2024-2025学年福建省厦门市思明区高二上册10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省厦门市思明区高二上学期10月月考数学检测试题注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效.3．考试结束，考生只须将答题卡交回.一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案.1.经过，两点的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（）A. B. C. D.3.已知圆，则圆的半径为（）A. B. C. D.4.如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.5.已知直线过点，其方向向量为，直线过点B2,1，其方向向量为，若，则（）A.－2 B.1C.－2或1 D.0或26.圆：关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.7.如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，则（）A. B. C. D.8.正四面体棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.二、多选题：本大题3小题，全选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分.9.直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A.， B.，C. D.10.若有一组圆：，下列命题正确是（）A.所有圆的半径均为2B.所有的圆的圆心恒在直线上C.当时，点在圆上D.经过点的圆有且只有一个11.在四面体ABCD中，棱AB的长为4，，，，若该四面体的体积为，则（）A.异面直线AB与CD所成角的大小为B.AC的长可以为C.点D到平面ABC的距离为D.当二面角是钝角时，其正切值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角的余弦值为______．13.已知两条平行直线间的距离为，则____.14.小明在街道散步时听见呼救声，发现道旁的湖中有落水者，准备立即施救．如图所示，小明位于人行道上的O0,0点，落水者位于；已知小明小跑的速度为，游泳速度为，则他到达落水者位置所用的最短时间为______s．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置.15.如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．（1）试用向量，，表示向量；（2）若，，求值．16.已知点，动点P满足．（1）求动点P的轨迹方程：（2）若动点Q满足，求动点Q轨迹方程；17.已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求面积．18.如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为.（1）证明：直线平面；（2）设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，.19.阅读材料：折纸几何学是指从数学的角度对折叠过程加以研究，如欧几里德为平面几何设计了公理一样，现代数学家藤田文章（HumiakiHuzita）和羽鸟公士郎（KoshiroHatori）设计了一套完整的公理体系来描述折纸操作——Huzita-Hatori公理，假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，这些公理描述了通过折叠纸张可能达成的所有操作，其中的第六条公理叙述如下：·给定两个点，，和两条相交直线，，存在一个折叠，可以使落在上，同时落在上．（如图1）图1不同于尺规作图，折纸操作在折叠过程借用了三维空间，翻转了“平面”，借助这些公理，可解决一些尺规作图无法解决的作图问题．（ⅰ）倍立方体问题：作出体积是给定正方体两倍的正方体棱长①如图19-2，首先将正方形ABCD三等分，②将B折到线段AD上，同时将M折到线段PQ上，③则点将AD分成两段，其长度之比恰为所求．图2（ⅱ）三等分锐角问题：（如图19-3）①在矩形纸ABCD上折出锐角②在AD上标注点M，对折AM，折痕记为NQ；③折叠纸张，使得点M落到AE上，点A落到NQ上，④把M、N、A落地点分别记为P、H、G，折痕记为RF；AH、AG就是的三等分线图3结合阅读材料解决以下问题：（1）在平面直角坐标系中，已知，，若能通过折叠使A，B分别落在x轴，y轴上，求折痕所在直线l的方程；（2）求证：在倍立方体问题中，；（3）如图4，直线的倾斜角为，若直线n过原点，且倾斜角为，请结合三等分锐角的案例，设计折出直线n的步骤，并加以证明．图42024-2025学年福建省厦门市思明区高二上学期10月月考数学检测试题注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效.3．考试结束，考生只须将答题卡交回.一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案.1.经过，两点的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】求出过两点的直线的斜率，结合倾斜角和斜率的关系，即可求得答案.【详解】由题意得经过，两点的直线的斜率为，而直线倾斜角范围为，故经过，两点的直线的倾斜角为，故选：C2.在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的特点，即可求出B的坐标.【详解】由题意在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为，故选：C3.已知圆，则圆半径为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】将圆的一般方程化为标准方程可求得其半径详解】解：由，得，所以圆半径为3，故选：A4.如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系,从而在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量.【详解】∵平面,，∴,,故以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，令.则，则，∴在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量为.故选：C.5.已知直线过点，其方向向量为，直线过点B2,1，其方向向量为，若，则（）A.－2 B.1C.－2或1 D.0或2【正确答案】B【分析】通过方向向量平行，求得，再验证即可.【详解】因为，所以，所以，解得：或，当时，两直线的斜率为，此时，满足题意；当时，两直线的斜率为，此时，即两直线重合，故舍去；故选：B6.圆：关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】圆关于直线对称的圆之间的关系为：圆心关于直线对称，半径相等.所以求出关于直线对称的对称点即可解题.【详解】圆：的圆心为，半径为2，设关于直线对称的对称点为，则，解得.关于直线对称的对称点为，圆：关于直线对称的圆的方程为.故选：D.7.如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.【详解】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以，所以．故选：D8.