5.3用待定系数法确定二次函数表达式苏科版初中数学九年级下册同步练习【含试卷答案】

5.3用待定系数法确定二次函数表达式苏科版初中数学九年级下册同步练习第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数x…−2−1012…y…−2.5−5−2.5517.5…则代数式16a−4b+c的值为

(

)A.17.5 B.5 C.−5 D.−17.52.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与x−10234y50−4−30下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1,2)，B(x2A.2 B.3 C.4 D.53.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4−a2的图象，那么a的值是A.2 B.−2 C.−52 4.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为A.y=−x2−4x+5 B.y=x2+4x+55.设函数y=a(x−ℎ)2+k(a,ℎ,k是实数，a≠0)，当x=1时，y=1；当x=8时，y=8，A.若ℎ=4，则a<0 B.若ℎ=5，则a>0

C.若ℎ=6，则a<0 D.若ℎ=7，则a>06.已知二次函数y=ax2+bx−1(a,b是常数，a≠0)的图象经过A(2,1)，B(4,3)，C(4,−1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x−1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的A.最大值为−1 B.最小值为−1 C.最大值为−12 D.7.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(−1,0)，(3,0)，其形状和开口方向与抛物线y=−2x2相同，则y=axA.y=−2x2−x+3 B.y=−2x2+4x+58.已知某二次函数上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)A.y=2(x+1)2 B.y=2(x−1)2 C.9.如图，将函数y=12(x−2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1,m)、B(4,n)平移后的对应点分别为点A′、B′，若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是

(

)

A.y=12(x−2)2−2 B.y=110.已知点A(−2,−c)向右平移8个单位长度得到点A′，A与A′两点均在抛物线y=ax2+bx+c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为−6，则这条抛物线的顶点坐标是A.(2,−10) B.(2,−6) C.(4,−10) D.(4,−6)11.已知二次函数y=ax2+bx+2的图象(a,b是常数)与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C(x1,y1)，D(x2,y2x…−2−1013…y=a…−10−3255…下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=32；②这个函数的最大值大于5；③点B的坐标是(2,2)；④当0<x1<1，4<A.①④ B.②③④ C.②④ D.①②④12.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)中的x与x−1013y−1353下列结论：①ac<0；

②当x>1时，y的值随x的增大而减小；

③3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根；

④当−1<x<3时，ax2+(b−1)x+c>0，A.4个 B.3个 C.2个 D.1个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象经过A0,3，下面四个结论：①抛物线开口向下；②当x=2时，y取最小值−1；③当m≤−1时，一元二次方程ax④直线y=kx+ck≠0经过点A，B，当kx+c>ax2+bx+c时，所有正确结论的序号是

．14.写出一个开口向上，与y轴交于点0,4的抛物线的函数表达式：

．15.请写出一个开口向下，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的表达式

16.抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=−12三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8分)

已知二次函数的图象经过点(0,−4)，且当x=2，有最大值−2.18.(本小题8分)

已知抛物线y=a(x−1)2+ℎ经过点(0,−3)和(3,0)．

(1)求a、ℎ的值；

(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移19.(本小题8分)

已知二次函数的图象如图所示，求出该函数的解析式．

20.(本小题8分)

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为C(3,6)，并与y轴交于点B(0,3)，点A是对称轴与x轴的交点，直线AB与抛物线的另一个交点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接BC、CD，判断△BCD是什么特殊三角形，并说明理由；

(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△BDP为以BD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P21.(本小题8分)已知二次函数几组x与y的对应值如下表：x…−101357…y…650−206…(1)求此二次函数的表达式；(2)直接写出此二次函数图象上与(0,5(3)当y>0时，直接写出x的取值范围．22.(本小题8分)已知二次函数x与y的一些对应值如下表：x…−3−2−1012…y…03−4−305…(1)求此二次函数的表达式；(2)若此二次函数图象上的点到对称轴的距离是4，求出符合条件的点的坐标；(3)当−2<x<3时.直接写出y的取值范围．23.(本小题8分)

