《自动控制原理》课件2第2章 控制系统的数学模型

第二章

控制系统的数学模型2025/2/251第二章控制系统的数学模型自动控制原理解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。时域数学模型：描述系统输入输出变量的基本数学模型是微分方程，在微分方程中输入输出变量是关于时间的函数，则称为时域数学模型。复数域数学模型：将微分方程在一定条件进行拉普拉斯变换得到输出输入变量是关于复数的函数，则称为复数域数学模型。2025/2/25第二章控制系统的数学模型2第二章

控制系统的数学模型2.1系统的微分方程

微分方程是描述线性系统运动的一种基本数学模型。用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：1．根据实际工作情况、确定系统和各元件的输入、输出变量。2．从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理(或化学)定律，列写出在变化(运动)过程中的动态方程，—般为微分方程组。

3．消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。

4．标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，降幂排列。最后将系数归化为具有一定物理念义的形式。2025/2/25第二章控制系统的数学模型3自动控制原理2.1.1列写物理系统的微分方程

2025/2/25第二章控制系统的数学模型4自动控制原理物理系统的微分方程

2025/2/25第二章控制系统的数学模型5自动控制原理物理系统的微分方程

2025/2/25第二章控制系统的数学模型6自动控制原理物理系统的微分方程

2025/2/25第二章控制系统的数学模型7自动控制原理物理系统的微分方程

2025/2/25第二章控制系统的数学模型8自动控制原理物理系统的微分方程

2025/2/25第二章控制系统的数学模型9自动控制原理物理系统的微分方程

例2.4试列写如图2.4所示电枢控制的直流电动机的微分方程。取电枢电压Ud（t）为输入量，电动机转角速度

为输出量。图中Ra，La分别是电枢电路的电阻和电感；ML是电动机轴上的负载转矩。

解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，当电枢两端加上电压Ud后，产生电流ia，随即获得电磁转矩Mm，驱动电枢克服阻力矩带动负载转动，同时在电枢两端产生反电势Ea，削弱外电压的作用，保持电机作恒速转动。2025/2/25第二章控制系统的数学模型10自动控制原理物理系统的微分方程（1）电枢回路电压平衡方程

（2.4）

（2.5）式中Ea反电势方向与Ua（t）相反，Ce是反电势系数。（2）电磁转矩方程

（2.6）

式中Cm是电动机转矩系数。（3）电动机轴上的转矩平衡方程

（2.7）式中Jm是电动机和负载折合到电动机转动惯量，fm是集中粘性摩擦系数。2025/2/25第二章控制系统的数学模型11自动控制原理物理系统的微分方程（4）消去中间变量由（2.4）-（2.7）可得以

为输出量，Ud(t)为输入量的直流电动机微分方程为

（2.8）

式（2.8）是一个线性定常二阶微分方程，它描述了直流电动机在Ud（t）作用下角速度

的变化规律。后两项是负载转矩带来的扰动。（5）讨论：在大电机中，粘性摩擦力矩相对较小而可忽略不计(fm=0)，则上式为

（2.9）令

，称为机电时间常数；

，称为电枢电磁时间常数。2025/2/25第二章控制系统的数学模型12物理系统的微分方程

在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，即La=0，因而式（2.9）简化为

（2.10）

此时直流电动机为一阶微分方程。

如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小可忽略不计则（2.17）式进一步简化为

（2.11）

这时电动机的转动角速度

与电枢电压Ud(t)成正比。于是，电动机可作为测速发电机使用。2.机械系统

做直线运动的物体要遵循的基本力学定律是牛顿第二定律。

，即（2.12）2025/2/25第二章控制系统的数学模型13自动控制原理物理系统的微分方程

例2.5弹簧-质量块-阻尼器的机械位移系统如图2.5所示。试列写质量m在外力F(t)作用下（其中重力略去不计），位移y（t）的微分方程。

解：设质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为

，

，

。由牛顿第三定律有2025/2/25第二章控制系统的数学模型14自动控制原理物理系统的微分方程式中，

是弹簧的弹力，其方向与运动方向相反，其大小与位移成比例，k是弹簧系数。

是阻尼器的阻尼，其方向与运动方向相反，大小与运动速度成比例。整理后得该系统的微分方程为

（2.13）

式（2.13）是一个线性定常二阶微分方程，它描述了该系统在外力F（t）作用下，质量块移动的位移y（t）的变化规律。3.液位系统

考虑图2.6所示的液位系统。在这个系统中，两个容器相互影响。导管的液阻定义为产生单位流量变化所必须的液位差（即两个容器的液面位置之差）的变化量，即2025/2/25第二章控制系统的数学模型15自动控制原理物理系统的微分方程图2.6中

