北师大版九年级数学上册教学设计：第四章图形的相似

第四章图形的相似

1成比例线段

专题综合运用比例性质

I.若匕*=?=二，且2a—b+3c=21,求4a—3b+c的值.

346

2.如图，已知竺=迪=处，求证：AB+BC+CA=丝

BEMECEBCME

【知识要点】

1.成比例线段：在四条线段m力，c,△中，如果。与b的比等于。与d的比，我们就把这

四条线段叫做成比例线段.

2.比例的基本性质

⑴如果£=］那么ad=bc,

(2)如果£=%那么b2=ac,

(3)如果多=宗那么牛=当

【温馨提示】

四条线段的长度单位不统一时，要化成统一的长度单位后，再计算判断是否成比例，防

止出错.

【方法技巧】

1.比例式是等式，故可利用等式性质将比例式变形.

2.遇到比例式时，可设辅助未知数2,即设这些比的比值为这种借助另一个未知数的解

题方法叫辅助未知数法.

3.利用比例的基本性质可求长度.通常是“知三求一”，有时也可以设适当未知数列方程求

解.

参考答案：

a+2bc+5

1.解：设----=—=-----=k,则a+2=3k,b=4k,c+5=6k,

346

即a=3k—2,b=4k,c=6k—5.

V2a-b+3c=21,A2(3k-2)—4k+3(6k-5)=21,

Ak=2..*.a=4,b=8,c=7.

.".4a—3b+c=4x4—3x8+7=­I.

、m日日..AB_AM_AC.AB+AC_AM

BEMECEBE+CEEM

pnAB+AC_AM.AB+BC+CA_AM+ME

前~~ME'~BC~ME’

即A8+8C+CA=AE

BC~ME

2平行线分线段成比例

专题平行线分线段成比例定理的灵活运用

如图，AB〃CD、AD〃CE,F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、

AD、CD、CE于点M、N、P、Q,求证：MN+PQ=2PN.

【知识要点】

1.两条直线被一组平行线所截，所得的应对线段成比例。

2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

【方法技巧】

1.当题目中出现三条以上平行线，且求线段的长度或比值时常利用平行线获得比例线段.

2.证明比例式（或等积式）的常用方法是利用平行线分线段成比例定理，或者通过判定三

角形相似，有时要通过两次相似的判定，等量代换，寻找中间比等才能得到待证的比例式.

参考答案:

证明：延长BA、EC,设交点为0,则四边形0ADC为平行四边形.

•••F是AC的中点，・・・DF的延长线必过O点，且空=」.

0G3

MNAN

VAB/7CD,/.——=——

PNDN

.PQCQ

VAD#CE,=

1*PNDN

.MN(PQ_ANtCQ_AN+CQ

•PN-DNDNDN

又=AOQ=3DN.

,OQOG3

，CQ=OQ-OC=3DN—OC=3DN-AD,AN=AD—DN.

，AN+CQ=2DN.

MNPQAN+CQ,

——+—=-----------=2.即nrlMN+PQ=2PN.

PNPNDN

3相似多边形

专题与相似多角形的性质与判定有关的题

1.相似多边形指的是（）

A.各角都相等的多边形

B.各边都相等的多边形

C.各边对应成比例的多边形

D.边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形

2.如图，若两个多边形相似，求x的值.

A

【知识要点】

1.各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.

2.相似多边形的对应边的比叫做相似比.

【温馨提示】

相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等.

【方法技巧】

找准对应角、对应边是解决本题的关键.

参考答案

1.D

2.解：:相似多边形的对应选成比例，

12：18=21：x,

解得：x=31.5.

3.解：不相似.

理由：VZD=360°/35°-95°-72°=58°,ZE=360°-135°-95°-59°=71°,

・••两个四边形中不可能有“对应角相等”，

又•・•没法判定对应边成比例，

，不相似.

4探索三角形相似的条件

专题一与相似三角形判定有关的题

1.如图，P是Rt^ABC斜边48上任意一点（A,8两点除外），过P点作一直线，使截得的

三角形与RtZXABC相似，这样的直线可以作（）

C

A.1条B.2条C.3条D.4条

2.如图所示，正方形A8C。边长是2,BE=CE,MN=1,线段MN的端点M、N分别在

CD、AO上滑动，当OM=时，与以。、M、N为顶点的三角形相似.

