第06讲 函数的图象（九大题型）（讲义）（解析版）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第06讲函数的图象目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：掌握基本初等函数的图像 4知识点2：函数图像作法 4解题方法总结 6题型一：由解析式选图（识图） 7题型二：由图象选表达式 9题型三：表达式含参数的图象问题 13题型四：函数图象应用题 18题型五：函数图象的变换 21题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值 24题型七：利用函数的图像解不等式 27题型八：利用函数的图像求恒成立问题 30题型九：利用函数的图像判断零点的个数 3404真题练习·命题洞见 3905课本典例·高考素材 4206易错分析·答题模板 45易错点：图像的变换问题 45答题模板：图像的变换问题 45

考点要求考题统计考情分析（1）函数图像的识别（2）函数图像的应用（3）函数图像的变换2023年天津卷第4题，5分2022年天津卷第3题，5分2022年全国乙卷第8题，5分2022年全国甲卷第5题，5分基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是研究函数性质的重要工具．高考中总以一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年必考内容之一．复习目标：（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.（2）会画简单的函数图象.（3）会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

知识点1：掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．【诊断自测】函数的图象是下列的（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，解得：，故B错误.，则函数为奇函数，故C，D错误；故选：A.知识点2：函数图像作法1、直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．2、图像的变换（1）平移变换①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；（2）对称变换①函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于坐标原点对称；②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．⑤函数与的图像关于对称．（3）伸缩变换①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到．②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到．【诊断自测】若函数的定义域为，则函数与的图象关于（

）A．直线对称 B．直线对称C．直线对称 D．直线对称【答案】C【解析】因为函数的图象是的图象向右平移1个单位得到的，的图象是的图象也向右平移1个单位得到的；又因为与的图象是关于轴（直线）对称，所以函数与的图象关于直线对称.故选：.解题方法总结（1）若恒成立，则的图像关于直线对称．（2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称．（3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称．（4）函数与函数的图象关于直线对称．（5）函数与函数的图象关于直线对称．（6）函数与函数的图象关于点中心对称．（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．题型一：由解析式选图（识图）【典例1-1】（2024·安徽淮北·二模）函数的大致图像为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由可知，，即，显然该函数定义域关于原点对称，由可知，函数为奇函数，排除B,

D两项，又，排除A项，故C项正确.故选：C.【典例1-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，故排除选项C；当时，，故排除选项B；令，则在上恒成立，函数在区间上是奇函数，其函数图象关于原点对称，故排除选项D，A选项正确.故选：A.【方法技巧】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案.【变式1-1】（2024·天津·二模）研究函数图象的特征，函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】定义域为，即定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD，注意到当时，有，即，此时函数图象位于轴下方，故排除A，经检验B选项符合题意.故选：B.【变式1-2】（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（

