2024-2025学年高中数学课时分层作业22导数的实际应用含解析新人教B版选修1-1

PAGE1-课时分层作业(二十二)导数的实际应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A．10B．15C．25D．50C[如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθcosθ＝25sin2θ，∴当sin2θ＝1时，函数取得最大值25，此时θ＝45°，故Smax＝25.]2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0＜x＜60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为()A．30B．40C．50D．60B[V′(x)＝－eq\f(3,2)x2＋60x＝－eq\f(3,2)x(x－40)，因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)＞0，此时V(x)单调递增；当40＜x＜60时，V′(x)＜0，此时V(x)单调递减，所以x＝40是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.]3．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A．eq\r(3,V)B．eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)C[设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝eq\f(1,2)x2·sin60°·l，∴l＝eq\f(4V,\r(3)x2)，∴S表＝x2·sin60°＋3·x·l＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)，S′表＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2).令S′表＝0，∴x3＝4V，即x＝eq\r(3,4V).又当x∈(0，eq\r(3,4V))时，S′表＜0，当x∈(eq\r(3,4V)，＋∞)时，S′表＞0，∴当x＝eq\r(3,4V)时，表面积最小．]4．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长)，其他三边须要砌新的墙壁，若使所用的材料最省，则堆料场的长和宽应分别为()A．32米，16米 B．30米，15米C．64米，8米 D．36米，18米A[要使材料最省，则新砌的墙壁的总长度应最短．设堆料场宽为x米，则长为eq\f(512,x)米，因此新墙总长L(x)＝2x＋eq\f(512,x)(x＞0)，则L′(x)＝2－eq\f(512,x2).令L′(x)＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．故当x＝16时，L(x)取得最小值，此时长为eq\f(512,16)＝32(米)．]5．某银行打算新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行汲取的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A．0.0162 B．0.0324C．0.0243 D．0.0486B[依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2(0<x<0.0486)．令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0<x<0.0324时，y′>0；当0.0324<x<0.0486时，y′<0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．]6．某商品每件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．115[由题意知，利润S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000(30≤x≤200)，所以S′(x)＝－2x＋230.令S′(x)＝0，解得x＝115.当30≤x<115时，S′(x)>0；当115<x≤200时，S′(x)<0.所以当x＝115时，利润S(x)取得极大值，也是最大值．]7．用长为18米的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽及高分别为________时，框架的体积最大．2米、1米和eq\f(3,2)米[设长方体的宽为x米，则长为2x米，高为eq\f(18－12x,4)＝eq\f(9,2)－3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))，则V＝x·2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－3x))＝9x2－6x3，令V′＝18x－18x2＝0，解得x＝1，或x＝0(舍去)．当0<x<1时，V′>0；当1<x<eq\f(3,2)时，V′<0.所以x＝1时体积V取得极大值，也就是最大值，此时长方体的长为2米，高为eq\f(3,2)米．]8．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．25[设产品的单价为P万元，依据已知，可设P2＝eq\f(k,x)，其中k为比例系数．因为当x＝100时，P＝50，所以k＝250000，所以P2＝eq\f(250000,x)，P＝eq\f(500,\r(x))，x＞0.设总利润为y万元，则y＝eq\f(500,\r(x))·x－1200－eq\f(2,75)x3＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200.求导数得，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2.令y′＝0得x＝25.故当x<25时，y′>0；当x>25时，y′<0.因此当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．]9．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产实力和技术水同等因素限制，会产生肯定数量的次品．依据阅历知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满意关系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？[解](1)由题意得，所获得的利润为y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知，y′＝eq\f(－6x2＋20x＋96,x)＝eq\f(－23x＋8x－6,x).当4≤x<6时，y′>0，函数在[4,6]上为增函数；当6<x≤12时，y′<0，函数在[6,12]上为减函数，所以当x＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y＝20×6－3×62＋96ln6－90＝96ln6－78(万元)即当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为96ln6－78万元．10．如图所示，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m,3m．