3.（2012•怀化）如图，已知AB是。。的弦，08=4,NO8C=30°,点。是弦A8上任意

一点（不与点A、6重合），连结CO并延长交OO于点。，连结AO、DB.

（1）当NADC=18°时，求NOOB的度数；

（2）若AC=2小，求证：XACDsXOCB.

专题二黄金分割在实际中的应用

4.美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在

匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割.在人体躯干（由脚

底至肚脐的K度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接

近0.618,就越给别人一种美的感觉.如果某女士身高为1.65m,躯干与身高的比为0.60,

为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（）

A.2.5cmB.5.3cm

C.7.8cmD.8.5cm

5.（2012,宿迁）如图，已知尸是线段A8的黄金分割点，且%〉PB,若S表示雨为一边

的正方形的面积，S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积，则$S2.（填”

或“V”）

S、

1-P-15

6.宽与长之比为咛1：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、

匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩

形吗？请证明你的结论.

【知识要点】

1.相似三角形的定义

三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.

2.相似三角形的条件

(1)两角分别相等的两个三角形相似.

(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

(3)三边成比例的两个三角形相似.

3.黄金分割

一般的，点C把线段48分成两条线段AC和座，如果器=兼，那么称线段反被点C

黄金分割.点。叫做线段A8的黄金分割点.

【温馨提示】

1.运用相似三角形的关键是找准对应边和对应角.

2.全等三角形是特殊的相似三角形.

3.两边对应成比例，必须是夹角对应相等，这两个三角形才相似.

4.黄金比即AC：AB=巾;I：1处0.618.

【方法技巧】

识别两个三角形相似的几种思路：

(1)若有一对等角，可找另一对等角，或找夹它的两边对应成比例；

(2)若有两边对应成比例，可找其夹角相等；

(3)若有等腰三角形，则可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例：

(4)若有平行线，则可直接得相似三角形相似；

(5)若所证成比例的四条线段不在两个相似三角形中，可用中间比转换.

答案

1.C解析：有三条：①过点尸作边上的垂线，可得出一条符合要求的直线;

②另外两条分别是AC、〃。两边的平行线.

故选C.

2.9或手解析：•・•正方形A5C。的边长是2,

：・BE=CE=3NB=NO=90°,

・••在RtZXABE中，AE=^TP=小.

第一种情况：当时，AE:MN=AB：DM,

l2、「

即小：1=2：DM,

第二种情况：当时，AE：MN=BE:DM,

即小：1=1：DM,坐.

3.解：(I)连接AO,则NOAC=/O8C=30°，ZOAD=ZADC=W,

AZDAC=300+18°=48°,

/.ZDOB=2ZDAC=96".

(2)证明：过点。作AB的垂线，垂足为G,在Rt^OGB中，03=4,N08C=30°,

，OG=2,GB=2yf3.

•・・AC=2小，・••点C与点G重合，・•・NACO=NBCO=90°.

乂.♦.△ACDs/xocB.

L/CYCo

4.C解析：根据已知条件得下半身长是165X0.6=99(cm),

99+T

设选的高跟鞋的高度是xcm,则根据黄金分割的定义得：左三士=。618，

165+x

解得：x^7.8(cm).

故选C.

5.=解析：VP是线段AB的黄金分割点，且

：.R^2=PB•AB.

又•••$表示用为一边的正方形的面积，S2表示长是48,宽是P8的矩形的面积，

/.Si=/M2,S2=PB•AB,

Si=S£

故答案为=.

6.解：留下的矩形8FE是黄金矩形.

证明：•・•四边形4BE尸是正方形，

：.AB=DC=AF.

AB小T

乂・AD~2，

.AF^5—1

,•丽=2，

即点尸是线段A。的黄金分割，

・FDA7小一1

9,AF=AD=2'

工矩形CDFE是黄金矩形.

5相似三角形判定定理的证明

专题相似三角形判定定理的证明

}DE=DF

“两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似”，如图，已知力—就(AB>DE),

ZA=ZD,求证：△ABCsaDEF.请利用转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判

定方法转化为前面已经学过的方法(即已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相

似).请利用上述方法完成这个定理的证明.

A

D

cE/-_

【方法技巧】

解题的关键是正确作出辅助线构造平行线或全等一:角形.

答案:

证明：在AB上截取AG=DE,作GH〃BC,

/.△AGH-JAABC,

.AG=AH

,•四一旅‘

..DE=DF

八厂nr?

