7.3特殊角的三角函数苏科版初中数学九年级下册同步练习【含试卷答案】

7.3特殊角的三角函数苏科版初中数学九年级下册同步练习第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算2cos30°的结果为(

)A.12 B.1 C.3 2.如图1，是一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA=OB=OC=OD=203cm，∠COD=60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是(

)A.303cm

B.603cm3.如图，在平面直角坐标系中，正八边形ABCDEFGH的中心与原点O重合，顶点A，E在y轴上，顶点G，C在x轴上，连接OB，过点A作OB的垂线，垂足为P，将△APB绕点O顺时针旋转，每次抛转45°，已知OA=3，则第82次旋转结束时，点P的坐标为(

)

A.(32,32) B.(−4.已知α为锐角，tan(90°−α)=33，则αA.30° B.45° C.60° D.75°5.计算：2cos60∘的值是

(

)A.3 B.1 C.2 6.下列不等式不成立的是

(

)A.sin20∘<sin40∘<sin707.如图，两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB=120∘，AO=BO=4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了(

)

A.2cm B.4cm C.(43−4)cm8.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OBA的顶点A(3,1)，直角顶点B在一次函数y=3x的图象上，分别以点O、A为圆心，以大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与OB交于点PA.(34,1) B.(239.如图，△OAC按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，OA边在x轴上，OA=8，AC=4，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转得到△O′AC′，使得点O′的坐标是(4,43)，则在这次旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为

(

)

A.8π B.2π3 C.2π D.10.若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα−32|+(A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形11.已知a=3，且(4tan45°−b)2+3+12b−c=0，以A.6 B.7 C.8 D.912.若(tanA−1)2+|2cosB−3A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.在△ABC中，若|sinA−12|+214.如图，在菱形ABCD中，AC=2cm，BD=23cm，分别以A、C为圆心，AC为半径作弧，则图中阴影部分面积等于___________cm215.如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则sin(∠CAB+∠ABC)=___．16.在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA−12|+1−tan三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8分)

(1)2(x−3)2=x2−918.(本小题8分)

(1)计算：(π−3)0+(1319.(本小题8分)

(1)计算：2sin45°+|2−1|−(12)−2+23−2．

(2)解不等式组：3x−3>4x1−2x2<−20.(本小题8分)

先化简，再求值：a2−4a+4a−1÷(a+1−21.(本小题8分)

(1)计算：(π−2023)0−2cos30°−25+|1−322.(本小题8分)

阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：

sinα=BCAC，cosα=ABAC，tanα=BCAB

一般地，当α、β为任意角时，sin(α+β)与sin(α−β)的值可以用下面的公式求得：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ

例如sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°

=22×32−22×123.(本小题8分)

计算：(1)计算：|−3|+(15)−1−27+2cos30°24.(本小题8分)

(1)计算：(π−1)0+4sin45°−8+|−2|25.(本小题8分)

先化简，再求代数式的值：(3a+1−a+1)÷a2+4a+4答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵cos30°=32，

∴2cos30°=2×32=3．

故选：C2.【答案】D

【解析】解：如图，连接CD，过点O作OF⊥CD交于点F，延长FO交AB于点E，

由题意可知AB/​/CD，

∴OE⊥AB，

∵OA=OB=OC=OD=203，∠COD=∠AOB=60°，

∴△COD、△AOB为等边三角形，△COD≌△AOB，

∴∠COF=30°，OF=OE，

∴OF=OC⋅cos∠COF=203×32=30cm，

∴EF=2OF=60cm，

即点A到地面的距离为60cm．

故选：D．

连接CD，过点O作OF⊥CD交于点F，延长FO交3.【答案】A

【解析】【分析】由ABCDEFGH是正八边形，得∠AOB为45°，利用勾股定理求出OP，过点P作x轴的垂线，垂足Q，在Rt△OPQ中，求出OQ=32，又因为∠BOC=∠AOB=45°，得出PQ=0Q=32，求出点P的坐标为(32,32)，将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则每旋转8次回到初始位置，则第80次旋转结束时，△APB回到初始位置，此时点P的坐标为(32,32)，连接OD，第82【解答】解∵ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOB=360°÷8=45°，在Rt△APO

中，OP=OAcos如图，过点P作x轴的垂线，垂足Q，在Rt△OPQ中，OQ=OP⋅∵∠BOC=∠AOB=45°，∴PQ=0Q=3∴点P的坐标为(3将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则每旋转8次回到初始位置，∴第80次旋转结束时，△APB回到初始位置，此时点P的坐标为(3连接OD，第82次旋转结束时点P′位于OD上，得OPˈ=OP，∠P′OQ=∠POQ=45°，∴点

P″与点P关于x轴对称，∴P′(3∴第82次旋转结束时，点P的坐标为(3故选：A．【点评】本题考查正多边形和圆、坐标与图形变化—旋转，解题的关键是掌握相关知识点．4.【答案】C

【解析】解：∵α为锐角，tan(90°−α)=33，

∴90°−α=30°，

∴α=60°．

故选：C．

先根据α为锐角及5.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查了特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是关键．

【解答】

解：2cos60∘=2×126.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了特殊角的三角函数值，锐角三角函数的增减性，熟记公式是解题的关键，属于基础题.

