《北京交通大学信号与系统》课件

北京交通大学信号与系统欢迎来到北京交通大学信号与系统课程的课件！本课程旨在为学生提供信号与系统领域的基础知识和核心概念。通过本课程的学习，学生将掌握信号的表示、分析和处理方法，以及系统的建模、分析和设计技术。本课件将涵盖信号与系统的基本理论、常用工具和实际应用，帮助学生建立扎实的理论基础和解决实际问题的能力。课程简介课程概述本课程系统地介绍信号与系统的基本概念、理论和分析方法。内容涵盖连续时间和离散时间信号与系统的时域、频域分析，以及拉普拉斯变换和Z变换等重要工具。课程注重理论与实践相结合，通过案例分析和实验环节，培养学生运用所学知识解决实际工程问题的能力。课程特色本课程强调基础理论的系统性，同时注重与现代信息技术的结合。课程内容紧跟学科发展前沿，引入最新的研究成果和应用案例。教学方法灵活多样，采用课堂讲授、讨论、实验和课程设计等多种形式，激发学生的学习兴趣和创新能力。课程目标1知识目标掌握信号与系统的基本概念、分类和特性；理解连续时间和离散时间信号的时域、频域分析方法；熟悉拉普拉斯变换和Z变换的定义、性质和应用；掌握线性时不变系统的分析和设计方法。2能力目标具备运用信号与系统理论分析和解决实际问题的能力；能够使用MATLAB等工具进行信号与系统的建模、仿真和分析；能够设计简单的信号处理系统和控制系统；培养学生的创新思维和工程实践能力。3素质目标培养学生严谨的科学态度和团队合作精神；提高学生的自主学习能力和解决问题的能力；培养学生的工程伦理意识和社会责任感；提高学生的沟通表达能力和终身学习能力。预备知识高等数学微积分、线性代数、常微分方程等数学知识是学习信号与系统的基础。需要熟练掌握函数的导数、积分、极限等概念，以及矩阵运算、特征值、特征向量等方法。电路分析电路的基本元件、电路定律、电路分析方法等知识是理解系统概念的重要基础。需要掌握电阻、电容、电感等元件的特性，以及基尔霍夫定律、叠加定理、戴维宁定理等方法。复变函数复数的概念、运算、复变函数的导数、积分等知识是理解傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换等工具的基础。需要掌握复数的表示方法、复变函数的解析性、留数定理等内容。课程内容概述信号的基本概念信号的定义、分类、表示方法；常用信号的时域特性和频域特性；信号的运算和变换。系统的基本概念系统的定义、分类、表示方法；系统的线性、时不变性、因果性、稳定性等性质；系统的时域响应和频域响应。信号与系统的分析方法傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换等工具的定义、性质和应用；卷积、相关等运算的定义、性质和应用；系统的稳定性分析和频率响应分析。信号与系统的重要性理论基础信号与系统是电子、通信、控制等领域的重要理论基础。它为理解和设计各种信号处理系统和控制系统提供了基本的框架和工具。应用广泛信号与系统广泛应用于图像处理、语音识别、通信系统、自动控制、生物医学工程等领域。几乎所有的现代科技都离不开信号与系统的理论和技术。工程实践掌握信号与系统的知识和技能，可以为工程师们提供解决实际问题的思路和方法。例如，设计滤波器、分析系统稳定性、优化控制算法等。什么是信号？信号的定义信号是携带有信息的函数，它可以是时间的函数，也可以是其他变量的函数。信号可以是电信号、光信号、声信号等各种物理量的变化。信号的描述信号可以用数学公式、图形、表格等方式来描述。例如，正弦信号可以用正弦函数来描述，图像信号可以用像素矩阵来描述，语音信号可以用波形图来描述。信号的分类：连续时间信号1定义连续时间信号是指在连续时间范围内都有定义的信号。例如，正弦信号、指数信号等。