为稳态流量；

、

分别为容器1、容器2的稳态液位。q为输入流量对其稳态值的微小偏差（米2/秒）。h为水龙头对其稳态值的微小偏差（米）。2025/2/25第二章控制系统的数学模型16自动控制原理物理系统的微分方程

例2.6试列写流量q输入作用下，输出流量q2的微分方程。（Ri、Ci分别是液容、液阻，它们是常数，i=1,2）

解：

（1）输入量q（t），输出量q2（t）

（2）列动态方程2025/2/25第二章控制系统的数学模型17自动控制原理物理系统的微分方程（3）消中间变量并标准化

（2.15）式（2.15）是一个线性定常二阶微分方程。

观察上述各种系统的微分方程可以发现，不同类型的系统可具有形式相同的数学模型。以上分析的例2.1的RLC串联电路，例2.2的LRC串并联电路，例2.4的直流电动机，例2.5的机械系统和例2.6的液位系统的数学模型均是二阶线性微分方程，称这些物理系统为相似系统。相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，便于用一个简单系统模型去研究与其相似的复杂系统，同时为控制系统的计算机仿真提供了基础。2025/2/25第二章控制系统的数学模型18自动控制原理2.1.2控制系统微分方程的建立

建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原理图画出各个子系统的结构图，然后写出各个子系统的满足输入输出关系的微分方程组，再消去中间变量求得整体控制系统输入输出关系的微分方程。

控制系统的运动是复杂的，因此，微分方程的表现形式也是多样的。如线性的与非线性的，定常系数的与时变系数的，集中参数的与分布参数的等等。本章以描述单输入单输出线性定常系统的数学模型为主。若线性定常控制系统的输入量是r(t)，系统的输出量是c(t)，则线性定常系统的微分方程一般形式可以表述如下：

（2.16）或写成

（2.17）2025/2/25第二章控制系统的数学模型19自动控制原理控制系统微分方程的建立

式中，

，i=0,1,2,…n为输出信号的各阶导数，

为输出信号各阶导数的常系数；

，j=0,1,2,…m为输入信号各阶导数，bj为输入信号各阶导数的常系数。在实际物理系统中，系数

和bj均为实数。

一般

，这是因为一般物理系统均有质量、惯性或滞后的储能元件。

一般来说，满足叠加原理的系统为线性系统。设系统的输入为r1(t)时，系统的输出为c1(t)，系统的输入为r2(t)时，系统的输出为c2(t)。如果满足

（2.18）

则系统的输出保持线性可加性，即为

（2.19）称这类系统为线性系统。反之，不满足以上叠加定理的系统称为非线性系统。2025/2/25第二章控制系统的数学模型20自动控制原理2.1.3非线性微分方程的线性化

严格来说实际控制系统的元件都具有非线性特性。对系统元件的特性，特别是静特性几乎程度不同地都具有非线性关系。只是在多数情况下，其非线性特性较弱，近似将其看作线性特性，并由此列写出线性动态数学模型---线性微分方程。但是有一些元部件，其非线性程度比较严重，如果简单地当作线性处理，其物理特性结果与实际相差很大，甚至会得到错误的结论。

当系统或元件具有非线性特性时，则其动态数学模型常为非线性微分方程。而非线性微分方程的求解是比较困难的，且由于非线性特性类型不同，没有通用的解析求解方法。利用计算机可以对具体的非线性问题计算出结果，人们仍然难以求得一些符合各类非线性系统的普遍历律。因此。在理论研究时总是力图将非线性问题在合理的可能的条件下简化处理成线性问题，即所谓线性化。“小偏差法”是常用的线性化方法之一。

