2021北京重点校高一(上)期末数学汇编：集合的基本运算

1/12021北京重点校高一（上）期末数学汇编集合的基本运算一、单选题1．（2021·北京八中高一期中）对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如：，运算“”为普通乘法：存在，使得对任意都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②，运算“”为普通加法；③（其中M是任意非空集合，运算“”为求两个集合的交集.（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③2．（2021·北京·人大附中高一期中）已知全集，，，则（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·101中学高一期中）若集合，则（

）A． B．C． D．4．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知集合，，则（

）A． B．C． D．5．（2021·北京八十中高一期中）如图中阴影部分所表示的集合是（）A． B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪C）∩（∁UB） D．6．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知集合，则（

）A．{1} B．{-1}C．{1，2} D．{1，2，3，4}7．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知集合，集合，那么（

）A． B． C． D．8．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期中）已知集合，那么等于（

）A． B． C． D．9．（2021·北京八中高一期中）若集合，，则集合（

）A． B． C． D．10．（2021·北京八十中高一期中）设集合，，则A． B． C． D．11．（2021·北京师大附中高一期中）已知集合，那么A．（-1,2） B．（0，1） C．（-1,0） D．（1,2）12．（2021·北京四中高一期中）设集合M={-1,0,1}，N={|=}，则M∩N=A．{-1，0，1} B．{0,1} C．{1} D．{0}二、填空题13．（2021·北京八中高一期中）称有限集S的所有元素的乘积为S的“积数”，给定数集，则集合M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为___________.14．（2021·北京八中高一期中）设集合，若，则实数a的值为___________.15．（2021·北京市十一学校高一期中）设集合A是集合的一个子集，对于，定义如下的三个结论中：①存在的两个不同子集A，B，，都有且；②任取的两个不同子集A，B，，都有；③设，则，都有.正确结论的序号是：______________.16．（2021·北京市十一学校高一期中）设集合，则________.17．（2021·北京·人大附中高一期中）设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为_________．18．（2021·北京·北师大二附中高一期中）设，集合，，若，则__________．三、解答题19．（2021·北京师大附中高一期中）设，已知集合，．(1)当时，求；(2)若，且，求实数的取值范围．20．（2021·北京市十一学校高一期中）对于任何给定集合S，用表示集合S的元素个数，用表示集合S的子集个数.已知集合A，B，C满足下列两个条件：①，②，求的最小值.21．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知集合(1)若，全集，求；(2)从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数的取值范围.条件①∶若；条件②∶若22．（2021·北京·人大附中高一期中）已知集合，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素，，都有，则称S具有性质P.(1)当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由.(2)当时，若集合S具有性质P.①集合是否一定具有性质P？并说明理由；②求集合S中元素个数的最大值.23．（2021·北京·清华附中高一期中）设，集合，若个互不相同的非空集合，同时满足下面两个条件，则称是集合的“规范子集组”①；②对任意的，要么，要么中的一个是另一个的子集．(1)直接写出集合的一个“规范子集组”(2)若是集合的“规范子集组”，（ⅰ）求证：中至多有1个集合对，满足且；（ⅱ）求的最大值24．（2021·北京·清华附中高一期中）已知集合，集合(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．25．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合.(1)若，直接写出集合，和；(2)若，其中，，求的值，使得集合中元素的个数最少；(3)写出所有满足的整数和，使得当集合时，有，并说明理由.26．（2021·北京八十中高一期中）已知集合，集合，集合，且集合满足，.（1）求实数的值.（2）对集合，其中.定义由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合和中的元素的个数分别为和，若对任意的总有，则称集合具有性质.①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和.②试判断和的大小关系，并证明你的结论.27．（2021·北京八十中高一期中）已知集合，.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.28．（2021·北京市第五中学高一期中）已知集合…，…，，对于…，，B＝（…，，定义A与B的差为…，A与B之间的距离为.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）证明：对任意，有（i），且；（ii）三个数中至少有一个是偶数；（Ⅲ）对于……，再定义一种A与B之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）