直接根据两角和与差的正弦和余弦公式解答即可．

【解答】

A.sin 20°<sin 40°<sin 70°，故本选项正确；

B.cos 20°>cos 40°>cos 70°

，故本选项不成立；

C.tan 20°<7.【答案】D

【解析】如图，连接OC，交AB于点E．∵四边形OACB是菱形，∴BC=AC=AO=4cm，OC⊥AB，BE=12AB，∠BOE=12∠AOB=60∘.在Rt△BOE中∵BO=4cm，∠BOE=60∘，sin8.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线的作法及性质，一次函数的性质，锐角三角函数定义等知识．

作AQ⊥OQ，垂足为Q，作PD⊥x轴，垂足为D，先求出∠AOQ=30°，∠BOQ=60°，求出OA，∠AOB=30°，再根据垂直平分线的作法可得OC=1，再用直角三角形的性质和勾股定理求出OP，OD，PD，即可解答．

【解答】

解：如图：作AQ⊥OQ，垂足为Q，作PD⊥x轴，垂足为D，

∵A(3,1)

∴tan∠AOQ=13=33，

∴∠AOQ=30°，

在一次函数y=3x取点(1,3)，

则tan∠BOQ=3，

∴∠BOQ=60°，

∴∠AOB=30°，OA=32+12=2，

设OA与MN9.【答案】A

【解析】解：作O′M⊥OA于M，

则∠O′MA=90∘，

∵点O′的坐标是(4,43)，

∴O′M=43，OM=4，

∵AO=8，

∴AM=8−4=4，

∴tan∠O′AM=434=3，

∴∠O′AM=60∘，即旋转角为60∘，

∴∠CAC′=∠OAO′=60∘，

∵△OAC绕点A按顺时针方向旋转得到△O′AC′，

∴S△OAC=S△O′AC′，

∴10.【答案】C

【解析】解：∵|sinα−32|+(3−tanβ)2=0，

∴sinα−32=0，3−tan β=0，

∴sinα=32，tanβ=3，

又∵α，β都是锐角，

∴α=60°，β=60°，11.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了非负性的性质及勾股定理逆定理的应用，先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出c，b的值，再根据勾股定理的逆定理判断出其形状，从而求解面积．

【解答】

解：∵(4tan45°−b)2+3+12b−c=0，

∴4tan45°−b=0，3+12b−c=0，

∴b=4，3+12b−c=0，∴c=5．

又∵12.【答案】C

【解析】解：∵(tanA−1)2+|2cosB−3|=0，

∴tanA=1，2cosB=3，

则tanA=1，cosB=32，

故∠A=45°，∠B=30°，

则∠C=105°，

故△ABC的形状是钝角三角形．

13.【答案】105°

【解析】【分析】

本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．

【解答】

解：由题意得，sinA−12=0，22−cosB=0，

即sinA=12，2214.【答案】

【解析】【分析】

本题考查菱形的性质，特殊角的函数值，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．

在菱形ABCD中，AC⊥BD于O，得出则OA=1cm，OB=3cm，得出∠CAB=60°，再用割补法求面积．

【解答】

解：如图：

在菱形ABCD中，AC⊥BD于O，

则OA=12AC=1cm，OB=115.【答案】2【解析】【分析】

本题考查了三角形外角性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，正确作出图形是解题的关键．根据三角形外角的性质得到∠DCB=∠CAB+∠ABC，推出△CDB是等腰直角三角形，得到∠DCB=45°，即可解答．

【解答】

解：如图，

∵∠D=90°，

CD=BD=22+42=25，

∴△CDB是等腰直角三角形，

∴∠DCB=45°，

∵∠DCB=∠CAB+∠ABC，

∴∠CAB+∠ABC=45°16.【答案】105

【解析】∵|sin∴|sinA−12|=0，1−tanB2=0，∴sin17.【答案】解：(1)2(x−3)2=x2−9，

2(x−3)2−(x+3)(x−3)=0，

(x−3)(x−9)=0，

∴x−3=0或x−9=0，

∴x1=3，x2=9；

【解析】(1)利用因式分解法求解即可；

(2)将特殊锐角的三角函数值代入，再计算乘方和后面的乘法，继而进一步计算即可．

本题主要考查解一元二次方程的能力及实数的运算能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：(1)原式=1+1(13)2+33−9×33=1+9+33−33=10；【解析】(1)先按照零指数幂、负整数指数幂的意义、二次根式的性质、特殊角的三角函数值逐项化简，再算加减即可；

(2)分别求出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到”的原则即可获得答案．

本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂的意义、二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及解一元一次不等式组等知识，熟练掌握相关知识和运算法则是解题关键．19.【答案】解：(1)原式=2×22+2−1−4+2(3+2)

=2+2−1−4+23+22

=42+23−5；

(2)解不等式3x−3>4x，得：x<−3，

解不等式1−2x2<−x2，得：x>1【解析】(1)分别根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则，分母有理化计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；

(3)先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的，最后结合分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值．

本题主要考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．20.【答案】解：a2−4a+4a−1÷(a+1−3a−1)−1

=(a−2)2a−1÷(a+1)(a−1)−3a−1−1

=(a−2)2a−1÷a2【解析】先关键分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，再算减法，求出a的值后代入，即可求出答案．

本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．21.【答案】解：(1)原式=1−2×32−5+3−1

=1−3−5+3−1

=−5；

(2)解不等式①得：【解析】(1)原式第一项利用零指数幂的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用平方根的意义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．

(2)先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．

本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．22.【答案】解：(1)2+64；

(2)Rt△ABC中，∵sin∠A=sin75°=BCAB=2+64【解析】解：(1)sin75°=sin(30°+45°)

=sin30°cos45°+cos30°sin45°

=12×22+32×22

=2+23.【答案】解：(1)原式=3+5−33+2×32

=5−23+3

=5−3；

(2)原式=