沪教版（上海）九年级第一学期数学期中复习试卷（含答案解析）

沪教版（上海）九年级第一学期数学期中复习试卷

一.选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）

1.己知关于X的二次函数>=『+（4-1）X-4+2,当xv・l时，y随x的增大而减小，则

实数〃的取值范围是（）

A.“23B.a>3C.D.a<3

2.如图，AB//CD,AC、相交于点£AE=I,EC=2,DE=3,则笈。的长为（）

D

9

A-12B.4C.D.6

2

3.如图,在△ABC中,DE"BC、DF//AC,下列各式不正确的是）

ABACAD_AEBC_BABD_AE

=D.

•AD-AE•BD-EC•FC-DADA-EC

4.下列等式正确的有（）

©a+b=b+a«

②（a+b）+c=a+（b+c）；

③W+（・；）=°；

@AB+BC=AC-

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.若二次函数y=/+4x+〃的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是（）

A.1B.3C.4D.6

6.如图，△ABC与△8QE都是等边三角形，点。在AC边上（不与点A,。重合），DE

与A4相交于点居则下列结论不正确的是（）

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A.4BCDsWEFB.ABCD^^DAFC.ABDF^ABADD.ABCD<^/\BDE

二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）

7.当x________时，等式上产一二与L成立

X（X2+5）x

8.科学家发现，某种蝴蝶身体的长度AB与它展开的双翅之间的长度AD之间是黄金

比.如图，蝴蝶展开的双翅之间的长度AD是4cm,则蝴蝶身体的长度为

9.如图，直线。、〃与/|、，2、13分别相交于点A、B、C和点。、E、F.若A8

=5,DE=2,AC=I5.则EF=.

io.如果向量；、石、工满足关系式2卫-3（W+7）="o»那么用向量：、E表示向量q

11.抛物线y=a-3）2・2的顶点坐标是.

12.已知，抛物线），=〃>+2〃a+〃（m>0）上有两点P尺）和Q（什3,）吃）.

（1）此抛物线的对称轴是.

（2）若），|>”，则/的取值范围是.

13.如图，已知点M（a,b）是函数）=-必+工+2图象上的一个动点.若依|<1,则〃的取

第2页共21页

值范围是_______________________

（1）ZADE=°:

（2）线段CE的最大值为

15.如图1,在8c中，NA=90。，AB=AC=2fD,E分别为边48和AC的中点，现

将绕点A自由旋转，如图2,设直线4。与C£相交于点P,当AE_L£C时，线段

PC的长为.

18.在RlZXABC中，NBAC=90°,AC=l,AB=3,A。是边上的中线（如图）.将

△ABC绕着点。逆时针旋转，使点A落在线段A。上的点£处，点8落在点尸处，边

EF与边BC交于点G,那么DG的长是.

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c

D

------------------------

三.解答题(共7小题，满分78分)

19.(1)如图，已知平面内两个不平行的向量三，求作向量。P，使。P=2彳+三

(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论)；

h

(2)如图，4。是△ABC中4c边上的中线，点G是△ABC的重心，胡=:，4。=石,

试用向量a,匕表小向量:AG.

20.已知二次函数y=aP+云+c(〃/0).

(I)若。=-I,且函数图象经过(0,3),(2,・5)两点，求此二次函数的解析式.

(2)在图中画出(1)中函数的大致图象，并根据图象直接写出函数值＞23时，自变量

x的取值范围.

21.二次函数/(x)=加+公+。的自变量x的取值与函数)，的值列表如下:

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X•••-2-10•••234•••

y=fCx)•••-503•••30-5•••

(1)根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标;

(2)请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线y=x」二，并写

出平移后二次函数的解析式.

，CDLAB于点D,AC=3,BC=4,求的长.

23.已知：如图，四边形A8CO的对角线AC、8。相交于点。S^OD=S^BOC-

,1、DOCO

m求证：OB=OA；

»求证：S四边形A8C£)=(k+1)~S.