）A．B． C． D．【答案】A【解析】，因为当时，都为增函数，所以，在上单调递增，故B，C错误；又因为，所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.故选：A题型二：由图象选表达式【典例2-1】（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于选项A：因为，与图象不符，故A错误；对于选项B：因为，与图象不符，故B错误；对于选项C：因为，与图象不符，故C错误；故选：D.【典例2-2】（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于B，当时，，易知，，则，不满足图象，故B错误；对于C，，定义域为，又，则的图象关于轴对称，故C错误；对于D，当时，，由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；检验选项A，满足图中性质，故A正确.故选：A.【方法技巧】1、从定义域值域判断图像位置；2、从奇偶性判断图像的对称性；3、从周期性判断图像循环往复；4、从单调性判断大致变化趋势；5、从特殊点排除错误选项．【变式2-1】（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且，对于A，，为偶函数，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，为奇函数，当时，，因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确；对于D，当时，，，所以时，，单调递增，当时，，单调递减，故D错误，故选：C.【变式2-2】（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；由图可知，当时，，而对于D选项，当时，，故排除D.故选：A.【变式2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由图象可得函数为偶函数，且，，当且仅当时，，对于A，因为，，所以函数是偶函数，又，，则，所以函数在上单调递增，所以，故解析式可能为A，故A正确；对于B，由，不合题意，故B错误；对于C，因为，所以且，所以函数是非奇非偶函数，故C错误；对于D，由，不合题意，故D错误.故选：A.题型三：表达式含参数的图象问题【典例3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合；对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则.又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B,D项均符合.故选：C.【典例3-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】选项A，B，C：由题意知，令，解得或或，由题图可知函数的一个极值点位于区间，因此，又，所以，故，因此A，B正确，C错误.选项D：由题图可知，若取，则，解得，因此D错误.故选：AB【方法技巧】根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系，以得出正确选项．【变式3-1】（多选题）（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由题意可知，函数的定义域为，当时，，函数在上单调递增，故B正确；当时，，，所以在上单调递增，故D正确；当时，当时，；当时，；故A正确；C错误.故选：ABD.【变式3-2】（多选题）函数的大致图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】当时，是偶函数，当时，为减函数，此时对应图象可能是C；当时，，令得，为非奇非偶函数，且，令其对应方程的，设其对应方程的两根分别为，，，所以，，，，，，即函数在和上单调递减，在上单调递增，由单调性判断此时对应图象可能是B；当时，为非奇非偶函数，在处无定义，取时且单增，时且单增，时单增，此时对应图象可能是D；对于A，由于图象无间断点，故，但此时在上不可能恒正，故选：BCD.【变式3-3】（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【解析】因为，所以，解得，故定义域为.，，因为时，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增.当时，，此时为奇函数，故选项B正确；当时，，易知其图像为选项D，故选项D正确.当时，由，得，又，所以，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，综上可知，在区间上不严格单调递减，故选项A不正确；当时，，此时为偶函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C正确，故选：BCD.【变式3-4】（多选题）函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】①当时，，当时，是定义在R上的奇函数，当时，，，函数在上递减，在上递增，因此在上递增，在上递减，A可能；当时，是定义在上的奇函数，当时，，，函数在上递增，则在上递增，当时，，同理在上递增，B可能；②当时，的定义域为，，为偶函数，若时，当时，（注意），当时，，则C不可能；若时，当时，，当时，，则D可能.故选：ABD题型四：函数图象应用题【典例4-1】如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】由题意可得，，故，由此可排除C、D；当时点在边上，，，所以，可知时图像不是线段,可排除A，故选B．故选：B.【典例4-2】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（

