+oo)单调递增

/(X)有极小值为/(Ina)=e”"—alna+a=2a-a\na

(2)思路：/(x)=eA-ax+a,可得f(3\na)=a(a2-31na+①，

()yY\2**—z/v-Lz>—Q

fp±2=*+'2-4,考虑减少变量个数。由石,马是零点可得：1,

I芭+/J[e&-ax2+a=0

可得。=巴士，若直接代入不等式消去〃，则不等式过于复杂。且

/(31n6?)>/|2XlX1I之间很难通过变形构造函数，所以考虑分别判断

〃3hw)J的取值直围，寻找它们之间的“中间量”。构造函数

1+^2

p(a)=a2-3\na+\,通过判断单调性可得到p(a)>0,从而/(3hw)>0,而

2演必2孙巧9x,

xx+X2ee

e^-a=e'-t~',不利于通过换元减少变量个数，但观察到

1$+电七一9

2xv_2x+x

r2]2从而

M+W2

%%

内一电必f

于’2XX内+如为-—二

{2<e2-2,可通过换元4二卫二"构造

1「乙2

2XX

函数。(几)，再分析其最值即可得到/12<0,从而通过桥梁“0”证明不等式

3+电,

解：f(x)=ex-axa:.f\x)=ex-a

/./(31n^)=a3-3a\na-\-a=a[cr-31na+1)

2司也

2X,X2

<XI+X2>

•・・/(x)有两个不同的零点和々

_o¥[+a=0ex'-eX2./2/%、迎Xm

Xl+X2_2________

=>a=---------e

—aXy+a=0—x2

考虑：.,./(31na)=4(a2-3]na+i),p(^a)=a2-31n«+l

2m

a+—

/'C32।2

p⑷=2a——,因为a>0

aa

/.p(a)在0,单调递减,,+oo单调递增

|-3畔+1>0

•・P(%n=

/.p(6/)>0/./(31ntz)=a-p(<a)>0

X|-Xjx2-X|

设，二^SA(4>0),则T二再劣62+e2=24+6：―/

2Xj-x224

设a(4)=2/l_/+eT/.a(/l)=2—1一&々=2—(/+；)<0

/.a（2）在（0,+oo）单调递减

综上可得：,f（31na）>0>f

I再

第22炼恒成立问题——参变分离法

一、基础知识：

1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量，另一个视为参数),

可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个

字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围

2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围己知，就将其视为变量，构造关于它

的函数，另一个字母(一般为所求)视为参数。

3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则:

(1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,

则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情

形，此时要考虑其他方法。例如：(*-l)2<10gaX,二小磔>1等

1-X

(2)要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值)，若解析式过

于复杂而无法求出最值(或临界值)，则也无法用参变分离法解决问题。(可参见”恒成立问

题一一最值分析法”中的相关题目)

4、参变分离后会出现的情况及处理方法：(假设x为自变量，其范围设为。，/(x)为函数;

〃为参数，g(。)为其表达式)

(1)若/(X)的值域为[肛M]

①心£。话⑷</(力则只需要g(a)Kf(xL=〃z

VXGD,^(X)</(X),则只需要g⑷</⑴旃=m

②Dx£2g(a)之,则只需要g(a)>11ttx=M