24.我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，

例如：如图1,四边形ABCD是“等对角四边形“，NANNC,NA=75°,ZD=

NA8C=90°,AB=4.AD

=3,求对角线的长;

(2)已知：如图2,在平面直角坐标系X。)，中，四边形48CO是“等对角四边形”，其

中A(-2,0)、C(2,0)、8(-1,-近)，点。在y轴上，抛物线过点A、C,

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点P在抛物线)，=/+公+c上，满足NAPC=£/4Z)C的点至少有3个时，总有不等式

2〃*<2c2+16a-8点成立，求〃的取值范围.

25.如图，正方形A8CO的边长是6,E,尸分别是直线8C,直线CO上的动点，当点E在

直线8c上运动时，始终保持AE_LER

(1)求证：RtAAZ^E^RtAECF；

(2)当点石在边4c上，四边形ABC〃的面积等于20时，求4E的长；

(3)当点E在直线8。上时，△4EP和能相似吗？若不能，说明理由，若能请直

接写出此时8E的长.

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参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）

1.解：•.1=/+（a-1）x-a+2,

・♦.抛物线开口向上，对称轴为工=掾

・••当XV呼■时，），随.1•的增大而减小,

•・•在xV-1时，），随犬的增大而减小，

•启2-1，

2

解得aW3,

故选：C.

2.解：•・・AB〃C。，

AZA=ZC,NB=ND,

・•・AABEsRCDE,

.AE_BE

••瓦一市

3

2

：.BD=BE+DE=^-3=-^.

故选：C.

3.解：-：DE//BC,

/\ADE^/\ABC,

ABAC

•一故选项人正确,不符合题意,

ADAE

ADAE

•故选项4正确，不符合题意;

-BDEC

EC

•即AE故选项。错误，符合题意；

.DF//■DAAC,

：./\BDF^/\BAC,

第7页共21页

.BCJBA

••萨丽

・•・整笔，故选项C正确，不符合题意；

rCDA

故选：。.

4.解：①a+b=b+a，正确；

②（a+b）+c=a+（b+c），正确；

③工+（・W）=°，错误应该等于柞

④屈+灰=菽•正确•

故选:B.

5.解：根据题意得△=42・4〃=0,

解得〃=4,

故选：C.

6.解：•••△A/3C与△8QE都是等边三角形，

；・NABC=NEBD=NA=NC=NE=NEDB=60°,

・•・ZABE=ZCBD,

・•・△BCDsABEF,故选项A不合题意；

・•・NBDC=NBFE,

:,NBDC=ZAFD=4BFE,/ADB=NBFD,

又・・・NC=NA,

:.XBCDsXDAF,故选项8不合题意，

VZADB=ZBFD,NA=NBDE=60°,

:.丛BDFS^BAD,故选。不合题意，

故选：D.

二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）

2X2-XX（2X-1）

7.解：,・・一£^——=~>

x（X2+5）X（X'+5）

而等式/xjx.二与工成立，

x（x+5）x+5

・・・杼0.

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故答案为wo.

8.解：由题意得，AB：4=1二1,

2

解得：x=2j^-2比2.5（cm）,

故答案为：2.5.

9.解：・.・/|〃/2〃/3，

.AB_DE

••而一犷

\*AB=5fDE=2,AC=I5,

._5___2_

••15-DF'

解得：OF=6,

:・EF=DF-DE=4,

故答案为：4.

10.解：V2-3（；+；）=0，

,2b・3a・3x=0,

，3x=2b-3a

-*2--

x=^b~a-

故答案为：b-a-

J

11.解：抛物线y=（x-3）2・2的顶点坐标是（3,-2）.

故答案为（3,-2）.

12.解：（1）,/抛物y=nv^+2mx+n（m>0）,

・•・对称轴为直线x=-杂=7；

2m

（2）*.*抛物线y=〃?/+2心+〃（m>0）中，加>0,

・•・抛物线开口向上，

.・•抛物线）=〃小+2〃优+“（〃〉0）上有两点尸（6y\）和Q（/+3,先），且力〉党,

・•丹〈7.