小偏差法，即将非线性特性在某工作点附近的邻域内作泰勒级数展开，忽略二阶及二阶以上的各项，仅取一次项近似式，便可得到以偏量表示的线性化增量方程。

设连续变化的非线性函数为y=f(x)，如图2.7所示。在给定工作点

附近，将y=f(x)用泰勒级数展开为2025/2/25第二章控制系统的数学模型21自动控制原理非线性微分方程的线性化

（2.20）当增量

很小时，略去其高次幂项，则有

（2.21）令

，，（2.22）则

（2.23）式（2.23）就是y=f(x)的线性化方程。2025/2/25第二章控制系统的数学模型22自动控制原理非线性微分方程的线性化

这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的。在建立控制系统的数学模型时，通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运动情况，这正是增量线性化方程所描述的系统特性。2025/2/25第二章控制系统的数学模型23自动控制原理2.2传递函数

前面一节已经讲述了线性定常控制系统的微分方程描述。它是一种时域描述，也就是说是以时间t为自变量的。对于系统进行分析时，根据所得的微分方程，求解控制系统的微分方程的时域解，可以得到确定的初始条件及外作用下系统输出的响应表达式，并可以作出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变化。为了了解参数的变化对动态响应的影响，就需要进行多次重复的计算。微分方程的阶次越高，这种计算也越繁杂。因此仅用微分方程这一数学模型来进行系统的分析设计，就显得不便。有必要去寻求在应用更为方便的数学模型——传递函数。

传递函数是基于拉氏变换而得到的。拉氏变换将时域函数变换为复频域函数，简化了系统的函数。将时域的微分、积分运算等，简化为代数运算。基于上述两种简化，进而将系统在时域的微分方程描述简化为复数域的传递函数描述。这样，许多时域的问题分析，就可以方便地转换为在复频域中进行了。有关拉普拉氏变换的一些知识详见附录。2025/2/25第二章控制系统的数学模型24自动控制原理2.2.1传递函数的概念和求取

在例2.1中已建立了RLC网络的数学模型——微分方程。现用拉氏变换法对其微分方程进行变换。图2.1的RLC网络的微分方程为将上式两边进行拉氏变换得若上式中

在t=0时刻的值

和它的一阶导数

都为零。则上式变换为

（2.24）称式（2.24）为输出电压

对输入电压

的传递函数，可以记为2025/2/25第二章控制系统的数学模型25自动控制原理

传递函数的概念和求取

由此可见，输出与输入的像函数之比只与电路的结构参数R、L、C有关，它可以用来表征电路本身的特性，如图2.8所示描述了RLC电路的输入拉氏变换、输出拉氏变换与传递函数三者之间的关系。此概念可推广到一般情况。2025/2/25第二章控制系统的数学模型26自动控制原理传递函数的概念和求取1.传递函数的定义

在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统或元件的传递函数。

线性定常系统的微分方程一般式为

在初始条件为零的情况下，对上式进行拉氏变换，取输出的拉氏变换C(s)与输入的拉氏变换R(s)之比，得到系统或元件传递函数的一般形式为

（2.25）2025/2/25第二章控制系统的数学模型27自动控制原理传递函数的概念和求取于是有

（2.26）

式（2.26）表明了系统输入拉氏变换、输出拉氏变换与传递函数三者之间的关系，还可以用图2.9的方框图（也称为结构图）形象地表示。以后在复数域数学模型中为了叙述方便可以将输入拉氏变换或输出拉氏变换形式简述为输入或输出。则输出C(s)是一个函数，是以s为变量的代数方程,它等于复数域的输入信号与传递函数之积。利用传递函数的定义，根据例2.2—例2.4所建立的微分方程，容易求得图2.2至图2.6的传递函数。请读者自行完成，并和例2.7所求得结果比较。2025/2/25第二章控制系统的数学模型28自动控制原理传递函数的概念和求取2.传递函数的性质