A.BA.CAG—DE,

AAH=DF,

VZA=ZD,

AAAGH^ADEF,

AAABC^ADEF.

6利用相似三角形测高

专题利用相似三角形的性质求树或建筑物的高

I.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，

设法使斜边。尸保持水平，并且边OE与点8在同一直线上.已知纸板的两条直角边OE

=40cm,E尸=20cm,测得边。尸离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高A8=

2.如图，为测量学校围墙外直立电线杆48的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹

竿CD,然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端。与电线杆顶端B重合；小亮又在点

G处直立高3m的竹竿GA，然后退到点Ei处，此时恰好看到竹竿顶端5与电线杆顶

端8重合.小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m,量得CE=2m,EG=6m,GEi=3m..

(1心股3必,4F\D\Ns4；

(2)求电线杆AB的高度.

【知识要点】

I.利用相似三角形求物高或影长.

2.构建相似三角形测量河宽.

【温馨提示】

利用影长计算或测量时，注意在同一时刻，物体的实际高度/影长=被测物体的实际高度

/被测物体的影长.

【方法技巧】

I.牢记相似三角形的性质和条件.

2.在测量无法到达顶部的物体的高度或测量不能直接到达的两点间的距离时，常构造相似

三角形求解.

答案

1.5.5解析：利用和相似求得的长后加上分明同学的身高即可求

得树高AB.

■:NDEF=NBCD=90°，ND=ND,AEFDE

VDE=40cm=0.4m,EF=20cm=0.2m,AC=\.5m,CD=8m,

Be8

•'♦02=04*，BC=4(m),

.•・A6=AC+3c=1.5+4=5.5(m).

2.解：(1)尸BGFiBG

F\N

⑵根据题意，*：D\C\//BA.：3ID\NSAF\BG,，墨=云大.

DUF|O

.DM_FM

，：DC〃BA,：.4FDMs&FBG,，，~BG=~FG,

F、NFM32

，：D\N=DM,'而=所，即GM+ll=GM+2,aga/=16-

..D\NFIN.L53

=・・・8G=13.5,

,BG-FiG'FG—27'

・"8=BG+GA=15(m).

答：电线杆A8的高度为15m.

7相似三角形的性质

专题一相似三角形性质的综合运用

1.已知两个相似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们

的周长.

2.如图，RtAABC到RsDEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3:2.

(1)DE与AB的长度之比是多少？

(2)已知RlAABC的周长是12cm,面积是6cm求RsDEF的周长与面积.

3.如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F,BE:AB

=2:3,SABEF=4,求SACDF.

AR■E

专题二相似多边形的性质

4.如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形

EFCD沿MN对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么AB：AD等于.

5.已知两个相似多边形的周长比为1:2,它们的面积和为25,则较大多边形的面积是—.

6.如图，梯形ABCD中，AD/7BC,E是AB上的一点，EF〃BC,并且EF将梯形ABCD

分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD=4,BC=9,求AE：EB.

【知识要点】

I.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比.

2.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

3.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

【温馨提示】

1.应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边.

2.不要误认为相似三角形面积的比等于相似比.

3.由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况：

（1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；

（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积

比等于对应底的比.

【方法技巧】

I.利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据.

2.等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中经常用到.

3.应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合.

4.相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质.

参考答案：

1.解：设一个三角形周长为Cem,

则另一个三角形周长为（C+560）cm,

贝ljC：（C+560）=3:10,AC=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm.

2.解：（1）由相似变换可得：DE：AB=DF：AC=2：3；

(2)VAC：DF=3：2,•・•△DEF的周长：Z\ABC的周长=2：3,SADEF：SAABC=4:9.

「直角三角形ABC的周长是12cm,面积是6cm2,

Q

・•・△DEF的周长为8cm,SDEF=-cm2.

A3

3.解：•・•四边形ABCD是平行四边形，・・・AE〃DC,

AABEF^ACDF.VAB=DC,BE：AB=2：3,

39

BE:DC=2：3,*,•DCF=(—)〃SABEF=—x4=9.

24

V2

4.2［解析］•.•矩形ABCDs矩形BFEA,

，AB：BF=AD：AB,，AD・BF=AB・AB.

又・.・BF=LAD,A-AD2=AB2,贝lj空

22ADV22

5.20［解析］根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可

求得面积的比值，依据面积和为25,就可求得两个多边形的面积.设两个多边形中较小的

多边形的面积是X,则较大的面积是4x.