正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，又，所以，，所以的取值范围为．故选：D．二、多选题：本大题3小题，全选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分.9.直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A.， B.，C. D.【正确答案】BD【分析】利用直线，的横截距判断AB；利用直线，斜率的大小判断CD.【详解】依题意，直线的横截距，直线的横截距，A错误，B正确；直线的斜率，直线的斜率，则，于是，C错误，D正确.故选：BD10.若有一组圆：，下列命题正确的是（）A.所有圆的半径均为2B.所有的圆的圆心恒在直线上C.当时，点在圆上D.经过点的圆有且只有一个【正确答案】AB【分析】根据圆的标准方程和性质逐项判断求解；【详解】选项A:，，故选项正确；选项B:根据可得，圆心为，在，故选项正确；选项C:当时，，代入不满足方程，故选项错误；选项D:代入得：即有两个解，故选项错误；故选：AB.11.在四面体ABCD中，棱AB的长为4，，，，若该四面体的体积为，则（）A.异面直线AB与CD所成角的大小为B.AC的长可以为C.点D到平面ABC的距离为D.当二面角是钝角时，其正切值为【正确答案】ACD【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得，即可由异面直线的角的定义求解A，根据余弦定理即可求解B，根据等体积法即可求解C，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面内过作，且,由于，故四边形为矩形，，，，平面，平面，故平面，故，故，因此，由于，所以或，由于为异面直线与所成角或其补角，故异面直线与所成角的大小为，A正确，当时，,由于平面，，∴平面，平面，故，此时,当时，,由于平面，，∴平面，平面，故，此时,故B错误，由于,,当时，，故，,当时，，故，,故点到平面的距离为,C正确，当时，,,取中点为，连接,,则即为二面角的平面角，,所以,故为钝角，符合题意，此时，当，由于，点到平面的距离为,设在平面的投影为,则,故,,因此点为以,为圆心，以半径为,为半径的圆的交点，显然交点位于,同的一侧，故此时二面角为锐角，不符合要求，故D正确，故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角的余弦值为______．【正确答案】【分析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，利用数量积求夹角公式，即可求得答案.【详解】因为两条异面直线的方向向量分别是,，所以,，,因为两条异面直线所成的角为，所以.故13.已知两条平行直线间的距离为，则____.【正确答案】5【分析】先利用两直线平行求得m的值，再利用两平行直线间的距离公式求得n的值，进而求得的值.【详解】根据题意，两条直线平行，必有，解可得则即，变形可得，又由两条平行直线间的距离为，则有，故，解之可得或，则时；时.故5.14.小明在街道散步时听见呼救声，发现道旁的湖中有落水者，准备立即施救．如图所示，小明位于人行道上的O0,0点，落水者位于；已知小明小跑的速度为，游泳速度为，则他到达落水者位置所用的最短时间为______s．【正确答案】【分析】设，求得，，从而构造时间函数，通过求导确定单调性即可求解.【详解】如图假设小明先跑到点，再游泳去点，设，可知，因为，所以，所以，所以小明用时其中求导得：当时，，当时，，当时，，此时满足范围：所以可知当时，取得最小值.故四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置.15.如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．（1）试用向量，，表示向量；（2）若，，求的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果；（2）把用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果.【小问1详解】因为，所以，所以，因为点E为的中点，所以.【小问2详解】因为，，所以.16.已知点，动点P满足．（1）求动点P的轨迹方程：（2）若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程；【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用两点距离公式代入整理即可得解；（2）利用相关点法与平面向量的坐标表示，结合（1）中结论即可得解.【小问1详解】依题意，设点，又，因为，即，化简可得，即，所以动点P的轨迹方程为；【小问2详解】设，又，因为，所以，即，得，由（1）知，所以，整理得动点Q的轨迹方程为.17.已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由点在直线上，设，由为边上的中线，得出线段的中点在直线上，根据中点公式求出中点，代入直线的方程即可求解；（2）由是的一条角平分线，得出点关于直线的对称点在直线上，由点关于直线对称得出坐标，结合点的坐标求出直线的方程，再与直线联立求出的坐标，由两点之间距离公式求出，由点到直线距离公式求出到直线的距离，即可根据三角形面积公式代入计算即可．【小问1详解】因为直线方程为，设，又，所以线段的中点坐标为，因为线段的中点在直线上，所以，整理得，即，所以．【小问2详解】因为是的一条角平分线，所以点关于直线的对称点在直线上，设，则，解得，所以，所以直线的方程为，整理得，联立直线与直线的方程，，解得，即，所以，点到直线的距离，所以．18.如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为.（1）证明：直线平面；（2）设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先得出，所以平面，由线面平行的性质得，再由面面垂直的性质得出平面，即可得证；（2）解法一：连接，则，，在中，在中，，因为，可得的值；解法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，分别表示和，结合可得.【小问1详解】因为分别是的中点，则，因为平面，平面，从而平面，因为平面，平面平面，则，因为平面平面，平面平面，，平面，则平面，所以直线平面；【小问2详解】解法一：因为平面，平面，则，又，则，因为为正三角形，为的中点，则，，、平面，从而平面，连接，则，因为，，则，在中，，在中，，因为，则，得，所以当时，；解法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则点A2,0,0，，，，，从而，，设平面的法向量m=x,y,z则，取，得设点，则，所以，，因为，则，得，所以当时，.19.阅读材料：折纸几何学是指从数学的角度对折叠过程加以研究，如欧几里德为平面几何设计了公理一样，现代数学家藤田文章（HumiakiHuzita）和羽鸟公士郎（KoshiroHatori）设计了一套完整的公理体系来描述折纸操作——Huzita-Hatori公理，假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，这些公理描述了通过折叠纸张可能达成的所有操作，其中的第六条公理叙述如下：·给定两个点，，和两条相交直线，，存在一个折叠，可以使落在上，同时落在上．（如图1）图1不同于尺规作图，折纸操作在折叠过程借用了三维空间，翻转了“平面”，借助这些公理，可解决一些尺规作图无法解决的作图问题．（ⅰ）倍立方体问题：作出体积是给定正方体两倍的正方体棱长①如图19-2，首先将正方形ABCD三等分，②将B折到线段AD上，同时将M折到线段PQ上，③则点将AD分成两段，其长度之比恰为所求．图2（ⅱ）三等分锐角问题：（如图19-3）①在矩形纸ABCD上折