某广告公司安排在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN∶NE＝16∶9.线段MN必需过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN＝xm，液晶广告屏幕MNEF的面积为Sm2.(1)用含x的代数式表示AM；(2)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；(3)当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？[解](1)AM＝eq\f(3x,x－9)(10≤x≤30)．(2)MN2＝AN2＋AM2＝x2＋eq\f(9x2,x－92).因为MN∶NE＝16∶9，所以NE＝eq\f(9,16)MN，所以S＝MN·NE＝eq\f(9,16)MN2＝eq\f(9,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\f(9x2,x－92)))，定义域为[10,30]．(3)S′＝eq\f(9,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋\f(18xx－92－9x22x－18,x－94)))＝eq\f(9,8)×eq\f(x[x－93－81],x－93)，令S′＝0，得x＝9＋3eq\r(3,3)或x＝0(舍去)．当10≤x＜9＋3eq\r(3,3)时，S′＜0，S为减函数；当9＋3eq\r(3,3)＜x≤30时，S′＞0，S为增函数，所以当x＝9＋3eq\r(3,3)时，S取得最小值．[实力提升练]1．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元D[毛利润为(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30)．令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)，当20≤P<30时，f′(P)>0，当P>30时，f′(P)<0.故当P＝30时，毛利润最大，所以f(P)max＝f(30)＝23000(元)．]2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x0≤x≤390，,90090x＞390，))则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A．150 B．200C．250 D．300D[由题意当年产量为x时，总成本为20000＋100x，又总收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x＞390，))∴总利润Q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x－20000－100x，0≤x≤390，,90090－20000－100x，x＞390，))即Q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,－100x＋70090，x＞390.))①当0≤x≤390时，Q′(x)＝－eq\f(x2,300)＋300，令Q′(x)＝0得x＝300，由300＜x≤390得Q′(x)＜0，此时Q(x)是减函数；由0＜x＜300得Q′(x)＞0，此时Q(x)是增函数，∴当0≤x≤390时，Q(x)max＝Q(300)＝40000(元)；②当x＞390时，Q(x)＝－100x＋70090是减函数，∴Q(x)＜Q(390)＝31090(元)；∴当x＝300时，Q(x)的最大值为40000.]3．将边长为1m的正三角形薄片沿一条平行于底面的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝eq\f(梯形的周长2,梯形的面积)，则S的最小值是________．eq\f(32\r(3),3)[设剪成的小正三角形的边长为x，则S(x)＝eq\f(3－x2,\f(\r(3),4)12－x2)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(3－x2,1－x2)(0＜x＜1)，S′(x)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(2x－61－x2－3－x2－2x,1－x22)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(－23x－1x－3,1－x22)，令S′(x)＝0(0＜x＜1)，得x＝eq\f(1,3).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))时，S′(x)＜0，S(x)单调递减；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))时，S′(x)＞0，S(x)单调递增，故当x＝eq\f(1,3)时，S取得最小值，是eq\f(32\r(3),3).]4．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－eq\f(1,8)q.则产量q为________时，利润L最大．84[收入R＝qp＝qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,8)q))＝25q－eq\f(1,8)q2.利润L＝R－C＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25q－\f(1,8)q2))－(100＋4q)＝－eq\f(1,8)q2＋21q－100(0＜q＜200)，法一：L′＝－eq\f(1,4)q＋21，令L′＝0，即－eq\f(1,4)q＋21＝0，解得q＝84.当0＜q＜84时，L′＞0；当84＜q＜200时，L′＜0，所以当q＝84时，L取得最大值，即产量为84时，利润L最大．法二：L＝－eq\f(1,8)q2＋21q－100＝－eq\f(1,8)(q2－168q＋842)＋eq\f(842,8)－100＝－eq\f(1,8)(q－84)2＋782(0＜q＜200)，所以当q＝84时，L取最大值782.故产量为84时，利润L最大．]5．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演化成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2024年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”期间的销售量p万件与促销费用x(0≤x≤a，a为正常数)万元满意p＝3－eq\f(2,x＋1).已知生产该批产品p万件需投入成本(10＋2p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(20,p)))元/件，假定厂家的生产实力完全能满意市场的销售需求．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？[解](1)由题意知y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(20,p)))p－x－(10＋2p)＝2p－x＋10，将p＝3－eq\f(2,x＋1)代入化简，得y＝16－x－eq\f(4,x＋1)(0≤x≤a)．(2)法一：当a＞1时，y＝17－eq\b\lc\