专题2.12 平方差公式（专项练习）

专题2.12平方差公式（专项练习）

一、单选题

1.（2020.河南信阳市•观庙初级中学八年级月考）若〃为正整数，则（2〃+1）2-）

A.一定能被6整除B.一定能被8整除

C.一定能被10整除D.一定能被12整除

2.（2020•河南南阳市•八年级期中）等式（一。-1＞（）=/一1中，括号内应填入（）

A.。+1B.1—〃C.—1—ciD.d-1

3.（2021•广东阳江市•八年级期末）计算（gx—3）（gx+3得到（）

A.-x1-x+9B.-x2+x+9C.-x2-9D.-x1-9

4442

4.（2020•浙江杭州市•七年级期末）下列各式不能用平方差公式计算的是（）

A.（5x-2ab）（5x+lab）B.{ax-y）（-ax-y）

C.（-ab-c）（ab-c）D.（m+n）（-m-n）

5.（2020•夏津县第二实验中学八年级月考）（—5/+4/）（）=25噂—年为括号内应

填（）

A.5a2+4b2B.5a2-4b2C.-5a2+4b2D.-5a2-4b2

6.（2020•重庆开州区•八年级期末）计算（—2。-3b）（2。-39的结果为（）

A.4a2-9b2B.%2-4a2

C.-4a2-\2ab-9b2D.-4a2+\2ab-9h2

7.（2020•浙江杭州市•七年级其他模拟）现有一列式子:①552-452；②5552-44江;③

55552-4445?…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）

A.l.lllllllxlO16B.l.lllllllxlO27C.l.lllllllxlO56D.l.lllllllxlO'7

8.（2021.湖北武汉市.八年级期末）若a+b=2,则/一层+4。的值为（）

A.4B.3C.2D.0

9.（2021.黑龙江哈尔滨市.九年级期末）下列代数式的运算，一定正确的是（）

A.3a2—a22B.(34=9/

D.a2+廿=(Q+Z7)(a-b)

10.（2021•全国八年级）记A“=（1-最（1-最）（1-染）…

1--T），其中正整数

n~

H>2,下列说法正确的是（）

A.A5VA6

B.45->4区6

3

C.对任意正整数〃，恒有A〃<一

4

D.存在正整数加，使得当〃>加时.，A〃V

2015

ab

11.（2020•叙州区双龙镇初级中学校八年级期中）形如，的式子叫做二阶行列式，它的算

cd

abaa-2

法是：=ad-bc,则c1的运算结果是（)

cd。+2。+1

A.a+4B.a—4C.4D.-4

12.(2021.山东济宁市.八年级期末)3(22+1)04+1)(28+1)…仅32+1)+1的个位数是

()

A.4B.5C.6D.8

13.(2020.孝感市孝南区肖港镇肖港初级中学八年级月考)算式(2+1)x(22+1)x(24+1)

x...x(232+1)+1计算结果的个位数字是()

A.8B.6C.4D.2

二、填空题

21

14.（2020・大庆市万宝学校八年级期中）利用乘法公式计算：199—*200-=

33

15.（2020・辽宁大连市•八年级期中）若/一户=一1，则（。+32。2。（。—打202°=

16.(2020•浙江杭州市•七年级其他模拟)2018?-2017*2019=

4238x(—0.25)239=

17.（2021•沙坪坝区•重庆南开中学七年级期末）计算：108x112—11（）2的结果为.

18.（2020•河南南阳市•八年级期末）计算：498x502+4=.

19.（2020•全国八年级课时练习）若（w+3x）（/%-3x）=16-加2,则"团的值为.

20.（2020•全国八年级单元测试）已知加+2〃=2,m-2n=2,则〃?？-4〃?=.

21.（2020•四川省成都美视国际学校七年级期中）已知4=1—

。3=1一"，…4，Su…a〃,则$2015=--------

22.（2020•黑龙江齐齐哈尔市•八年级期末）计算：201x199-1982=.

23.（2020•浙江杭州市•九年级期中）已知加2-9凡2=24,加+3〃=3,则加-3"=

22

24.（2020•山东省齐河县第三中学八年级月考）计算：（--m+nX--m-n）=.

1AAA2

25.（2020•安岳县石羊镇初级中学八年级期中）（1）利用分解因式计算一,,=

2522-248?

三、解答题

26.（2020•山西八年级期中）阅读理解，回答问题.