由传递函数的定义和式（2.25）可知，传递函数有如下性质：1）传递函数是经拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。2）传送函数中各项系数值完全取决于系统的结构和参数，而且和微分方程中各项系数相对应，这表明传递函数可以作为系统动态的另一形式的数学模型。由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子d/dt用复变量s表示，把c(t)和r(t)换为相应的象函数C(s)和R(s)，则就把微分方程转换为相应的传递函数。反之亦然。3）传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点平衡点是处于相对静止状态的。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律(这主要指的是起始过渡分量)。4）传递函数分子多项式的阶次总是低于至多等于分母多项式的阶次。即m<n，这是由于系统中总是含有较多的惯性元件以及受到能源的限制所造成的。5）一个传递函数只能表示—个输入对一个输出之间的关系，至于信号传递通道中的中间变量，同一个传递函数无法全面反映。如果是多输入多输出系统，也不可能用一个传递函数来表征该系统各变量间的关系，而要用传递函数矩阵表示，详细了解可以参考现代控制理论中的概念讲述。2025/2/25第二章控制系统的数学模型29自动控制原理传递函数的概念和求取3.传递函数的标准形式

本书在后续章节内容将用到传递函数的两种不同标准形式，一种是传递函数的时间常数型表达式，另一种是传递函数的零极点型表达式。1）传递函数的零极点型表达式

（2.27）式(2.27)为传递函数的零极点型表达式，也称为首“1”型。其中

为常数，称为根轨迹增益；传递函数分子多项式方程的m个根是

，称为传递函数的零点；分母多项式方程的n个根是

，称为传递函数的极点。显然，零、极点的数值完全取决于系统的结构参数。一般

可为实数，也可为复数、且若为复数，必共轭成对出现。将零、极点标在复平面上，则得传递函数的零极点分布图，如图2.10所示为一实例。图中零点用“。”表示。极点用“х”表示。2025/2/25第二章控制系统的数学模型30自动控制原理传递函数的概念和求取

图2.10零极点分布

2025/2/25第二章控制系统的数学模型31自动控制原理传递函数的概念和求取

2）传递函数的时间常数型表达式

式(2.28)为传递函数的时间常数型表达式，也称为尾“1”型。其中K为常数，称为系统的开环增益或稳态增益；传递函数分子分母的实系数

称为时间常数。

（2.28）

2025/2/25第二章控制系统的数学模型32自动控制原理传递函数的概念和求取3.传递函数的求取方法

传递函数的求取方法有多种，最直接的方法是列写系统的微分方程，利用传递函数的定义求取，但对复杂的系统过程繁琐。对于系统结构复杂的系统，在本章的第三节、第四节有结构图和信号流图的求取方法。关于电路系统传递函数的另一种求取方法是复阻抗法。在电路的基本理论中，线性元件的阻抗关系是依据线性元件的电压—电流关系而成立的，在时域上所遵循的是欧姆定律，在复数域中也有相同的形式。基本线性元件有三种，即电阻R、电容C和电感L，如图2.11所示，其电压—电流关系式为

（2.29）令初始条件为零，两边取拉氏变换,得到三种基本线件元件的复数阻抗为

（2.30）

（2.31）2025/2/25第二章控制系统的数学模型33自动控制原理传递函数的概念和求取

（2.32）由式(2.46)、(2.47)、(2.48)可以看到，均满足s域的欧姆定律，在广义欧姆定律的基础上，称其为复数阻抗。电路网络的传递函数可以方便地利用线性元件的复数阻抗法来求得。2025/2/25第二章控制系统的数学模型34自动控制原理传递函数的概念和求取无源网络电路如图2.12所示，图中

为复数阻抗，流过复阻抗的电流

相等，则电路的传递函数为

（2.33）有源网络电路如图2.13所示，图中

分别为输入复数阻抗、反馈复数阻抗，A点虚地即

，则流过复阻抗

和

的电流

相等，理想运算放大器输出电压

的极性与输入电压

极性相反，因而电路的传递函数为

（2.34）2025/2/25第二章控制系统的数学模型35自动控制原理传递函数的概念和求取

例2.7试用复数阻抗法求取图2.1-图2.3所示网络的传递函数。

解

（1）因为图2.1中的

，，所以图2.1所示的传递函数为2）因为图2.2中的

，，所以图2.2所示的传递函数为

3）因为图2.3中的

，，所以图2.3所示的传递函数为

上式的负号——表示运算放大器的电压输出与输入的极性相反。图2.3网络的传递函数是比例积分调节器的传递函数，简称为PI调节器。

2025/2/25第二章控制系统的数学模型36自动控制原理传递函数的概念和求取例2.8试用复数阻抗法求取图2.14所示PD网络的传递函数。解：将图2.14有源PD调节器改为如图2.15所示,由图2.15有又因为2025/2/25第二章控制系统的数学模型37自动控制原理传递函数的概念和求取则