根据题意得：x+4x=25,

解得x=5.因而较大多边形的面枳20.

ADFFAF

6.解：•.•梯形AEFDs梯形EBCF,・••丝•二三二平

EFBCEB

又・.・AD=4,BC=9,AEF2=AD»BC=4x9=36.

・•..AEAD4AE2

•EF>0,•.EF=6,•.=-----=—,即nn=一.

EBEF6EB3

8图形的位似

专题一位似作图

1.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△ABC是以点O为位似中

心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

(1)画出位似中心点O；

(2)直接写出^ABC与^ABX?的位似比；

(3)以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出

△ABC关于点O中心对称的△A"B"C",并直接写出△A"B"C"各顶点的坐标.

2.如图，在4x5网格图中，其中每个小正方形边长均为1,梯形ABCD和五边形EFGHK

的顶点均为小正方形的顶点.

(1)以B为位似中心，在网格图中作四边形ABCTT,使四边形ABCTT和梯形ABCD位

似，且位似比为2：1；

(2)求(1)中四边形ABCD，与五边形EFGHK重叠部分的周长.(结果保留根号)

3.如图，在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG,使DE落在8。上，F,G

分别落在AC,A8边上，要求写出画法.

专题二坐标系下的位似变换

5.如图，对RIAOAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O7VB，.

（1）在坐标纸上画出这儿次变换相应的图形；

（2）设P（x,y）为AOAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标.

6.如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（一1,0）.以点C为位似

中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△ABC,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设

点B的对应点B，的横坐标是2,求点B的横坐标.

【知识要点】

1.位似图形的性质：（1）两个图形相似；（2）每组对应点所在的直线交于一点;(3)对

应边平行或在同一条直线上；（4）对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

2.位似图形的画法：（1）作图时首先连接顶点和位似中心并延长；（2）按照比例确定对

应点位置；（3）连接结对应点即可作出相应的位似图形.

3.（1）同向位似图形：

若以点O为位似中心在y轴的右侧将图形放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的n倍.

（2）反向位似图形：

若以点0为位似中心在y轴的左侧将图形放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的一n倍.

【温馨提示】

I.相似只强调图形的形状相同，与位置无关，而位似是特殊位置的相似图形，具有相似的

所有性质.

2.两个位似图形一定相似，但相似图形不一定位似.

3.直角坐标系下的位似变换通常考虑两个方面：（1）位似图形的点的坐标的变化规律；（2）

利用这种坐标变化的特点，画出平面直角坐标系下的位似图形.

4.在画位似图形或求点的坐标时，一定要注意位似图形的位置关系，以防漏解.

5.在画位似图形时，要分清位似比是新图形与原图形的比，还是原图形与新图形的比.

6.在画位似图形时，关键的顶点与位似中心要准确定位.

【方法技巧】

1.判定位似，一般应先证明相似.位似图形的前提一定是相似图形，且任意两对应点的连

线交于一点.

2.利用作位似图形的方法可将一个图形放大或缩小.

3.画位似图形的关键是确定位似中心，位似中心可根据要求选择适当位置，所画图形的位

置并不唯一.

参考答案:

(2)△ABC与△ABC的位似比等于2：1；

(3)为所求.

A"(6,0)，B”(3,-2),C"(4,-4).

2.解：（1）如图所示：四边形ABCTT就是所要求作的梯形;

KH

B

（2）四边形A，BCD与五边形EFGHK重叠部分是平行四边形EFGD，，ED，=FG=1,

在RSEDF中，ED=DF=1,

由勾股定理得EF=Vl2+12=V2,AD/G=EF=V2,

・•・四边形ABCTT与五边形EFGHK重叠部分的周长

为ED，+FG+D，G+EF=1+1+V^+V^=2+2A/^.

3.如图.

画法：第一步：画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形D£FG'（如图）；

第二步：连接6尸并延长交AC于点尸；

第三步：过/点作FE_L5C,垂足为点E；

第四步：过F作/G〃3C交A8于点G；

第五步：过G作GO_LBC,垂足为点。.

四边形DEFG即为所求的正方形.

5.解：（1）如图.先把AABO作位似变换，扩大2倍，再作关于y轴对称的三角形，然

后向右平移4个单位，再向上平移5个单位.

