浙江省杭州东方中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

浙江省杭州东方中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高二（1）班一、选择题（共10题，每题5分）要求：从每题的四个选项中选出正确答案。1.已知函数f(x)=2x-3，则f(-1)的值为：A.-5B.-1C.1D.52.在等差数列{an}中，若a1=2，公差d=3，则第10项an的值为：A.29B.30C.31D.323.已知圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，则该圆的半径为：A.1B.2C.3D.44.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，则向量a与向量b的点积为：A.20B.24C.28D.305.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且a>0，则下列说法正确的是：A.b>0B.b<0C.c>0D.c<06.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为：A.1B.2C.3D.47.在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数为：A.45°B.60°C.75°D.90°8.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an=2an-1+1，则数列{an}的通项公式为：A.an=2^n-1B.an=2^n+1C.an=2^n-2D.an=2^n+29.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)的零点为：A.1B.2C.3D.410.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的图像为：A.V形B.W形C.M形D.无规则形状二、填空题（共10题，每题5分）要求：将答案填入横线上。1.若等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，则第n项an=_______。2.已知圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，则该圆的圆心坐标为_______。3.向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为_______。4.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且a>0，则f(x)的顶点坐标为_______。5.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的图像在x轴上的交点为_______。6.在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则三角形ABC的面积S为_______。7.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an=2an-1+1，则数列{an}的前n项和Sn=_______。8.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)的导函数f'(x)=_______。9.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的图像在x轴上的对称轴为_______。10.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且a>0，则f(x)在x轴上的截距为_______。三、解答题（共5题，每题15分）要求：写出解答过程，步骤要清晰。1.已知函数f(x)=2x^2-3x+1，求f(x)的图像的顶点坐标和对称轴。2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an=2an-1+1，求Sn的表达式。3.已知圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，求该圆的半径和圆心坐标。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的图像在x轴上的交点。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的导函数f'(x)。四、证明题（共1题，20分）要求：写出证明过程，步骤要清晰。已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an=2an-1+1，证明数列{an}是等比数列。五、应用题（共1题，20分）要求：写出解答过程，步骤要清晰。已知某工厂生产一批产品，每天生产x个产品，总成本为y元。根据调查，当每天生产100个产品时，总成本为5000元；当每天生产200个产品时，总成本为8000元。求每天生产多少个产品时，总成本最低，并求出最低总成本。六、拓展题（共1题，10分）要求：写出解答过程，步骤要清晰。已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的图像在x轴上的截距。本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：将x=-1代入函数f(x)=2x-3，得到f(-1)=2(-1)-3=-5。2.C解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得到an=2+(10-1)×3=2+27=29。3.C解析：将圆的方程配方，得到(x-2)^2+(y-3)^2=4，圆心坐标为(2,3)，半径为2。4.B解析：向量a与向量b的点积为a·b=2×4+3×6=8+18=26。5.C解析：函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)，由于a>0，顶点在y轴上方，因此c>0。6.B解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2时取得最小值，即f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3+0=3。7.C解析：三角形内角和为180°，∠A+∠B+∠C=180°，代入∠A=45°，∠B=60°，得到∠C=180°-45°-60°=75°。8.A解析：根据递推关系an=2an-1+1，可以推导出an=2^n-1。9.B解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2x的零点为x=1，因为f(1)=1^3-3×1^2+2×1=1-3+2=0。10.A解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像为V形，因为|x-1|和|x+2|分别代表x到1和-2的距离。二、填空题1.an=3+(n-1)×2=2n+1解析：根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，得到an=2n+1。2.圆心坐标为(2,3)解析：将圆的方程配方，得到(x-2)^2+(y-3)^2=4，圆心坐标为(2,3)。3.向量a与向量b的夹角余弦值为1/2解析：向量a与向量b的夹角余弦值为a·b/(|a|·|b|)，代入a=(2,3)，b=(4,6)，得到1/2。4.顶点坐标为(3/2,-1/4)解析：函数f(x)=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)，代入a=2，b=-3，c=1，得到(3/2,-1/4)。5.交点为(1,0)和(-2,0)解析：令f(x)=0，解得x=1和x=-2，因此交点为(1,0)和(-2,0)。6.三角形ABC的面积S为(3√3)/4解析：三角形ABC的面积为S=(1/2)×BC×AB×sin∠C，代入BC=3，AB=2，∠C=75°，得到S=(3√3)/4。7.数列{an}的前n项和Sn=2^n-1解析：根据递推关系an=2an-1+1，可以推导出Sn=2^n-1。8.导函数f'(x)=3x^2-6x+2解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导函数为f'(x)=3x^2-6x+2。9.对称轴为x=-1解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像在x轴上的对称轴为x=-1。10.总成本最低为4000元，当生产200个产品时解析：根据题目信息，总成本y与生产的产品数量x的关系为y=10x+5000，当x=200时，y=10×200+5000=7000，因此最低总成本为4000元。三、解答题1.顶点坐标为(3/2,-1/4)，对称轴为x=3/2解析：函数f(x)=2x^2-3x+1的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)，代入a=2，b=-3，c=1，得到顶点坐标为(3/2,-1/4)。对称轴为x=-b/2a，代入a=2，b=-3，得到对称轴为x=3/2。2.Sn=2^n-1解析：根据递推关系an=2an-1+1，可以得到Sn=a1+a2+...+an=(2^1-1)+(2^2-1)+...+(2^n-1)=2^(n+1)-n-2。3.半径为2，圆心坐标为(2,3)解析：将圆的方程配方，得到(x-2)^2+(y-3)^2=4，圆心坐标为(2,3)，半径为2。4.交点为(1,0)和(-2,0)解析：令f(x)=0，解得x=1和x=-2，因此交点为(1,0)和(-2,0)。5.导函数f'(x)=3x^2-6x+2解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导函数为f'(x)=3x^2-6x+2。四、证明题解析：已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an=2an-1+1，要证明数列{an}是等比数列。证明：（1）当n=1时，a1=1，成立。（2）假设当n=k时，ak=2^(k-1)成立。（3）当n=k+1时，ak+1=2ak+1=2×2^(k-1)+1=2^k+1，成立。因此，数列{an}是等比数列。五、应用题解析：已知某工厂生产一批产品，每天生产x个产品，总成本为y元。根据题目信息，当每天生产100个产品时，总成本为5000元；当每天生产200个产品时，总成本为8000元。（1）建立成本函数：y=