（2.35）所以图2.14网络的传递函数是比例微分调节器，简称为PD调节器。2025/2/25第二章控制系统的数学模型38自动控制原理2.2.2单位脉冲响应

如果系统的输入是一单位阶跃函数，即

，则系统的输出称为单位阶跃响应。如果系统的输入是一单位理想脉冲函数，即

，则系统的输出称为单位脉冲响应。由于

，由图2.9传递函数的结构图知C(s)=G(s),则系统的单位脉冲响应函数为

（2.36）

即系统的单位脉冲响应就是系统传递函数的拉普拉氏反变换。如果已知系统的单位脉冲响应为g(t)，就可以根据卷积积分求解系统在任意输出r（t）作用下的输出响应，即

（2.37）

或2025/2/25第二章控制系统的数学模型39自动控制原理单位脉冲响应例2.9已知零初始条件下，系统的单位脉冲响应为试求系统的传递函数和零初始条件下的单位阶跃响应。解：系统的传递函数为因为所以单位阶跃响应为：2025/2/25第二章控制系统的数学模型40自动控制原理2.2.3典型环节的传递函数和单位阶跃响应

控制系统通常是由若干基本部件组合构成的，这些基本部件又称为典型环节。掌握了典型环节传递函数的求取，就可以方便地组合成复杂的控制系统。1.比例环节

具有比例运算关系的元件称为比例环节。其输入量

与输出量

运算关系为

（2.39）

其中K为比例常数。其传递函数为

（2.40）其单位阶跃响应为

（2.41）

2025/2/25第二章控制系统的数学模型41自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应显然如图2.16所示的模拟电路图是比例环节。变阻器式角位移检测器如图2.17所示，变阻器最大角位移为

，变阻器所加电压为

，所以其灵敏度为2025/2/25第二章控制系统的数学模型42自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应两变阻器角差为则其传递函数其他经常使用的比例环节装置还有放大器、减速器、杠杆和测速发电机（转动角速度为输入量，电压为输出量）等。2025/2/25第二章控制系统的数学模型43自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应

2.惯性环节

一阶惯性环节的微分方程是一阶的，且输出响应需要一定的时间才能达到稳态值，因此称为一阶惯性环节。其输出输入关系满足一阶微分方程：

（2.42）其传递函数为

（2.43）其中T为惯性时间常数，其单位阶跃响应为

（2.44）2025/2/25第二章控制系统的数学模型44自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应

一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线是一条单调上升曲线，第三章的时域响应将详细讨论之。如图2.18所示的RC滤波电路和运放组合的电路、温度控制系统等，都是常见的一阶惯性环节。2025/2/25第二章控制系统的数学模型45自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应

例2.10若忽略例2.4中粘性摩擦力矩时，试求电枢控制直流电动机的传递函数

和

。（

是

的大写角速度）

解

例2.4中已求得电枢控制直流电动机的微分方程为令由传递函数的性质5知一个传递函数只能表示—个输入对一个输出之间的关系。根据线性系统的叠加原理，可以分别求

到

和

到

的传递函数。为求

，令，则有

2025/2/25第二章控制系统的数学模型46自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应在零初始条件下，对上式两边取拉普拉氏变换可得

到

传递函数为

（2.45）同理可得

到

传递函数为

（2.46）由此可知，在忽略粘性摩擦力矩时，电枢控制直流电动机是一个惯性环节。

根据线性系统的叠加原理，由式（2.45）和（2.46）可以求得电动机的转速在电枢电压

和负载转矩

同时作用下的响应为2025/2/25第二章控制系统的数学模型47自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应3.积分环节能够实现积分运算关系的环节称为积分环节。其运算关系为

（2.47）

（2.48）其传递函数为

（2.49）其中T=1/K为积分时间常数，其单位阶跃响应为

（2.50）2025/2/25第二章控制系统的数学模型48自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应