参考答案1．D【解析】根据单位元素的定义，对三个集合及相应的运算“”进行检验即可．【详解】解：①若，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②，运算“”为普通加法，其单位元素为0；③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集，其单位元素为集合．故选：D．2．C【解析】根据补集、并集的定义可求解.【详解】，，，，.故选：C.3．D【解析】利用集合的并集运算求解.【详解】因为集合，所以，故选：D4．A【解析】根据交集的定义，即得解【详解】由题意，根据交集的定义故选：A5．A【解析】根据韦恩图的意义，结合集合交并补运算的表示，即可容易求得结果.【详解】根据韦恩图的意义，阴影部分表示的集合为：集合与在集合中的补集的交集.故可表示为：.故选：A.6．A【解析】直接根据集合的交集运算求解即可.【详解】解：因为，所以故选：A7．A【解析】求得集合，集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，所以.故选：A.8．C【解析】直接利用交集的定义求解即可【详解】解：因为集合，所以=，故选：C9．D【解析】直接利用集合交集的定义求解.【详解】因为，，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力，属于基础题..10．C【解析】由集合间的交运算求解即可.【详解】∵集合，，∴．故选．【点睛】本题考查集合间的交运算;属于基础题.11．A【解析】利用数轴，取所有元素，得．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．12．B【解析】M="{-1,0,1}"M∩N={0,1}【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出，再利用交集定义得出M∩N13．【解析】令，设的所有偶数个元素子集的“积数”之和为，所有奇数个元素的子集“积数”之和为，进而根据，求解即可.【详解】解：数集中共有99个不同的元素，设的所有偶数个元素子集的“积数”之和为，所有奇数个元素的子集“积数”之和为，令，所以，所以，，所以故答案为：14．1【解析】由已知得，即有，解得或，分别代入检验可得答案.【详解】解：因为，所以，所以，解得或，当时，，满足题意；当时，，不满足集合的元素的互异性，故舍去，综上得，故答案为：1.15．①③【解析】对题目中给的新定义要充分理解，对于，或，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于,定义,∴①例如正奇数,正偶数,∴,∴且,故①正确；②例如：,当时,；,；∴；故②错误；对于③，若，则，则且，或且，或且，∴；若，则，则且，∴；∴任取的两个不同子集，对任意都有，故③正确．∴所有正确结论的序号是：①③．故答案为：①③．16．【解析】先求得，由此求得正确答案.【详解】，，，所以.故答案为：17．【解析】根据中的元素的和为6可得的元素，从而可求中的元素，从而可得各元素的积，注意分类讨论.【详解】因为，而，故，所以，若，则或（舍），此时，故中的所有元素之积为.若，则，这与或，这与中的所有元素之和为6矛盾.若，则或（舍），此时，这与中的所有元素之和为6矛盾.若，则，则，即，无解.故答案为：.【点睛】思路点睛：对于集合中元素的确定问题，注意利用元素的互异性、确定性和无序性来分类讨论.18．1或2【解析】，解方程可得因为，所以，当m=1时，满足题意；当，即m=2时，满足题意，故m=1或2.19．(1)或；(2).【解析】（1）根据并集和补集的概念即可求出结果；（2）由题意可得，解不等式组即可求出结果.(1)当时，，且，则，所以或；(2)因为，且，所以需满足，解得，所以实数的取值范围为.20．97【解析】由题知即，再利用容斥原理可得，，进而可得，即求.【详解】∵，∴，又∴，即，∴，又，∴，但，∴，同理，∴，当时，，综上，的最小值为97.21．(1)(2)条件①：；条件②：或【解析】（1），集合已知，根据并集和补集的定义即可求解（2）条件①∶若，说明；条件②∶若，则的范围与的范围没有公共部分，从而可以求解实数的取值范围(1)由题得：集合，因为，所以集合，全集，所以(2)选择条件①因为，所以，因为，所以，由（1）得：，若，则，解得：选择条件②因为，，且，则或22．(1)集合B不具有性质P，集合C具有性质P，理由见解析；(2)①T具有性质P，理由见解析；②1346【解析】(1)当时,，结合新定义的性质P可知集合不具有性质；集合具有性质.