2特点连续时间信号的幅值在任意时刻都可以取值；连续时间信号可以用连续函数来描述。3应用连续时间信号广泛应用于电路分析、控制系统、通信系统等领域。信号的分类：离散时间信号定义离散时间信号是指在离散时间点上有定义的信号。例如，采样信号、数字信号等。特点离散时间信号的幅值只在离散时间点上才能取值；离散时间信号可以用序列来描述。应用离散时间信号广泛应用于数字信号处理、图像处理、语音识别等领域。什么是系统？系统的定义系统是指将输入信号转换为输出信号的装置或过程。系统可以是物理系统，也可以是数学模型。系统的描述系统可以用数学方程、框图、状态空间方程等方式来描述。例如，线性时不变系统可以用传递函数来描述，控制系统可以用状态空间方程来描述。系统的分类：线性系统1定义线性系统是指满足叠加性和齐次性的系统。叠加性是指当输入信号是多个信号的线性组合时，输出信号也是对应输出信号的线性组合。齐次性是指当输入信号乘以一个常数时，输出信号也乘以相同的常数。2特点线性系统可以用线性微分方程或线性差分方程来描述；线性系统的分析和设计相对简单。3应用线性系统广泛应用于电路分析、控制系统、通信系统等领域。系统的分类：时不变系统定义时不变系统是指当输入信号经过一个时间延迟后，输出信号也经过相同的时延，而形状保持不变的系统。特点时不变系统可以用常系数微分方程或常系数差分方程来描述；时不变系统的分析和设计相对简单。应用时不变系统广泛应用于电路分析、控制系统、通信系统等领域。系统的性质：因果性定义因果系统是指输出信号只取决于当前和过去的输入信号，而不取决于未来的输入信号的系统。现实世界中的系统通常都是因果的。判断判断一个系统是否是因果的，需要分析其输出信号与输入信号之间的关系。如果输出信号取决于未来的输入信号，则该系统不是因果的。重要性因果性是系统设计中需要考虑的重要因素。非因果系统在现实中无法实现，因此在系统设计中必须保证系统的因果性。系统的性质：稳定性定义稳定性是指当输入信号是有界的时，输出信号也是有界的。一个稳定的系统不会因为输入信号的微小变化而产生剧烈的输出信号。判断判断一个系统是否稳定，需要分析其传递函数的极点。如果所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。重要性稳定性是系统设计中需要考虑的重要因素。不稳定的系统会产生无界的输出信号，导致系统崩溃。因此在系统设计中必须保证系统的稳定性。信号的时域分析定义时域分析是指在时间域内分析信号的特性。例如，分析信号的幅值、频率、相位等。方法时域分析的方法包括观察波形、计算统计量（如均值、方差）、计算相关函数等。应用时域分析广泛应用于信号检测、信号识别、信号分类等领域。单位冲激信号1定义单位冲激信号是指在t=0时刻幅值为无穷大，积分值为1的信号。单位冲激信号通常用δ(t)表示。2性质单位冲激信号具有抽样性质，即任何信号与单位冲激信号的卷积等于该信号本身。单位冲激信号的傅里叶变换为1。3应用单位冲激信号广泛应用于系统分析、系统建模、信号处理等领域。单位阶跃信号定义单位阶跃信号是指在t≥0时刻幅值为1，在t<0时刻幅值为0的信号。单位阶跃信号通常用u(t)表示。性质单位阶跃信号是单位冲激信号的积分。任何信号与单位阶跃信号的卷积等于该信号的积分。应用单位阶跃信号广泛应用于系统分析、系统建模、信号处理等领域。指数信号定义指数信号是指幅值随时间呈指数规律变化的信号。指数信号可以是实指数信号，也可以是复指数信号。性质指数信号的傅里叶变换是简单的有理函数。指数信号广泛应用于电路分析、控制系统、通信系统等领域。应用指数信号广泛应用于电路分析、控制系统、通信系统等领域。正弦信号定义正弦信号是指幅值随时间呈正弦规律变化的信号。正弦信号是最基本的信号之一，可以用来合成各种复杂的信号。