积分环节的单位阶跃响应曲线是一条过原点的直线，在T时刻达到单位阶跃输入值1。它的特点是输出量为输入量对时间的累加，呈线性增长，对于输入的突变，输出要等于T后才能等于输出，故有滞后和缓冲的作用。在一段时间的积累后，即使输入变零，输出也将保持原值不变，而具有记忆作用，只有反向输入，输出才反向下降至零或负。如图2.19所示为典型的积分调节器，图2.20是它的单位阶跃响应。2025/2/25第二章控制系统的数学模型49自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应电动机的转动角位移

等于角速度

对时间的积分，即

或

其传递函数为2025/2/25第二章控制系统的数学模型50自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应4.微分环节

能够实现微分运算关系的环节称为微分环节。其运算关系满足的微分方程为

（2.51）其传递函数为

（2.52）其单位阶跃响应为

（2.53）微分环节的单位阶跃响应是一面积为K，脉冲宽度为零，幅值为无穷大的理想脉冲。2025/2/25第二章控制系统的数学模型51自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应

第一章闭环直流调速控制系统中的测速发电机原理图为图2.21所示，其输出端电压

，则相应的传递函数为

。

测速发电机在位置及速度控制中是用得相当广泛的元件，一是在位置控制系统中，用作一个并联校正元件，组成局部反馈——速度反馈，以改善系统的动态特性，此时的测速发电机是一个微分环节。二是在速度控制系统中作为主反馈元件，用于检测系统输出速度，并把速度量转换成电量再反馈到输入端，形成一个闭环控制系统，图1.15的闭环速度控制系统便是，此时的测速发电机是一个比例环节。三是用它指示一个转轴的转速。

2025/2/25第二章控制系统的数学模型52自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应

5.振荡环节

输入输出为二阶微分方程描述的系统，其微分方程形式为其时间常数型的传递函数为

（2.54）其零极点型的传递函数为

（2.55）其中T为时间常数，K为放大系数，

为阻尼比

，其值为

，

为无阻尼自然振荡频率。2025/2/25第二章控制系统的数学模型53自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应

振荡环节的单位阶跃响应为

（2.56）二阶振荡环节的单位阶跃响应在第三章详细分析。

例如本章第一节讲述的RLC电路，直流电动机，弹簧-质量-阻尼器，两容器液位系统都是常见的二阶震荡环节。电枢控制的直流电动机在空转（

）时的传递函数为2025/2/25第二章控制系统的数学模型54自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应

6.纯滞后环节

具有纯时间延迟传递关系的环节称为纯滞后环节或延迟环节。其传输关系为

（2.57）其传递函数为

（2.58）其单位阶跃响应为

（2.59）

延迟环节出现在许多控制系统中，如图2.22所示轧钢测厚传输时间延迟、液体流量检测时间延迟等纯时间滞后都会给系统带来许多不良的影响。2025/2/25第二章控制系统的数学模型55自动控制原理典型环节的传递函数和单位阶跃响应图2.22带有滞后环节的控制系统2025/2/25第二章控制系统的数学模型56自动控制原理2.3结构图

求取系统传递函数时，需要对输入输出的代数方程组进行消除中间变量，如果方程组的子方程数较多，消除中间变量是比较麻烦的，而且消除中间变量之后，仅剩输入输出两个变量，信号中间的传递过程得不到反映。采用动态结构图，便于求取系统传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。动态结构图也作为一种数学模型，在控制理论中得到了广泛的应用。2025/2/25第二章控制系统的数学模型57自动控制原理2.3.1结构图的组成和绘制

动态结构图又称为方框图。它是一种网络拓扑条件下的有向线段。它由以下几部分组成。1.信号线

带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或传递函数。如图2.23(a)所示。2.信号的引出点（或测量点）

表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。如图2.23(b)所示。3.函数方框(或环节)

函数方块具有运算功能，方框里写入元件或系统的传递函数，方框的输出变量就等于方框的输入变量与传递函数的乘积，此时的变量为s域，如图2.23(c)所示。4.求和点（比较点、综合点）

用符号“

”及相应的信号箭头表示,.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号,一般“+”可以省略不写。如图2.23(d)所示。2025/2/25第二章控制系统的数学模型58自动控制原理结构图的组成和绘制