解得/<-"I",

故答案为：，<-

13.解：函数y=-f+x+2中，令y=0,贝iJ-f+x+2=U,

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解得了=-1或2,

・••抛物线与x轴的交点为(7,0),(2,0),

.・,点M(a,b)是函数y=-f+x+2图象上的一个动点.|a|Vl,

；・-

C1O9

•.・),=-#+/2=-(X--)2+-,

“24

*,•当”=£■时，有最大道?，

24

:.b的取值范围是

4

故答案为

14.解：(1)•••△ABC是等边三角形,

/.Z«=ZC=60°,

v,,AB_CD

•丽五’

...△八BOS2XOCE,

：.ABAD=ZCDE,

ZADC=ZB+ZBAD=ZADE+ZCDE,

••・NAOE=NB=60°,

故答案为：60；

m__CD

•丽F'

Q

._CD-BD_(3-BD)・BD_-(BDW)/9

.・CE=~^=-3—=——

・•・当时，CE有最大值为年，

故答案为：~.

4

15.解：•••△AOE绕点A自由旋转，

・•・有以下两种情况：

①当点E在AC的右侧时，AELCE,如图:

第10页共21页

A

P

D

-------------------------

由旋转的性质得：ZDAE=ZBAC=9()°,

：,ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZCAE=9()°,

：.ZBAD=ZCAE,

•：AB=AC=2tD,E分别为边AB和AC的中点,

.\AD=AE=1,

在△A3。和△ACE中，

<AB=AC

<ZBAD=ZCAE，

AD=AE

•••△AB。gZXACE(SAS),

・・・NAO8=NAEC=9(r,

・・・NA。尸=ND4E=NAEC=90°,

・•・四边形AEPO为矩形，

又AD=AE=1,

，矩形AEPD为正方形，

・•・PE=AE=I,

在RlzMEC中,AE=[,AC=2fNAEC=90°,

由勾股定理得：CE=VAC2-AE2=V3»

•••PC=CE-PE=V3-1：

②当点E在AC的右侧时，AEA.CE,如图:

同理可证：△ABD2ACE(SAS),四边形AEP。为正方形,

:・BD=CE,PE=AE=1,

在Rt△48。中，40=1,AB=2fZADB=90°,

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由勾股定理的：BDHAM-AD?二后

：,CE=BD=V3>

•*«PC=CE+PE=V3+1-

综上所述：当AE_L£C时，线段PC的长为«-1或A四+1.

答案为：逐-1或«+1.

16.解:3(2a-4b)-5<a+b>

=6a-12b-5a-5b

=^-17b-

故答案为工-173

17.解：•:△ABCs/\CBD,

,ABCB

••二一，

CBDB

：,CB2=ABBD=24,

，CB=2近，

故答案为：2^6,

18.解：如图，过点。作C”L4。于“，过点。作。MLE产于N,

•・・NBAC=90°,AC=\,AB=3,

^C=VAC2+BC2=>/T+9=VTO»

•・・A。是8C边上的中线，

：.AD=CD=BD=^^~,

2

Z.ZDAC=ZDCAt

•・・NZMC=90°=/CHA,

・•・ZDAC+ZACH=90°=/DCA+NB,

：,ZB=ZACH,

.*.sinfi=sinZAC//=-^-=^-,

AbBC

.XVAC>AC1X1V10

BCV1010

VtanB=tanZACH=-^-

ABCH3

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・・.CH=3A”=3四,

10

•・•将△ABC绕着点C逆时针旋转，

：.CE=AC=\,/CEF=/BAC=90°,

：.AH=AE=^^-,NCEH+NDEN=90°,

10

:.DE=AD-AH-1①-义迈-义应-3710

2101010

•；/CEH+NHCE=90°,

：.ZHCE=ZDEN,

又•：/CHE=/DNE=9O0,

,ACEHs^EDN,

.CE=jffi

**DE-DN

10DN

,3=1?