）A． B．C． D．E．均不是【答案】A【解析】当点在上时，，当点在上时，，当点在上时，，其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.故选：A.【方法技巧】（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．【变式4-1】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得，设等边的边长为，且，其中，可得，又由的面积为，可得，且，则的面积为，令，其中，可得，所以为单调递增函数，又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值，所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，结合选项，可得选项C符合题意.故选：C.【变式4-2】（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，是一条过原点的线段；当时，，是一段平行于轴的线段；当时，，图象为一条线段.故选：A．题型五：函数图象的变换【典例5-1】（2024·北京西城·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数为，则函数的图象再关于轴对称得函数.故选：D.【典例5-2】（2024·辽宁·三模）已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，所以，即，将的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式，因为所得图象恰好与函数的图象重合，所以，所以，又且，解得，故选：D【方法技巧】熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.【变式5-1】（2024·江西赣州·二模）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.【变式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称【答案】A【解析】因为，所以，即的图象关于原点对称，函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以函数的图象关于点对称.故选：A.【变式5-3】已知函数的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图知，将的图象关于轴对称后再向下平移个单位即得图2，又将的图象关于轴对称后可得函数，再向下平移个单位，可得所以解析式为，故选：C.题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数.若，，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】画出的图象如下图所示，令，则，且，则，所以且，所以，当时，取得最小值为．故选：D.【典例6-2】用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在一个坐标系中画出的图像，从左到右，取横坐标对应的纵坐标小的点构成新的图像，如图：其中A点，即与的交点，其纵坐标即为所求联立，解得，函数的最大值为3故选：C.【方法技巧】利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想．【变式6-1】已知，设函数在区间上的最大值为.若，则正实数的最大值为.【答案】【解析】画出的图象如下：故，由图象可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，，则①，故只需要②，将①代入②得，化简得，解得，故正实数的最大值为.故答案为：【变式6-2】对，，记，则函数的最小值为．【答案】/1.5【解析】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值，作函数与函数的图象如下，由图象可知，令，得或，故当时，的最小值为．故答案为：．题型七：利用函数的图像解不等式【典例7-1】已知函数，则满足的的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则或，解得或或.令，则或，解得或.画出函数图象的草图（如图），得满足的的取值范围为.故选:D.【典例7-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意当时,，当时,,作出函数的图象如图，在同一坐标系中作出函数的图象，由图象可得不等式解集为，故选：C【方法技巧】利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案.【变式7-1】已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则即为，当时，，故无解，当时，即为，在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图，由图可得当且仅当时，，综上所述，的解为，又，所以，当时，，故，解得：，所以，当时，，故，解得：，所以，综上所述，不等式的解集是.故选：D.【变式7-2】（2024·高三·江西·期中）已知函数，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题知在同一坐标系下画出，图象如下所示：由图可知的解集为.故选：A.题型八：利用函数的图像求恒成立问题【典例8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，令，作出图象，如图所示，令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有，当时，，由，消得到，由，得到，即，由图可知，故选：B.【典例8-2】已知函数设若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知，令，函数的图象如图所示，当函数的图象经过点时，得.当的图象与的图象相切时，由，得，结合图形，由得.若不等式在R上恒成立，当时，需满足，即，当时，需满足，即，所以，所以实数a的取值范围为.故选：B.【方法技巧】先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围．【变式8-1】已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时,,因为,且时,,所以;当时,,所以;因为,当时,,所以;所以,得,由此做出函数图像得:当时,,解得或,结合图像得的解为:或,因为,都有,所以.故选:B.【变式8-2】（2024·河南新乡·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为当时，；，所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.当时，，，故当时，对任意，不成立，当时，，同理当时，，以此类推，当时，必有.函数和函数的图象如图所示：因为当时，，令，解得，（舍去），因为当时，成立，所以.故选：A.题型九：利用函数的图像判断零点的个数【典例9-1】（2024·高三·重庆渝中·期中）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得有两个不相等的实数根，令，当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，当时，恒成立，当时，，则，当时，，单调递增，且，画出的图象如下：要想有两个不相等的实数根，则，故有两个不相等的实数根，则.故选：A【典例9-2】设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，设函数，令，即，所以问题转化为，有3个交点；在坐标系内，作出函数的图像如下所示，结合图象可知，，故实数的取值范围为.故选：B【方法技巧】利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数．【变式9-1】设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，函数单调递增，函数值集合为，当时，函数单调递减，函数值集合为，当时，函数单调递增，函数值集合为，作出函数的图象与直线，如图，观察图象知，当时，函数的图象与直线有3个交点，所以有三个不同的实数根，实数的取值范围是.故选：C【变式9-2】（多选题）已知，若恰有3个零点，则的可能值为（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】AD【解析】由得，作出函数，|的图像，如图所示．当，满足条件，当时，此时与有三个交点，故符合条件的满足或．故选：AD【变式9-3】已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令函数，显然函数在上单调递增，而，则当时，，当时，，于是函数，则，令函数，由，得，因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，所以函数有两个零点，实数的取值范围是.故选：A【变式9-4】（2024·高三·广东江门·开学考试）定义函数,若至少有3个不同的解,则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解:由题知,记,所以图象为图象靠下的位置,因为,有两个根,分别为或,若至少有3个不同的解,则有一个解或者两个解,即,解得或,当时,,所以对称轴为,若至少有3个不同的解,画大致图象如下:根据图象则需满足,即,解得;当时,,所以对称轴为,此时大致图象如下:根据图象则需满足,即,解得,又因为,故,当时,,解得根为-1,因为的根为-1,1,此时的根为-1,1,不满足有三个根,故舍去,综上:.故选:B1．（2023年天津高考数学真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D2．（2022年新高考天津数学高考真题）函数的图像为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.3．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.4．（2020年北京市高考数学试卷）已知函数，则不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.1．已知函数.（1）求函数的解析式；（2）利用信息技术，画出函数的图象；（3）求函数的零点（精确度为0.1）【解析】（1）由题意得：（2）函数图象如下图所示：（3）由图象可知，函数分别在区间和区间内各有一个零点取区间的中点，用计算器可算得

再取的中点，用计算器可算得

同理可得：，因为原方程在区间内的近似解可取为同理可求得函数在区间内的零点可取为函数满足精确度的零点为或2．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函