(2)设方格边长为单位1,则P(x,y)以0为位似中心放大为原来的2倍的对应点为

(2x,2y),经y轴翻折得到的对应点为(-2x,2y),再向右平移4个单位得到的对应点

为(-2x+4,2y),再向上平移5个单位得到的对应点为(―2x+4,2y+5).

6.解：过点B、B，分别作BD_Lx轴于D,B，E_Lx轴于E,AZBDC=ZB'EC=90°.

:△ABC的位似图形是AABC,I.点B、C、B'在一条直线上,

CDBC

••・NBCD=NB'CE,AABCD^AB'CE.:.——=——.

CEB'C

im।

又•・•一二=一，，一=-.又•・•点B的横坐标是2,点C的坐标是（一1,0）,，CE

B'C2CE2

355

=3,CD=-./.OD=-,•••点B的横坐标为一一.

222

第一章图形的相似

第一节成比例线段

【学习目标】

1、认识形状相同的图形；

2、结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形；

3、了解线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法；

4、理解并掌握比例的基本性质，能通过比例形式变形解决一些实际问题。

［相关知识链接］

1、全等的窗形：能够完全的两个图形叫做全等图形；

2、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除）以的整式，

分式的值不变。

【学习引入】

一、观察图片，体会相似图形

1、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点

进行归纳吗？

S27.13

2、小组讨论、交流.得到相似图形的概念，什么是相似图形？

3、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似

吗？

二、归纳总结：

知识点1、相似的图形

一般而言，形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全

等图形也是相似图形。

注意：形状相同的图形的对应线段的条数相同，对应线段长的比值相等，因

此可以看做的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。

知识点2、两条线段的比

如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这

两条线段的比就是它们的长度之比，即AB:CD=m:n,或写成竺='，其中，线段

CDn

AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项。如果把丝表示成比值k,那么空=女，

nCD

或者AB二k・CDo

注意：1、求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一，当长度单位不统

一时，要先化成同一单位长度；

2、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只

要选取相同的长度单位即可。

★知识点3、成比例线段

对于四条线段a,b,c,d,如果a与b的比等于c与d的比，即@=工，那

bd

么这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

注意：1、如果@=那么b叫做a和c的比例中项；

bc

2、在比例式a:b二c:d中，d叫做a,b,c的第四比例项；

3、成比例线段是有顺序的，即a,b,c,d是成比例线段，则是a:b=c:d

知识点4、比例的性质

1、比例的基本性质：如果且=£,那么ad=be；

bd

如果ad二be（a,b,c,d都不等于0），那么@=£

bd

2、等比性质：如果3=£=...='s+d+...+〃工0）,那么°+°+…

bdnb+d+...+nb

【例题解析】

例1、观察下列图形，指出是相似图形.

O。绫——

C1)(2)(3)(4)(5)

O0。■

(6)(7)(8)(9)(10)

例2、线段AB被点M分成费小则送二MB

例3、如果0=3，求2的值。

y5x

ARnp

例4、如图所示，巴=生，且AB=1Ocm,AD=2cm,BC=7.2cm,

ADEF

E是BC的中点，求EF,BF的长。

例5、已如一—————2,且Z?+d+f0

bdf

(1)求a+c+e的值;(2)若a-2c+3e=5,求b-2d+3f的值。

b+d+f

【综合练习】

在上述各种符号中，形状相同的符号有几组？()

A.一组B.二组C.三组D.四组

2、下面各组中的两个图形，是形状相同的图形，是形状不同

的图形.

。。OO吊f□口含也©0

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

3、矩形ABCD中AB=CD二8,AD=BC=6,矩形EFGH中，EF=GH=3,EH=FG=4,这两个矩

形____

4、ZXABC的三条边之比为2：5：6,与其相似的另一个4A。'B・'C・'最大边长

为18cm,则另两边长的和为.

5、两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm,25cm,它们的周长差为63cm,

则这两个三角形的周长分别是.

6△ABC与△DEF中NA=65°ZB=42°ZD=65°Z

F=73°,AB=3,AC=5,BO6,DE=6,DF=10,EF=12,则4DEF与aABC—

7、下列所给的条件中，能确定相似的有（）

（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）

所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形.