已知抛物线y=−3x2+bx+c(b,c为常数)经过点A(0,1)，B(1,−7).24.(本小题8分)

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−4经过A(−4,0)，C(2,0)两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出25.(本小题8分)如图，已知二次函数的图像顶点是P2,−3，且过C点0,5(1)求此二次函数的解析式；(2)已知直线y=x+1与该二次函数图像相交于A，B点，求两点的坐标．(3)写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

答案和解析1.【答案】A

【解析】【答案】

本题考查二次函数解析式的求法，代数式求值；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．

将表中的三组x，y值代入表达式即可求得a，b，c的值，再将求得的a，b，c的值代入代数式求解即可；

【解析】

解：将x=−1，y=−5；x=0，y=−2.5；x=1，y=5代入y=ax2+bx+c，

得到−5=a−b+c−2.5=c5=a+b+c,

∴a=2.52.【答案】B

【解析】解：设抛物线解析式为y=ax(x−4)(a≠0)，

把(−1,5)代入得5=a×(−1)×(−1−4)，解得a=1>0，

∴抛物线解析式为y=x2−4x，所以①正确；

抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−−42×1=2，所以②正确；

∵抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)，由表格可知0∼4之间对应的y值为负值，

∴当0<x<4时，y<0，所以③错误；

抛物线与x轴的两个交点间的距离是4−0=4，所以④正确；

若A(x1,2)，B(x2,3)是抛物线上两点，

则x2−2>x1−2，所以⑤错误．

故选：B3.【答案】B

【解析】解：根据图示知，二次函数y=ax2+5x+4−a2的图象经过原点(0,0)，

∴0=4−a2，

解得，a=±2；

又∵该函数图象的开口方向向下，

∴a<0，

∴a=−2．

故选：B．

根据图示知，抛物线y=a4.【答案】A

【解析】解：由抛物线y=x2−4x+5=(x−2)²+1知，抛物线顶点坐标是(2,1)．

由抛物线y=x2−4x+5知，C(0,5)．

∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是(−2,9)．

∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y=−(x+2)²+9=−x²−4x+5．

故选：A．5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键．

当x=1时，y=1；当x=8时，y=8；代入函数式整理得a(9−2ℎ)=1，将ℎ的值分别代入即可得出结果．

【解答】

解：当x=1时，y=1；当x=8时，y=8；

代入函数式得：1=a(1−ℎ)2+k8=a(8−ℎ)2+k，

∴a(8−ℎ)2−a(1−ℎ)2=7，

整理得：a(9−2ℎ)=1，

若ℎ=4，则a=1，故A错误；

若ℎ=5，则a=−1，故B错误；

若ℎ=6，则a=−136.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键．先判断抛物线经过点A、C，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出平移后的抛物线的解析式，令x=0，得到解析式纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得结论．

【解答】

解：∵A(2,1)，B(4,3)在直线y=x−1上，∴A或B是抛物线的顶点，∵B(4,3)，C(4,−1)的横坐标相同，∴抛物线不会同时经过B，C点，∴抛物线过点A和C，把A(2,1)，C(4,−1)代入y=ax2+bx−1，

得∴二次函数为y=−1∵顶点始终在直线y=x−1上，∴抛物线向左、向下平移的距离相同，∴设平移后的抛物线为y=−12(x−2+m)2+1−m，∴抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为−12，

故选7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了抛物线的形状与系数的关系，本题用交点式比较容易解．

根据抛物线y=ax2+bx+c的形状与抛物线y=−2x2相同，得到a=−2；根据y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(−1,0)，(3,0)，利用交点式求表达式即可．