性质正弦信号的傅里叶变换是冲激函数。正弦信号广泛应用于电路分析、控制系统、通信系统等领域。应用正弦信号广泛应用于电路分析、控制系统、通信系统等领域。例如，交流电源、无线电信号等都是正弦信号。信号的运算：时移定义时移是指将信号在时间轴上平移。时移不会改变信号的形状，只会改变信号的起始时间。数学表示如果信号为x(t)，则时移后的信号为x(t-t0)，其中t0为时移量。如果t0为正，则信号向右平移；如果t0为负，则信号向左平移。信号的运算：尺度变换1定义尺度变换是指将信号在时间轴上压缩或扩展。尺度变换会改变信号的频率和时间长度。2数学表示如果信号为x(t)，则尺度变换后的信号为x(at)，其中a为尺度变换因子。如果a>1，则信号被压缩；如果a<1，则信号被扩展。3应用尺度变换广泛应用于信号处理、图像处理、语音处理等领域。例如，变调、变速等都是尺度变换的应用。信号的运算：反褶定义反褶是指将信号在时间轴上反转。反褶不会改变信号的幅值，只会改变信号的时间顺序。数学表示如果信号为x(t)，则反褶后的信号为x(-t)。应用反褶广泛应用于信号处理、图像处理、语音处理等领域。例如，卷积运算中就需要进行反褶操作。系统的时域分析目的通过分析系统在时域内的响应，了解系统的特性。例如，分析系统的稳定性、响应速度、超调量等。方法常用的时域分析方法包括计算单位冲激响应、单位阶跃响应、频率响应等。应用时域分析广泛应用于系统设计、系统优化、系统控制等领域。例如，设计控制器、调整系统参数等。线性时不变系统的响应单位冲激响应线性时不变系统的单位冲激响应是指系统对单位冲激信号的响应。单位冲激响应包含了系统的所有信息，可以用来计算系统对任意输入信号的响应。卷积线性时不变系统对任意输入信号的响应等于输入信号与单位冲激响应的卷积。卷积是线性时不变系统分析的重要工具。应用线性时不变系统的响应分析广泛应用于电路分析、控制系统、通信系统等领域。例如，分析滤波器的频率响应、计算控制系统的输出信号等。卷积的定义连续时间信号的卷积连续时间信号x(t)和y(t)的卷积定义为：(x*y)(t)=∫x(τ)y(t-τ)dτ，其中积分范围为负无穷到正无穷。离散时间信号的卷积离散时间信号x[n]和y[n]的卷积定义为：(x*y)[n]=∑x[k]y[n-k]，其中求和范围为负无穷到正无穷。卷积的性质1交换律x*y=y*x，即卷积运算满足交换律。2结合律(x*y)*z=x*(y*z)，即卷积运算满足结合律。3分配律x*(y+z)=x*y+x*z，即卷积运算满足分配律。4时移性如果x(t)*y(t)=z(t)，则x(t-t1)*y(t-t2)=z(t-t1-t2)。卷积的计算方法图解法通过图形的方式直观地计算卷积。图解法适用于简单的信号，可以帮助理解卷积的物理意义。列表法将信号的值列成表格，然后按照卷积的定义进行计算。列表法适用于离散时间信号的卷积。公式法利用卷积的定义公式直接进行计算。公式法适用于具有简单表达式的信号。MATLAB使用MATLAB等工具进行卷积计算。MATLAB提供了强大的信号处理功能，可以方便地计算各种信号的卷积。傅里叶变换作用傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的工具。通过傅里叶变换，可以分析信号的频谱特性，了解信号中包含的各种频率成分。应用傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、语音处理、通信系统等领域。例如，分析信号的频谱、设计滤波器、进行信号解调等。核心理解傅里叶变换的定义、性质和应用，是学习信号与系统的关键。傅里叶变换的定义连续时间傅里叶变换(CTFT)对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换定义为：X(ω)=∫x(t)e^(-jωt)dt，其中积分范围为负无穷到正无穷。