在数学中，有一些正整数相乘的积的个位数有特殊的规律，例如：整十整百的正整数相乘所

得的积个位数是0；个位数为5的正整数与奇数相乘所得的积的个位数是5,个位数为5的

正整数与偶数相乘所得的个位数是0；所有个位数为1的正整数相乘的积的个位数是1：所

有个位数为5的正整数乘积的个位数为5.

（1）①）的个位数为2,22的个位数为4,23的个位数为8,24的个位数为，25

的个位数为,…

②（2+1）02+1）（24+1）/+1）=（2—1）（2+1）02+1）（2，+1）（28+1）=,所得

的积的个位数为：

（2）计算3（4+1乂42+1乂4,+l）（d+1）+1,并求出它结果的个位数.

27.(2020・武威第九中学八年级月考)计算：

(1)fa2)4+a3a4<7；

(2)(-2叫工

(3)(a%-2ab-6)+(-b)；

(4)(—x+2y)(—x—2y)；

(5)(x+y+l)(x+y-1).

28.(2020・北大附中云南实验学校八年级期中)探究发现：

(1)计算并观察下列各式：

(x-l)(x+l)=x2-l;

(%-1)(%2+x+l)=；

(X-1)13+厂+》+1)=；

(2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么规律？请根据你发现的规律直接填写下面的

空格.

(X-1)(X，+J+X，+*3+x?+X+1)=；

(X-1)(X"+…。+*3+》2+X+1)=;

(3)利用该规律计算：1+5+52+53+…+52°2。.

29.(2020.湖北孝感市.八年级月考)⑴(3x+y)(y-3x)-4y(x-y)

(2)2x(x-y)-5y(2x+y)+4y(x+y)

参考答案

1.B

【分析】

原式利用平方差公式变形，判断即可.

【详解】

解:原式=(2〃+1++1—2〃+1)=8/1,

•.•〃为正整数，

，结果一定能被8整除.

故选：B.

【点拨】

本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

2.B

【分析】

根据平方差公式的结构特征进行解答即可.

【详解】

解：结合题意，可知相同项是-a,相反项是1和-1,

•'•空格中应填：1-a.

故选：B.

【点拨】

本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的结构特征，是解决此类问题的关键.

3.C

【分析】

利用平方差公式(a-3(。+))=/—〃求解即可.

故选：c.

【点拨】

此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题关键.

4.D

【分析】

根据平方差公式对各选项进行逐一分析即可.

【详解】

解：A,(5x-2ah\5x+2ab)=25x2-4a2b2.故能用平方差公式计算，不合题意；

222

B、(ax-y)(-ax-y)=-ax+y,故能用平方差公式计算，不合题意；

222

C、(-ah-cXab-c)=c-ab,故能用平方差公式计算,不合题意;

D、(m+n)(-m-n)=-(m+n)2,故不能用平方差公式计算，符合题意；

故选D.

【点拨】

本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键.平方差公式：(a+bMa-bAaLb?.

5.D

【分析】

逆用平方差公式即可求解.

【详解】

(一5a2+4b2)(-5«2-4Z?2)=25/-16/,

应填：—5a2—4/.

故选:D.

【点拨】

本题主要考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键.

6.B

【分析】

先给第一个括号内提取负号，再利用平方差公式计算.

【详解】

解：(—2a—3Z?)(2a—3Z?)

=一(2。+3匕)(2。一3匕)

=T(2a)2-(332]

=9b2-4a2，

故选：B.

【点拨】

本题考查平方差公式.熟记平方差公式并能正确给原代数式正确变形是解题关键.

7.D

【分析】

根据题意得出一般性规律，写出第⑧个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表

示即可.

【详解】

解：根据题意得：

第⑧个式子为5555555552-4444444452

=(555555555+444444445)x(555555555-444444445)

=l.lllllllxlO17.

故选：D.

【点拨】

此题考查了平方差公式，数字型规律，以及科学记数法表示较大的数，熟练掌握平方差公式

是解本题的关键.

8.A

【分析】

首先利用平方差公式，求得k+46=(a+b)(a-b)+4b,继而求得答案.

【详解】

Va+b=2,

a1—b2+4b=(a+b)(a-b)+4b=2a-2b+4b=2a+2b=4.

故选择：A.

【点拨】

本题考查了平方差公式的应用.注意利用平方差公式将原式变形是关键.

9.B

【分析】

根据幕的乘方和积的乘方的运算方法，合并同类项的方法以及平方差公式，逐项判断即可.