【解答】

解：根据题意a=−2，

所以设y=−2(x−x1)(x−x28.【答案】B

【解析】解：由题意，当二次函数开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大．

当1<x1<x2时，(x2−x1)(y2−y1)>0，

∴x2−x1>0．

∴y2>y1．

∴当x>1时，y随x的增大而增大．

当1<x1<9.【答案】D

【解析】解：∵函数y=12(x−2)2+1的图象过点A(1,m)，B(4,n)，

∴m=12(1−2)2+1=32，n=12(4−2)2+1=3，

∴A(1,32)，B(4,3)，

过A作AC/​/x轴，交B′B的延长线于点C，则C(4,32)，

∴AC=4−1=3，

∵曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，

∴AC⋅AA′=3AA′=9，

∴AA′=3，

即将函数y=12(x−2)2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一个新函数的图象，

∴新图象的函数表达式是y=1210.【答案】A

【解析】由抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的纵坐标为−6，得c=−6，∴A(−2,6)．∵点A向右平移8个单位长度得到点A′，∴A′(6,6)．∵A与A′两点均在抛物线上，∴4a−2b−6=6,36a+6b−6=6,解得a=1,b=−4,故抛物线的表达式是y=x11.【答案】C

【解析】解：将(−1,−3)，(1,5)代入y=ax2+bx+2得−3=a−b+25=a+b+2，

解得a=−1b=4，

∴y=−x2+4x+2=−(x−2)2+6，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,6)，

∴①错误，②正确．

∵点A坐标为(0,2)，

∴点B坐标为(4,2)，③错误．

∵0<x1<1，4<x2<5，

12.【答案】B

【解析】解：将(−1,−1)，(0,3)，(1,5)分别代入y=ax2+bx+c，

得a−b+c=−1c=3a+b+c=5,

∴abc=−9<0，故①正确；

当x>32时，y随x的增大而减小，当1<x<32时，y随x的增大而增大，故②错误；

方程ax2+(b−1)x+c=0可化为−x2+2x+3=0，

解得x=−1或x=3，

∴3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根，故③正确；

不等式ax2+(b−1)x+c>0可化为−x2+2x+3>0，

解得−1<x<3，故④正确，

综上所述，正确的结论有①③④．

故选B．

本题主要考查二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质．

待定系数法求得二次函数的解析式，即可得a、b、c的值，可判断①13.【答案】②④

【解析】【分析】将点

A、B、C

的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为

y=x−4x+3,

画出函数图象，进而求解．【详解】将点

A、B、C

的坐标代入抛物线表达式得

c=34a+2b+c=−116a+4b+c=3

，解得

a=1故抛物线的表达式为

y=x−4x+3,

函数图象如下：①a=1>0,

，故抛物线开口向上，故①错误，不符合题意；②抛物线开口向上，顶点为

2,−1∴当

x=2

时，y取最小值

−1

，故②正确，符合题意；③∵函数的最小值为

−1

，故

m≤−1

时，直线

y=m

和

y=ax+bx+c

有一个或没有交点，故一元二次方程

ax+bx+c=m

无解或有两个相等实根，故③错误，不符合题意；④观察函数图象，直线

y=kx+ck≠0

经过点

A,B

当

kx+c>ax+bx+c

时，

x

的取值范围是

0<x<2,

故④正确，符合题意；故答案为：②④．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式(组)和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．14.【答案】

y=x2+4

(【解析】【分析】根据二次函数的性质，二次项系数大于0，常数项为4即可．【详解】解：由题意可得函数表达式为

y=x2+4

(故答案为：

y=x2+4

(【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记

a>0

时，抛物线开口向上；

a<0

时，抛物线开口向下，是解题的关键．15.【答案】y=−x【解析】【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a<0，与y轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可．【详解】∵抛物线开口向下，并且与y轴交于点(0,1)∴二次函数的一般表达式

y=ax2+bx+c

中，a<0∴二次函数表达式可以为：

y=−x2+2x+1

(【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与y轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系是解题的关键．16.【答案】y=x【解析】解：∵抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=−12，