离散时间傅里叶变换(DTFT)对于离散时间信号x[n]，其傅里叶变换定义为：X(ω)=∑x[n]e^(-jωn)，其中求和范围为负无穷到正无穷。逆变换傅里叶变换具有逆变换，可以将信号从频域转换回时域。逆变换的公式与正变换类似。傅里叶变换的性质1线性性傅里叶变换满足线性性，即多个信号的线性组合的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换的线性组合。2时移性信号在时域上的时移对应于其傅里叶变换在频域上乘以一个复指数因子。3尺度变换性信号在时域上的尺度变换对应于其傅里叶变换在频域上进行尺度变换和幅值调整。4对偶性时域信号和频域信号之间存在对偶关系。如果x(t)的傅里叶变换为X(ω)，则X(t)的傅里叶变换为2πx(-ω)。常用信号的傅里叶变换单位冲激信号单位冲激信号的傅里叶变换为1。单位阶跃信号单位阶跃信号的傅里叶变换为1/(jω)+πδ(ω)。正弦信号正弦信号的傅里叶变换为π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]，其中ω0为正弦信号的频率。指数信号指数信号的傅里叶变换为1/(a+jω)，其中a为指数信号的衰减系数。傅里叶变换的应用：频谱分析频谱分析频谱分析是指利用傅里叶变换分析信号的频谱特性。通过频谱分析，可以了解信号中包含的各种频率成分及其幅值和相位。信号识别不同的信号具有不同的频谱特性。通过分析信号的频谱，可以识别信号的类型和特征。噪声抑制噪声通常具有一定的频谱特性。通过分析噪声的频谱，可以设计滤波器来抑制噪声，提高信号的质量。连续时间傅里叶变换(CTFT)定义CTFT用于分析连续时间信号的频谱特性。它将信号分解成不同频率的正弦波，并计算每个频率的幅值和相位。公式X(ω)=∫x(t)e^(-jωt)dt，其中x(t)为连续时间信号，X(ω)为其傅里叶变换，ω为频率。应用CTFT广泛应用于电路分析、控制系统、通信系统等领域。例如，分析滤波器的频率响应、计算控制系统的输出信号等。离散时间傅里叶变换(DTFT)1定义DTFT用于分析离散时间信号的频谱特性。它将信号分解成不同频率的复指数信号，并计算每个频率的幅值和相位。2公式X(ω)=∑x[n]e^(-jωn)，其中x[n]为离散时间信号，X(ω)为其傅里叶变换，ω为频率。3应用DTFT广泛应用于数字信号处理、图像处理、语音处理等领域。例如，设计数字滤波器、进行图像压缩、进行语音识别等。拉普拉斯变换作用拉普拉斯变换是将信号从时域转换到复频域的工具。通过拉普拉斯变换，可以分析信号和系统的稳定性、因果性等特性。应用拉普拉斯变换广泛应用于电路分析、控制系统等领域。例如，分析电路的稳定性、设计控制器的传递函数等。核心理解拉普拉斯变换的定义、性质和应用，是学习信号与系统的关键。拉普拉斯变换的定义单边拉普拉斯变换对于连续时间信号x(t)，其单边拉普拉斯变换定义为：X(s)=∫x(t)e^(-st)dt，其中积分范围为0到正无穷，s为复变量。收敛域拉普拉斯变换的收敛域是指使得积分收敛的s的取值范围。收敛域对于拉普拉斯变换的唯一性至关重要。逆变换拉普拉斯变换具有逆变换，可以将信号从复频域转换回时域。逆变换的公式是复杂的积分运算。拉普拉斯变换的性质1线性性拉普拉斯变换满足线性性，即多个信号的线性组合的拉普拉斯变换等于各个信号的拉普拉斯变换的线性组合。2时移性信号在时域上的时移对应于其拉普拉斯变换在复频域上乘以一个复指数因子。3微分性信号在时域上的微分对应于其拉普拉斯变换乘以s，并减去初始条件。4积分性信号在时域上的积分对应于其拉普拉斯变换除以s。