图2.23结构图的基本组成单元2025/2/25第二章控制系统的数学模型59自动控制原理结构图的组成和绘制

系统结构图，实质上是系统原理图与数学方程两者的综合。在结构图上，用标有传递函数的方框，取代了系统原理图上的元、部件,同时摒弃了元部、件的具体结构而抽象为数学模型。这样，既补充了原理图所缺少的变量之间的定量关系，又避免了抽象的纯数学描述，既把复杂原理图的绘制简化为方框图绘制又能直观了解每个元、部件对系统性能的影响。因此系统结构图也是系统的一种数学模型,它可以对系统特性进行全面的描述。

系统的结构图，可用来方便地确定系统的传递因数。因为任何复杂的系统结构图，通过等效变换底总能简化为一个等效结构图。下面举例说明结构图的绘制过程。2025/2/25第二章控制系统的数学模型60自动控制原理结构图的组成和绘制例2.11试绘制图2.24无源RC网络的结构图。

解：（1）列出网络的运动方程式为2025/2/25第二章控制系统的数学模型61自动控制原理结构图的组成和绘制（2）画出上述两式对应的方框图，如图2.25（a）和2.25（b）所示。（3）各框图按信号的流向依次连接，得到如图2.25（c）所示该网络的结构图。2025/2/25第二章控制系统的数学模型62自动控制原理结构图的组成和绘制

例2.12试绘制图1.22位置随动控制系统的方框图。

解：图1.22位置随动系统是按照参考轴的角位移θr来控制负载的角位移θc。图中两个线性电位器分别把输入角位移和输出角位移变为与之成比例的电信号。

（1）比较环节

（2.60）

式中Kp为电位器的灵敏系数，单位为V/rad。

误差信号Us经放大器（设放大器系数为KA）放大后，给直流电动机供电，使之带动传动比为j的齿轮组和负载一起转动，使角位移θc跟踪θr。

（2）放大环节

（2.61）

（3）直流电动机

如果不考虑电动机的电感La时，由例2.10知，式（2.4）可以变换为2025/2/25第二章控制系统的数学模型63自动控制原理结构图的组成和绘制进一步有

（2.62）

（2.63）2025/2/25第二章控制系统的数学模型64自动控制原理结构图的组成和绘制由式（2.62）和（2.63）可画出结构图如图2.26（a）所示。（4）角位移θm与角速度ω（t）的关系则

（2.64）2025/2/25第二章控制系统的数学模型65自动控制原理结构图的组成和绘制（5）减速器（齿轮组）设齿轮组的传动比为j

（2.65）

将（1）~（5）用方框图连接起来，得到如图2-26（b）的位置随动系统的方框图。2025/2/25第二章控制系统的数学模型66自动控制原理2.3.2方框图的基本连接与等效变换

为了进一步计算系统的动态过程性能，需要对系统的结构图进行运算和变换，求出总的传递函数。这种运算和变换，就是设法将结构图化为一个等效的方框，而方框中的数学表达式即系统总传递函数。变换的实质相当于对方程组进行消元，求出系统输入量对输出量的总关系式。

任何复杂的系统结构图，各方框图之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。结构图的运算和变换应按等效原理进行。所谓等效，即对结构图的任一部分进行变换时，交换前后输入输出总的数学关系应保持不变。另外，运算和变换应尽量简单易行。

1.串联连接

方框与方框首尾相连，前一个方框的输出，作为后一个方框的输入这种结构形式连接称为串联连接。如图2.27(a)是两个环节相串联连接，其等效的环节的传递函数为

（2.66）2025/2/25第二章控制系统的数学模型67自动控制原理方框图的基本连接与等效变换可以简化为图2.27(b)所示。一般，任意n个传递函数依次串联,其等效传递函数等于n个传递函数的乘积。2.并联连接

两个或多个方框，具有同一个输入，而以各方柜输出的代数和作为总输出，这种结构形式称为并联连接。如图2.28(a)为三个环节并联，其等效的传递函数为

（2.67）2025/2/25第二章控制系统的数学模型68自动控制原理方框图的基本连接与等效变换可以简化为图2.28(b)所示。式(2.89)表明，三个传递函数并联的等效传递函数等于各传递函数的代数和。一般n个方框并联，其等效传递函数应等于该n个传递函数的代数和。2025/2/25第二章控制系统的数学模型69自动控制原理方框图的基本连接与等效变换3.反馈连接