∴−b2×1=−12，

解得：b=1，

∴y=x2+x，

17.【答案】解：根据题意知，抛物线的顶点坐标为(2,−设抛物线解析式为y=a(x−2)将点(0,−4)代入，得：解得：a=−所以抛物线的解析式为y=−

【解析】由二次函数当x=2时，有最大值是−2，得到二次函数的顶点坐标为(2,−2)，设出二次函数的顶点式方程，将(0,−此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．18.【答案】解：(1)将点(0,−3)和(3,0)分别代入y=a(x−1)2+ℎ，得

−3=a(0−1)2+ℎ0=a(3−1)2+ℎ．

解得a=1ℎ=−4．

所以a=1，ℎ=−4．

(2)由(1)知，该抛物线解析式为：【解析】(1)利用待定系数法确定函数关系式；

(2)根据平移规律“上加下减，左加右减”写出新抛物线解析式．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．19.【答案】解：抛物线的对称轴为x=3+(−1)2=1，

则抛物线的顶点坐标为

(1,4)，

设解析式为

y=a(x−1)2+4，

由于抛物线过点

(3,0)，

则

a(3−1)2+4=0，

【解析】本题考查二次函数的图象，待定系数法求二次函数的解析式．

求出抛物线对称轴，得出顶点坐标为(1,4)，可设二次函数的解析式为y=a(x−1)2+420.【答案】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为C(3,6)，

∴可设抛物线顶点式为y=a(x−3)2+6，

将点B(0,3)代入顶点式得3=a(0−3)2+6，

解得a=−13，

∴y=−13(x−3)2+6=−13x2+2x+3；

(2)△BCD是直角三角形，理由如下：

∵直线AB过点B(0,3)，

∴设直线AB的解析式为y=kx+3，

∵点A是对称轴与x轴的交点，

∴A(3,0)，

把点A(3,0)代入y=kx+3，

则0=3k+3，

解得k=−1，

∴直线AB的解析式为y=−x+3，

联立y=−x+3y=−13x2+2x+3,

解得x1= 0y1=3,x2=9y2=−6,

∴D(9,−6)，

∴BC2=(3−0)2+(6−3)2=18，BD2=(9−0)2+(−6−3)2=162，CD2=(9−3)2+(−6−6)2=180，

∴CD2=BC2+BD2，

∴△BCD是直角三角形；

(3)存在，点P的坐标为(15,0)，(−3,0)或(0,−15)．

①当点P在x轴上时，设P(x,0)，

∴BD2=162，BP2=x2+【解析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的逆定理，给勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质，能够利用勾股定理逆定理，证明△BCD是直角三角形是解题的关键．

(1)由题意可设抛物线顶点式为y=a(x−3)2+6，然后将点B(0,3)代入求解即可；

(2)先求出直线AB的解析式，然后联立直线AB的解析式和抛物线的解析式得出点D的坐标，最后利用勾股定理证明即可；

(3)分两种情况讨论：①当点P在x轴上时，②当点P21.【答案】解：(1)由已知表中的数据可分析出，此二次函数图象的对称轴为x=3，顶点坐标为(3,−2)，

设二次函数的表达式为y=a(x−3)选点(1,0)代入，得4a−2=0，解得a=12

∴

所求二次函数表达式为y=12(2)由二次函数对称轴为直线x=3，

∴二次函数图象上与(0,52(3)当y=0时，结合图表可知x=1或x=5，

∵抛物线开口向上，

∴当y>0时，x<1或x>5．

【解析】本题考查由二次函数的对应数值求函数的表达式，同时考查二次函数的对称性、增减性.此题还考查了学生根据二次函数的性质观察数据、运用数据的灵活性．22.【答案】解：(1)由已知表中的数据可分析出，此二次函数图象的对称轴为x=−1，顶点坐标为(−1,−4)，

可设二次函数的表达式为y=a(x+1)选点(0,−3)代入，解得a=1，

∴所求二次函数表达式为y=(x+1)2−4(2)由二次函数对称轴为直线x=−1，∴距离对称轴距离为4的点的横坐标为x=−5或x=3，将x=3代入抛物线中，得y=3∴距离对称轴距离为4的点为(−5,12)，(3,12)．(3)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，∴当−2<x