常用函数的拉普拉斯变换单位冲激信号单位冲激信号的拉普拉斯变换为1。单位阶跃信号单位阶跃信号的拉普拉斯变换为1/s。指数信号指数信号的拉普拉斯变换为1/(s-a)，其中a为指数信号的指数。正弦信号正弦信号的拉普拉斯变换为ω/(s^2+ω^2)，其中ω为正弦信号的频率。拉普拉斯变换的应用：电路分析电路分析拉普拉斯变换可以将电路分析从时域转换到复频域，使得电路分析更加简单。例如，可以利用拉普拉斯变换分析电路的暂态响应、稳态响应、频率响应等。阻抗在复频域中，电阻、电容、电感等元件可以用阻抗来表示。阻抗是复数，包含了元件的幅值和相位信息。传递函数电路的传递函数是指输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比。传递函数包含了电路的所有信息，可以用来分析电路的各种特性。系统函数定义系统函数是指线性时不变系统的输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比。系统函数通常用H(s)表示。作用系统函数包含了系统的所有信息，可以用来分析系统的稳定性、因果性、频率响应等特性。通过系统函数，可以设计满足特定要求的系统。应用系统函数广泛应用于控制系统、通信系统、信号处理等领域。例如，设计控制器、设计滤波器、分析系统的稳定性等。系统的稳定性分析（拉普拉斯域）1极点系统函数的极点是指使得系统函数的值为无穷大的s的取值。极点的位置决定了系统的稳定性。2稳定性判据如果系统函数的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的；如果系统函数有极点位于右半平面或虚轴上，则系统是不稳定的。3应用通过分析系统函数的极点，可以判断系统的稳定性。如果系统不稳定，可以通过调整系统参数或增加控制环节来提高系统的稳定性。Z变换作用Z变换是将离散时间信号从时域转换到复频域的工具。通过Z变换，可以分析离散时间信号和系统的稳定性、因果性等特性。应用Z变换广泛应用于数字信号处理、控制系统等领域。例如，设计数字滤波器、分析离散时间系统的稳定性等。核心理解Z变换的定义、性质和应用，是学习信号与系统的关键。Z变换的定义定义对于离散时间信号x[n]，其Z变换定义为：X(z)=∑x[n]z^(-n)，其中求和范围为负无穷到正无穷，z为复变量。收敛域Z变换的收敛域是指使得求和收敛的z的取值范围。收敛域对于Z变换的唯一性至关重要。逆变换Z变换具有逆变换，可以将信号从复频域转换回时域。逆变换的公式是复杂的积分运算或部分分式分解。Z变换的性质1线性性Z变换满足线性性，即多个信号的线性组合的Z变换等于各个信号的Z变换的线性组合。2时移性信号在时域上的时移对应于其Z变换在复频域上乘以一个z的幂次。3尺度变换性信号在时域上的尺度变换对应于其Z变换在复频域上进行尺度变换。4卷积性信号在时域上的卷积对应于其Z变换在复频域上相乘。常用序列的Z变换单位脉冲序列单位脉冲序列的Z变换为1。单位阶跃序列单位阶跃序列的Z变换为z/(z-1)，|z|>1。指数序列指数序列的Z变换为z/(z-a)，|z|>|a|，其中a为指数序列的指数。正弦序列正弦序列的Z变换为(zsinω)/(z^2-2zcosω+1)，|z|>1，其中ω为正弦序列的频率。Z变换的应用：离散系统分析离散系统分析Z变换可以将离散系统分析从时域转换到复频域，使得离散系统分析更加简单。例如，可以利用Z变换分析离散系统的稳定性、因果性、频率响应等。传递函数离散系统的传递函数是指输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比。传递函数包含了离散系统的所有信息，可以用来分析离散系统的各种特性。