(2)当时,,①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证即可说明集合具有性质；②设集合S有个元素，由①可知，任给，，则与中必有个不超过，从而得到集合S与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利用性质的定义进行分析即可求得，即，解此不等式得.(1)当时，集合，不具有性质P.因为对任意不大于5的正整数m，都可以找到该集合的两个元素与，使得成立.集合具有性质P.因为可取，对于该集合中任意的两个元素，使得；(2)当时，集合，，①若集合S具有性质，那么集合一定具有性质.首先因为，任取，其中.因为，所以.从而，即，所以.由S具有性质，可知存在不大于的正整数，使得对S中的任意一对元素、，都有.对于上述正整数，从集合中任取一对元素，，其中、，则有.所以，集合具有性质；②设集合S有个元素，由①可知，若集合S具有性质，那么集合一定具有性质.任给，，则与中必有一个不超过.所以集合S与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过.不妨设S中有个元素、、、不超过.由集合S具有性质，可知存在正整数.使得对S中任意两个元素、，都有.所以一定有、、、.又，故、、、.即集合A中至少有个元素不在子集S中，因此，所以，得.当时，取，则易知对集合S中的任意两个元素、，都有，即集合S具有性质.而此时集合S中有个元素，因此，集合S元素个数的最大值为.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.23．(1)(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）【解析】（1）根据题意写出答案即可；（2）（ⅰ）利用反证法证明即可；（ⅱ）设，当时，令，当时，令，这样取出的个集合满足题意，用数学归纳法证明，将分为三类：①全集；②不为全集，且与的交集不为空集；③与的交集为空集，讨论从而可得出答案.(1)解：设，令，则满足且，所以的一个“规范子集组”为；(2)（ⅰ）证明：利用反证法证明：解：假设“存在两个不同的集合对；”依题意即互补，不妨设对“规范k-子集组”来讲：一方面，时，，另一方面，其中存在两个不同的集合对；满足，不妨设，即，再由“”，得，此时，要么，要么是的真子集，若，则，故，这与与矛盾；若是的真子集，则是的真子集，此时，且彼此都不是对方的子集，综上，假设“存在两个不同的集合对；”不成立，所以原结论成立，证毕.（ⅱ）解：设，当时，令，当时，令，这样取出的个集合满足题意，下面用数学归纳法证明，当时，结论成立；假设当时，结论成立，当时，考虑中不为全集且元素个数最多的集合（记为，并设中有个元素），则，将分为三类：①全集；②不为全集，且与的交集不为空集；③与的交集为空集.由的选取，知②中的集合均为的子集，且依然满足条件，由归纳假设可知②中的集合的个数不超过，而③中的集合均为的子集，有归纳假设可知集合的个数不超过，所以，即当时，结论成立，所以均有，即的最大值为.【点睛】本题考查了集合新定义问题，考查了分类讨论思想，和数据分析能力，对逻辑推理能力要求比较高，难度较大.24．(1)或(2)【解析】（1）由题意可得，解一元二次不等式求出集合，再根据集合的交集运算即可求出结果;（2）因为，所以，所以，由此即可求出结果.(1)解：当时，集合集合或；所以或.(2)解：因为，所以，所以，即.25．(1)，，.(2)答案见解析.(3)，或，.【解析】（1）根据题意，集合，利用列举法，即可求得；（2）由，得到，得到时，此时中的元素个数最少，分类讨论，即可求解；（3）根据题意，分、和三种情况分类讨论，结合题设条件，即可求解.(1)解：由题意，集合，且，当时，可得；当时，可得；当时，可得.(2)解：由题意，集合，对于，其中，当时，此时中的元素个数最少，若为奇数，则时，中的元素个数最少；若为偶数，则或时，中的元素个数最少.(3)解：若时，可得，此时，且，所以；若时，可得，要使得且，则，即.若时，此时，显然中有很多整数空缺，所以不成立.综上可得：，或，.26．（1）（2）①具有性质，不具有性质；，；②，证明见解析.【解析】（1）由，，可得，从而可求得的值，验证即可得结论；（2）①由（1）求得，，检验性质，即可得到结论；②分别证得和，从而可得．【详解】（1）由，，，，可得，则，则或，时，，不满足，时，，满足题意，综上，.（2）①，具有性质，，，，，但，则不具有性质.②，证明如下：对任意，有，，，则，则，若，则，，则不同对应的不同，则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应，则中元素个数不少于中元素个数，对任意，有，，，则，则，若，则，，则不同对应的不同，则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应，则中元素个数不少于中元素个数，综上.27．（1）或，；（2）；