A.3个B.4个C.5个D.6个

8、把mn二pq（mnWO）写成比例式，写错的是（）

HL=1EJ丝

A.〃〃B.机夕C.mPD.〃夕

8.在一张比例尺为1：15000的平面图上，一块多边形地区的其中一边长为5cm,

那么这块地区实际上和这一边相对应的长度应为（）

A.750cmB.75000cmC.3000cmD.300cm

9、下列说法中，正确的是（）

A.正方形与矩形的形状一定相同B.两个直角三角形的形状一定相

同

C.形状相同的两个图形的面积一定相等D.两个等腰直角三角形的形状一

定相同

10.经历平移、旋转、轴对称变化前后的两个图形（）

A.形状大小都一样B.形状一样，大小不一样

C.形状不一样，大小一样D.形状大小都不一样

11.在平面坐标系中，一个图形各点的横坐标、纵坐标都加上或减去同一个非零

数，得到一组新的对应用点，则连接所得到点的图形与原图形形状（）

A.不能够互相重合B.形状相同，大小也一定相同

C.形状不一样D.形状相同，大小不一定相同

12、如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角a、

B的大小和EH的长度xo

21D8

A1卞\/

B也―aCG

13、已知四边形ABCD与四边形ABCD相似，且A.B,:B.C.:C.D,:0^=7:8:11:14,

若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD的各边的长.

第二节平行线分线段成比例

【学习目标】

1、探索理解平行线分线段成比例定理及其推论；

2、会熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论计算线段的

长度。

【相关知识链接】

1、成比例线段：__________________________________________

2、若3x=5y,则x：y=；若x：y=7:2,则x：(x+y)=

【学习引入】

一、如图，任意画两条直线人，及再画三条与&相交的平行线入，7,A

分别量度4,hh.在Z上截得的两条线段AB,BC和在12上截得的两条线段

DE,EF的长度，AB：BC与DE：EF相等吗?任意平移h,再量度AB,BC,DE,EF

的长度，AB：BC与DE：EF相等吗？

二、问题，AB：AC=DE：(),BC：AC=()：DF

三、归纳总结：

知识点1、平行线分线段成比例定理：

两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例。

知识点2、平行线分线段成比例定理的推论：

平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

【例题解析】

例1、如图所示,直线\\W,AB=3,DE=2,EF=4,求BC的

长。

例2、如图所示,在aABC中，点D,E分别在AB,AC边上,DE/7BC,

若AD：AB=3:4,AE=6,则AC等于

BDAB

例3、如图所示，在△ABC中，AD平分NBAC,求证:

~DC~~\C

【经典练习】

1、如图，已知直线4〃13〃0,直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、

D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=（）

A、7B、7.5C、8D、8.5

2、如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点

E,则下列结论错误的是（）

A、错误!未找到引用源。B、错误!未找到引用源。C、错误!未找到引

用源。D、错误!未找到引用源。

3、如图所示：Z^ABC中，DE〃BC,AD=5,BD=10,AE=3.则CE的值为（）

A、9B、6C、3D、4

4、如图所示，DE/7BC,DF//AC,AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm,求线段BF的长。

C

B

5、如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E,

将aADE沿DE翻折，M与N恰好重合，贝ijAE：BE等于（）

A、2：1B、1：C、3：2D、2：3

6、如图，已知AB〃CD〃EF,那么下列结论正确的是（）

A、错误!未找到引用源。B、错误!未找到引用源。C、错误!未找到引

用源。D、错误!未找到引用源。

7、如图，直线L〃k〃b，另两条直线分别交L、k、k于点A、B、C及点D、E、

F,且AB=3,DE=4,EF=2,则（）

A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3C、BC・DE=8D、BC・DE=6

8、如图，直线AB〃CD〃EF,若AC=3,CEM,则错误!未找到引用源。的值是

9、如图，已知：△ABC中，DE〃BC,AD=3,DB=6,AE=2,则EC二.

10、如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树,

在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发

现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三

棵树，则河宽为米.

、/南岸

6

第9题图第10题图第11题图

11、如图，梯形ABCD中，EF//BC,错误!未找到引用源。，则

错误!未找到引用源。空二

AD--------

12、如图所示：设M是AABC的重心，过M的直线分别交边AB,

AC于P,Q两点，且错误!未找到引用源。二叫错误!未找到引用源。

=n,贝！L.

mn

13、如图，AB〃CD、AD〃CE,F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交

AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q,

求证：MN+PQ=2PN.