VNCEG=NDNG,ZDGN=ZCGE,

•••△CGES^OGM

33

ADG_DN_10

福而丁10

,:CG+DG=CD=^^~

2

3

,\DG=^；

26

三.解答题（共7小题，满分78分）

19.解：（1）画图正确13分）（方法不限）结论（1分）；

第13页共21页

作丽=2g而=E，

则。夕即为所求；

（2）:4。是△ABC中BC边上的中线，点G是△ABC的重心，朋=[，BC=fe,

•：BD=1BC=^口分）

：,AD=BD-BA=^~a，（2分）

221T--1-*21

:^G=—AD=­（—b-）=-b-^a-（3分）

JJ/aoo

a=-l

20.解：（1）由题意可得：＜c=3

4a+2b+c=_5

a=T

解得,b=-2»

c=3

，抛物线的解析式为：），=・f・2x+3；

（2）如图,

当y=3时，3=-x2-2x+3,

/.X]=0,X2=-2,

由图象可得：当-2W5W0时，），23.

21.解：（1）把（-1,D）,（0,3）,（3,。）分别代入y=ax1+bx+c（aRU）中，得

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a-b+c=O

«c=3

9a+3b+c=0

a=-l

解得.b=2・

c=3

则该二次函数的解析式为：y=-A2+2I-+3,

•・•），=-/+法+3=-（x-1）2+4,

・•・顶点的坐标为（1,4）；

（2）•・•二次函数=a/+A+c,的顶点坐标（I,4）；

・••二次函数图象向右平移3个单位后抛物线的顶点为（4,4）或向下平移3个单位后抛

物线的顶点为（1,1）落在直线y=x上，则此时抛物线的解析式为：y=-（x-4）2+4

或尸-（X-1）2+1.

22.解：'：ZACB=90°.AC=3,8c=4.

22

3+4=5,

•・,△ABC的面积=LBXCD=—ACXBC,

・・.CQ=A^T，

AB5

.•・^=7AC2-CD2=^32-（y-）2=p

VZ4CB=ZCED=90°,

AZAED=90°=ZACB,

•・•NA=NA,

・•・△AOEs/^ABC,

,第喏,即乎立

BCAB4F

D

解得：£。=碧.

Zb

23.证明：(1)SMOD=S4BOC，

工SMOD+SMOB=S温叱5MOB，即S^ADB=SMCB^

：.CD//AB,

:.△DOCSRBOA,

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.DOCO

•而领

(2),:△DOCSXBUA

.CDDOCO,严二蠕）2=上

ABBOAOUAAOB比5

:,DO=kOB,CO=kAO,SACOD=ICS,

***SMOD=kS&OAR=kS,S^cOB=kSaOAR=kS,

S网边形ABCD=S+kS+kS+k^S=(4+1)2s.

24.(1)①如图1,ZB=ZD=90°时延长AO,BC交于点E,

B

图1

VZDA«=60°，

・・・NE=30°,

又・.・48=4,AD=3

：.BE=^[3,AE=8,DE=5,

：.CE=——BC=W5-弛巨=汉1,

cos303、33

••・心，42+(^^=^^；

YJo

②如图，NA=NC=60°时，过。分别作OEJ_AB干E,DFLBC于点、F,

第16页共21页

VZDAfi=ZBCD=60°,

又,.・45=4,AD=3,

：.AE=—,OE=B尸巨，

22

5

：.BE=DF=—,

_2

,心一5^35®3愿773

6623

V33

综上，名。=&^或迤I；

33

(2)VA(-2,0)、C(2,0)、8(-1,-“),

，A8=2,8C=2j§,AC=4,

：,AB2+BC2=AC2,

・・・/A8c=90°,

a：AD=CD,ABWBC,

：.ZBAD^ZBCD,

•・•四边形ABC。是“等对角四边形”，

ZADC=ZABC=9Q°,

：,D(0,2),

•・•抛物线y=cur+bx^c过点A、C,

.\y=a(x+2)(x-2)=苏-4a,

即：。=-3c,令，=2/+164-8^/5，

则t=2c2-4c-8近，

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以。(0.2)为圆心，AD长为半径作G)。，以。'((),-2)为圆心，A。长为半径作

如图所示，O。交y轴正半轴于点E,交'轴负半轴于点F.

当点P在优弧AEC和优弧AFC上时，ZAPC=^ZADC,当抛物线过E点时满足题意

的P点有3个，

此时，c=OE=OD+ED=2+2&,

当满足的P点至少有3个时，c22+2近，

当c22+2近时，f=2c2-4c-8衣216,