【详解】

解：♦.•3a2-a：!=2a2,...选项A不符合题意；

：(3a)2=9a2,.,.选项B符合题意；

•••(a3)4=aE.•.选项c不符合题意：

"."a--b_=(a+b)(a-b),

...a'bMa+bXa-b),...选项D不符合题意.

故选：B.

【点拨】

本题主要考查了幕的乘方和积的乘方，合并同类项的方法以及平方差公式，要熟练掌握，解

答此题的关键是要明确:①(am)n=amn(m,n是正整数);②(ab)(n是正整数).

10.D

【分析】

根据平方差公式因式分解然后约分，便可归纳出来即可.

【详解】

37

—>一

512

•♦45>46，

此选项不符合题意;

1155

B、A4=\1-

了人1一不8

2581290

.935

'25<90,

工以6,

此选项不符合题意;

113

C、“2=1-济“

且九九―…,

4681012

3

岂2时，恒有4心二,

4

此选项不符合题意;

,-2015+120161008

D、当"1=2015时，A,“=------------=--------=--------

2x201540302015

,_1008

当n>m时，A<------

n2015

1AQO

•••存在正整数团，使得当”＞布时，A”〈氤

此选项符合题意;

故选择：D.

【点拨】

本题考查数字的变化规律，平方差公式，关键是根据题目找出规律是关键.

11.A

【分析】

根据定义把二阶行列式表示成整式，然后再化简计算即可.

【详解】

解：由题意可得:

aa—2

Q(Q+1)—(Q—2)(。+2)

a+2a+\

=a2+a--4)

=ci~Cl—CT+4

=a+4,

故答案为A.

【点拨】

本题考查整式乘法的混合运算，通过观察题目给出的运算法则，把所求解的算式根据运算法

则展开是解题关键.

12.C

【分析】

原式中的3变形为22-1,反复利用平方差公式计算即可得到结果.

【详解】

解：3(22+1)(24+1)(28+1)...(232+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)...(232+1)

+1

=(24-1)(24+1)(28+1)...(232+1)+1..=264-1+1=264,

,."21=2,22=4,23=8,24=16,25=32....

个位上数字以2,4,8,6为循环节循环，

：64+4=16,

.••Z64个位上数字为6,即原式个位上数字为6.

故选：C.

【点拨】

本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

13.B

【分析】

先配一个(2-1),则可利用平方差公式计算出原式=2味然后利用底数为2的正整数次事的

个位数的规律求解.

【详解】

解：原式=(2-1)(2+1)x(22+1)x(24+1)x...x(232+1)+1

(22-1)x(22+1)x(24+|)x...x(232+1)+1

=(24-l)x(24+l)x...x(232+l)+1

=(232-l)x(232+l)+1

=2M-1+1

=2M,

因为7=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,

所以底数为2的正整数次塞的个位数是2、4、8、6的循环，

所以2目的个位数是6.

故选:B.

【点拨】

】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘,

等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)-a2-b2.

Q

14.39999-

9

【分析】

将原式变形为(200-+,利用平方差公式进行计算即可得解.

【详解】

解：199-x200-

33

=(200_；)(200+g

=2(X)2—［、

=40000--

9

Q

=39999-.

9

Q

故答案是：39999-

【点拨】

本题考查了平方差公式，能够将原式变形为1200-是解题的关键.

15.1

【分析】

根据积的乘方法逆运算化简份2。2。=[(«+/,)(«_/,)]2020,然后根据平方差公式

先把括号里面计算，最后把给出的式子的值整体代入计算即可.

【详解】

解：(。+力由5-加2必

20

=[(a+h)(a-b)f

=(/—力2严。

a2—b2=—1

(«2-^2)2(,20=(-1)2020=1

故答案为：1.

【点拨】

此题考查了积的乘方的逆运算和平方差公式，熟练掌握积的乘方公式和平方

差公式3+。)(。-〃)=。2是解此题的关键.

16.1-0.25

【分析】

利用平方差公式进行解答；根据积的乘方的运算法则解答.

【详解】

解：20182-2017X2019

=20I82-(2018-1)x(2018+1)

=20182-(20182-1)

=1;

420,8X(-0.25)20,9

=.420I8X0,252(,I8X0.25

=-(4x0.25)238x0.25

=-0.25.

故答案为：1,-0.25.

【点拨】

本题考查了平方差公式，积的乘方，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其

结果是相同项的平方减去相反项的平方.

17.-4

【分析】

原式变形后再根据平方差公式计算即可.

【详解】

108xll2-1102

=(110—2)*(110+2)-IIO?