14、已知：平行四边形ABCD的对角线交于点0,点P是直线BD上任意一点（异

于B、0、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E,交直线AB于F.若

点P在线段BD上（如图所示），试说明：AOPE+PF；

第三节相似多边形

【学习目标】

1、了解相似多边形和相似比的概念；

2、能根据条件判断出两个多边形是否为相似；

3、掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行简单的计算

【相关知识链接】

1、相似图形：相同，但是不一定的图

形。

2、多边形：由若干条的线段组成的封闭平面

图形。

【学习引入】

一、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.

在AABC与AA'B'C'中，如果NA=NA',NB=/B',NC=NC',且

空=_^=5==k.我们就说aABC与AA'B'C'

A'B'B'C'C'A'

相似，记作AABCsRNB'C',k就是它们的相似

比.

反之如果△ABCsZkA，B'C',

则有NA二NA',ZB=ZBZ,NONC',

口ABBCCA

H.---=----=----.

A'B'B'C'C'A'

二、问题：如果k=l,这两个三角形有怎样的关系?

三、归纳总结：

知识点1、各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多

边形，

相似多边形对应边的比叫做相似比。

知识点2、相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例；

相似多边形的判定:边数相等；对应角相等；对应边成比例。

判断两个多边形相似，这三个条件缺一不可。

【例题解析】

例1、下列判断中正确的是（）

A、两个矩形一定相似B、两个平行四边形一定相似

C、两个正方形一定相似D、两个菱形一定相似

例2、如图△ABCSADCA,AD〃BC,NB=NDCA.

（1）写出对应边的比例式；

（2）写出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6.求AD、DC的长.

例3、某机械厂承接了一批焊制矩形钢板的任务，已知这种矩形钢板在图纸上（比

例尺1:400）的长和宽分别为3cm和2cm,该厂所用原料是边长为4m的正方形钢

板，那么焊制一块这样的矩形钢板要用几块边长为4m的正方形钢板才行？

例4、如图所示，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相

似，则原矩形的长和宽之比为（）

A、2:1B、4:1

C、V2:lD、1:2

【经典练习】

1、下列各组图形中，肯定相似的是（）

A、两个腰长不相等的等腰三角形

B、两个半径不相等的圆

C、两个面积不相等的平行四边形

D、两个面积不相等的菱形

2、两个相似多边形边长的比为2：3,它们的周长差为4cm,则较大多边形的周长

是（）

A.8cmB.12cmC.20cmD.24cm

3、已知平行四边形ABC。与平行四边形A'3'CZ>'相似，AB=3,对应边48'=4,

若平行四边形A58的面积为18,则平行四边形AB'CD'的面积为（）

97Q1

A.—B.—C.24D.32

28

4、如图，正五边形ABCDE与正五边形尸GHMN是相似形，若A3:bG=2:3,

则下列结论正确的是（）

A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3ZA=2ZFD.^ZA=3ZF

5、如图，在梯形A6CD,AD//EF//BC,石尸将梯形ABCZ）分成两个相似梯形

Af

4E77）和梯形EBCF,若A。=3,8C=4,求——的值。

EB

6、一个五边形的各边长为2,3,4,5,6,另一个与它形似的五边形的最长边的长为⑵

则最短边的长为（）

A.4B.5C.6D.8

7、在梯形ABCD中，AD平行于BC,AC、BD交于点0,S&oo：SAa«=l：9

则S△DOC：S^BOC=

8、在比例尺为1:1000000的地图上，A,B两城的距离为7.2加，则A,B两城的

实际距离是

_______________km

9、四边形ABCDs四边形AB'C'D,AC与A'C'是对应对角线，若

48=3,48'=2,则，边形板。：C四边形N&C7/一------------S四边形A8CD:S四边形-------

10、在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=4,EF〃AD,若二BCDs。EFDA,求AE

的长。

E

11、如图所示，己知矩形ABC3中，AB=1,在BC上取一点E,沿AE将AABE向上

折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD二

第四节相似三角形的判定

【学习目标】

1、理解相似三角形的定义；

2、熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定方法判断两个三角形是

否相似；

3、能运用三角形相似的判定方法进行有关的计算和证明；

4、理解黄金分割的概念；

5、能做出线段黄金分割点，并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的

美。

【相关知识链接】

1、全等三角形的判定条

:、、、、0

2、相似多边形：各角、各边的两个多边形叫做相似多

边形。

3、线段的比：如果选用____________量的两条线段AB,CD的长度分别的叫储

那么就说两条线段AB:CD二m:n

【学习过程】

一、讨论：什么是相似三角形