滤波器设计可以利用Z变换设计数字滤波器。数字滤波器可以对离散时间信号进行滤波，去除噪声、提取特征等。离散时间系统的频率响应定义离散时间系统的频率响应是指系统对不同频率的离散时间信号的响应。频率响应包含了系统的幅频特性和相频特性。计算可以通过将系统函数的z替换为e^(jω)来计算离散时间系统的频率响应，其中ω为频率。应用频率响应广泛应用于滤波器设计、系统分析等领域。例如，设计满足特定频率要求的滤波器、分析系统的频率特性等。采样定理1重要性采样定理是信号与系统领域最重要的定理之一。它规定了在将连续时间信号转换为离散时间信号时，采样频率必须满足的条件，以保证信号可以无失真地重建。2奈奎斯特频率奈奎斯特频率是指信号最高频率的两倍。采样频率必须大于奈奎斯特频率，才能保证信号可以无失真地重建。3应用采样定理广泛应用于数字信号处理、通信系统等领域。例如，选择合适的采样频率、设计抗混叠滤波器等。采样的概念定义采样是指将连续时间信号在离散时间点上进行测量，得到离散时间信号的过程。采样是模拟信号数字化必须经过的过程。采样频率采样频率是指每秒钟采样的次数。采样频率越高，得到的离散时间信号就越接近原始的连续时间信号。量化量化是指将采样得到的连续幅值信号转换为离散幅值信号的过程。量化是模拟信号数字化必须经过的过程。量化会带来量化误差。采样定理的内容奈奎斯特采样定理如果一个连续时间信号x(t)的最高频率为fmax，那么采样频率fs必须大于2fmax，才能保证信号可以无失真地重建。混叠如果采样频率小于2fmax，那么就会发生混叠现象。混叠是指高频信号被错误地解释为低频信号，导致信号失真。抗混叠滤波器为了避免混叠现象，通常需要在采样之前使用抗混叠滤波器。抗混叠滤波器可以滤除高于奈奎斯特频率的信号，保证采样后的信号可以无失真地重建。采样定理的意义理论指导采样定理为模拟信号数字化提供了理论指导。它规定了采样频率必须满足的条件，以保证信号可以无失真地重建。工程实践采样定理广泛应用于数字信号处理、通信系统等领域。例如，选择合适的采样频率、设计抗混叠滤波器等。技术发展采样定理推动了数字信号处理技术的发展。数字信号处理技术已经广泛应用于各个领域，例如音频处理、图像处理、视频处理等。信号的重建1插值信号的重建是指将离散时间信号转换为连续时间信号的过程。常用的重建方法是插值。插值是指利用已知的离散时间信号的值，估计未知的连续时间信号的值。2理想插值理想插值是指使用sinc函数进行插值。理想插值可以无失真地重建信号，但是现实中无法实现，因为它需要无限长的sinc函数。3实际插值实际中常用的插值方法包括零阶保持、一阶保持、线性插值、三次样条插值等。这些插值方法都是对理想插值的近似。调制与解调作用调制是指将低频信号转换为高频信号的过程。调制可以使得信号更容易发射和传输，并且可以提高信道的利用率。解调解调是指将高频信号转换为低频信号的过程。解调是调制的逆过程，可以将信号恢复成原始的低频信号。应用调制与解调广泛应用于通信系统、广播系统等领域。例如，无线电广播、电视广播、移动通信等都需要进行调制与解调。调制的概念定义调制是指用调制信号去控制载波信号的某些参数，使载波信号携带调制信号的信息的过程。调制信号通常是低频信号，载波信号通常是高频信号。目的调制的目的是使得信号更容易发射和传输，并且可以提高信道的利用率。例如，可以利用调制将低频的音频信号转换为高频的无线电信号，从而可以通过天线发射出去。类型常用的调制类型包括幅度调制(AM)、频率调制(FM)、相位调制(PM)等。不同的调制类型具有不同的特点和应用场景。调制的类型：幅度调制(AM)1定义幅度调制是指用调制信号去控制载波信号的幅度，使载波信号的幅度随调制信号的变化而变化。幅度调制是最简单的调制类型之一。2特点幅度调制的优点是实现简单，缺点是抗干