一个方框的输出，输入到另一个方框，得到的输出再返回作用于前一个方框的输入端，这种结构称为反馈连接，如图2.29(a)所示，其等效的结构图如图2.29(b)所示。由图2.29(a)可得

（2.68）等号右边第二项移到等号左边合并，则求得图2.29(a)反馈连接的等效传递函数为

（2.69）式（2.69）称为系统的闭环传递函数，式中分母上的加号，对应于负反馈，减号对应于正反馈。2025/2/25第二章控制系统的数学模型70自动控制原理方框图的基本连接与等效变换

图2.29环节反馈连接

现对反馈连接定义一些术语。(1）开环传递函数：反馈引入点断开时，系统反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值，称为开环传递函数。即

（2.70）

(2)前向通道传递函数:断开反馈环后，输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。即

（2.71）2025/2/25第二章控制系统的数学模型71自动控制原理方框图的基本连接与等效变换(3)反向通道传递函数:系统主反馈量B(s)与输出信号C(s)之比。即

（2.72）(4)闭环传递函数：输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。即

（2.73）

(5)单位反馈：H(s)=1。其闭环传递函数为

（2.74）2025/2/25第二章控制系统的数学模型72自动控制原理方框图的基本连接与等效变换4.比较点和引出点的移动

在系统方框图简化过程中，除了进行方框的串联、并联和反馈连接的等效变换外，还需要移动比较点和引出点的位置。这时，应注意在移动前后保持信号的等效性。同一位置引出的信号大小和性质要求完全一样。下面给出引出点后移的变换过程。如图2.30是引出点后移的等效变换结果。由图2.30有

（2.75）2025/2/25第二章控制系统的数学模型73自动控制原理方框图的基本连接与等效变换例2.13试简化图2.31所示结构图，并求传递函数

。

图2.31系统的结构图2025/2/25第二章控制系统的数学模型74自动控制原理方框图的基本连接与等效变换解：（1）图2.31（a）第一个综合点后移，并与第二个综合点交换得图2.32（a）~（c）等效变换图2025/2/25第二章控制系统的数学模型75自动控制原理方框图的基本连接与等效变换则求得传递函数为（2）如图2.31（b）中综合点2移向H1前方，并与综合点1交换。引出点A移向H3的后面，并与引出点B交换。如图2.33（a）~（c）为简化过程。2025/2/25第二章控制系统的数学模型76方框图的基本连接与等效变换

（b）2025/2/25第二章控制系统的数学模型77自动控制原理方框图的基本连接与等效变换系统传递函数为2025/2/25第二章控制系统的数学模型78自动控制原理2.4控制系统的传递函数

自动控制系统在工作过程中，经常会受到两类外作用信号的影响，一类是有用信号，常称为给定信号、输入信号、参考输入等，本书用r(t)表示，另一类则是扰动信号，或称为干扰信号，常用d(t)或n(t)表示。约定信号r(t)通常是加在系统的输入端，而扰动信号d(t)一般是作用在受控对象上，但也可能出现在其他元部件上，甚至夹杂在给定信号之中。一个闭环控制系统的典型结构可用图2.34表示。图中R(s)为参考输入，D(s)为扰动信号。以下给出控制系统中几种常用传递函数的命名和求法。2025/2/25第二章控制系统的数学模型79自动控制原理2.4.1系统的开环传递函数

图2.34中，将H(s)的反馈通路断开，即断开系统的主反馈通路，系统反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值，就是开环传递函数。即

（2.76）断开反馈环后，输出信号C(s)与输入信号R(s)之比为前向通道传递函数。即

（2.77）反向通道传递函数为

（2.78）2025/2/25第二章控制系统的数学模型80自动控制原理2.4.2闭环系统的传递函数1.给定输入作用下的闭环传递函数

令D(s)=0，这时图2.34简化为图2.35所示，则给定信号R(s)作用下的闭环传递函数为

（2.79）当系统中只有R(s)输入信号作用时，系统的输出C(s)完全取决于

及R(s)的形式。2025/2/25第二章控制系统的数学模型81自动控制原理闭环系统的传递函数2．扰动