2025年春湘教版数学八年级下册教学课件 2.5.2 矩形的判定

第2章四边形2.5矩形5.5.2矩形的判定湘教版

八年级数学（下）导入新课

工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具(卷尺和量角器)，他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？如图，四边形ABCD

的四个角都是直角.由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD

是平行四边形.所以□ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形.动脑筋探究新知矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也是直角，由此得到：三个角是直角的四边形是矩形.矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？两个角是直角的四边形不是矩形.从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？动脑筋在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB.(SSS)∴∠ABC=∠DCB.又∵∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=90°.∴

□ABCD是矩形.你能证明：对角线相等的平行四边形是矩形吗？对角线相等的平行四边形是矩形.对角线相等的四边形是矩形吗？等腰梯形对角线相等的四边形不一定是矩形.议一议如图，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？∴AC与DB相等且互相平分.∴△OBC是等腰三角形.解

（1）∵□ABCD是矩形，应用举例如图，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？（2）∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，∴AC=2OC=2OB=BD.∴

□ABCD是矩形.证明：∵四边形ABCD

的内角和为360°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∴四边形

ABCD是矩形.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，

求证：四边形ABCD是矩形.【教材P62】练习解：∵

AB=2，AO=AC=2，∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形.∴BO=2，BD=2BO=4.∴AC=BD.∴□ABCD是矩形.在Rt△ABC

中，BC=∴□ABCD的面积为.【教材P62】2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，AC=4，求□ABCD的面积.课堂小结有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.运用定理进行计算和证明矩形的判定定义判定定理随堂练习如图，在□ABCD中，M

为AD

的中点，BM=CM，求证：四边形ABCD是矩形.解：∵M为AD的中点，∴AM=DM.又AB=DC，BM=CM，∴△MAB≌△MDC,∴∠A=∠D

．在□ABCD中，∠A=∠BCD，∠D=∠ABC,∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠D．∵□ABCD的内角和为360°.∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°.∴四边形ABCD

是矩形.2.如图，三角形ABC

是直角三角形，BO

是它斜边AC

上的中线，延长BO至D，使OD=OB，连接AD，DC.求证：四边形ABCD

是矩形.【教材P64】解：∵AO=OC，BO=OD，且AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，∴四边形

ABCD是平行四边形.又BO=AC，∴AC=2BO=BD.∴四边形ABCD

是矩形.解:如右图所示，连接BE.因为AD

＝4

cm,设AE＝x

cm,则DE＝(4－x)cm.又因为EF是BD的垂直平分线,所以BE＝DE

＝(4－x)cm.在矩形ABCD中,∠A＝90°,在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE2＋AB2＝BE2，3证明:在□ABCD

中,因为AB∥CD,所以∠ABC＋∠BCD＝180°.又因为BH

平分∠ABC,CH平分∠BCD,所以∠HBC＝∠ABC,∠HCB＝∠BCD,所以∠HBC＋∠HCB＝∠ABC＋∠BCD＝×180°＝90°.所以∠BHC＝90°.同理可证:∠HEF＝∠EFG

＝90°.所以四边形EFGH是矩形.4证明:因为四边形ABCD是矩形,所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝BD.又因为E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,所以OE＝OA,OF＝OB,OG＝OC,O