=1102-22-1102

=-4

故答案为：4

【点拨】

本题考查平方差公式，解题的关键是将原式改为含平方差公式的式子再进行运算.

18.250000

【分析】

利用平方差公式进行计算，即可求解.

【详解】

原式=(500-2)x(500+2)+4

=5002-22+4

=250000.

【点拨】

本题主要考查利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握平方差公式，是解题的关键.

19.±36

【分析】

先利用平方差公式计算等式的左边，再与右边进行比较可得出m、n的值，然后代入求值即

可得.

【详解】

(m+3x)(m-3x)=m2-9x2=16-nx2-

/.nr=16,〃=9,

解得m=+4,

则mn=±4x9=±36,

故答案为：±36.

【点拨】

本题考查了利用平方差公式进行运算求值，熟记公式是解题关键.

20.4

【分析】

原式利用平方差公式分解，把各自的值代入计算即可求出值.

【详解】

解：：m+2n=2,m-2n=2,

.'.m2-4n2—(m+2n)(m-2n)=2x2=4.

故答案为：4.

【点拨】

本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提.

2017

21.

4032

【分析】

根据平方差公式把原式变形即可求解.

【详解】

=­X—X—X—X—X—X---X----------X------------

22334420162016

2017

―4032.

2017

故答案为:

4032

【点拨】

此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是熟知平方差公式的特点及有理数的运算.

22.795

【分析】

把原式化为(200+1)(200-1)利用平方差公式后，再次利用平方差公式进行计算即可.

【详解】

解：原式=(200+1)(200-1)-1982

=2002-1-1982

=(200+198)(200-198)-1

=398x2-1

=796-1

=795,

故答案为：795.

【点拨】

本题主要考察了平方差公式的应用，将式子适当变形是解题的关键.

23.8

【分析】

由平方差公式可得(加一3〃)(加+3")=1—9〃2,然后整体代入已知的式子求解即可.

【详解】

解：因为(加一3〃)(m+3〃)=M-9八之，"_9〃2=24,团+3〃=3，

所以(Zw-3〃)x3=24,

所以"z-3〃=8.

故答案为：8.

【点拨】

本题考查了整式乘法的平方差公式，属于基础题目，熟练掌握平方差公式、灵活应用整体思

想是解题的关键.

4

2

9--

【分析】

直接利用平方差公式即可求解.

【详解】

解:亭+“一如+卜衬.〃2=扣_-

4,,

故答案为：.

【点拨】

本题考查整式的乘法，掌握平方差公式是解题的关键.

5

25.500——

12

【分析】

(I)先利用平方差公式对分母进行处理，再进行计算，即可；

(2)根据积的乘方公式的逆运用，以及乘方的意义，即可求解.

【详解】

(lOOO?

2522-248?

10002

"(252-248)(252+248)

IO。。？

4x500

_lOOO?

~2000

1000000

2000

=500,

故答案是：500；

~~n

故答案是：-

12

【点拨】

本题主要考查有理数的简便计算，熟练掌握平方差公式和积的乘方公式，是解题的关键.

26.(1)①6,2；②2%一1，5：(2)6

【分析】

(1)①分别计算即可得到结果；②把1写成(2—1)后用平方差公式计算即可；

(2)把3写成(4-1)后用平方差公式计算，再根据所得结果都是奇数进行判断即可;

【详解】

解：（1）①24=16，•,•个位上是6：25=32，；•个位上是2；

②（2—1）（2+1）（22+1）04+1）Q8+1）=（2—1）（2+1）（22+1）04+1）（28+1）=*_］；

2'6-1=655351••.个位上是5；

（2）3（4+1）（42+1）（44+1）（48+1）+1,

=（4-1）（4+1）（42+1）（44+1）（48+1）+1,

=（42-1）（42+1）（44+1）（48+1）+1,

=（44-1）（44+1）（48+1）+1,

=（48-1）（48+1）+1,

=416，

•.•4+1=5,而4一1,42+b44+1.4匕1的结果都是奇数,

又•••奇数与5相乘的积个位数字是5.

,最后结果的个位数为5+1=6.

（方法不唯一，正确即可）

【点拨】

本题主要考查了有理数的乘方，平方差公式的应用，准确利用公式计算是解题的关键.

27.(1)2/；(2)16a/4；(3)-a4+2a+h2^(4)x2-4y2：(5)x2+2xy+y2-i

【分析】

(1)利用塞的乘方和同底数幕的乘法计算即可；

(2)利用基的乘方计算即可；

(3)利用分配律和同底数慕的除法计算即可；

(4)利用平方差公式