教案椭圆定义及其标准方程

高中数学椭圆定义及其标准方程万源市第三中学校王尚莲一、教学门标使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用.掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、标准方程.掌握直接法求曲线方程，培养学生数形结合数学思想，提高分析问题的能力.营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学.引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美.培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦.发展数学的应用意识，认识数学的应用价值.二、 教学重点和难点教学重点：椭圆的定义及其标准方程的推导（通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点）.教学难点：椭圆概念的形成.通过椭圆的画法设计，标准方程与圆的比较突破难点.三、 教学过程设计1、设置情景，导入新课玻璃餐桌玻璃餐桌椭圆是由圆压扁得到的吗?让学生观察上面的图片，说说这些图片有什么共同点，得出本节课的主题椭圆.2、 引导探究，获得新知问题1：我们看到第四张图片•，椭圆是不是由圆压扁得到的呢？它和圆有关系吗？（让学生讨论这个问题，并抽一些同学说说讨论的结果.）为了解决这两个问题，先给出一种画椭圆的方法：取一•条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的乌和％两点（如下图），当绳长大于K和％的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆.我们来看一看椭圆和圆的画法.（找两个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆，之后用几何画板演示画圆的过程和画椭圆的过程）.问题2：这椭圆是怎么画出来的啊？（让学生讨论回答）.问题3：从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢？（可以提问,也可以集体回答・）（D4,%点固定，是定点・（2）MF}+MF2就是细绳的长度.我们来看，因为Fe，M三个点是构成的是一•个三角形所以MF】+MF2大于|F『2|的长度.让学生根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来・（引导学生概括椭圆的定义）椭圆的定义：平面内到两定点4,灼的距离之和等于常数（大于尚灼|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.下面我们来看看，MF】+MF2小于等于的长度时，M点的轨迹是什么情况呢？（学生思考）结论：若常数等于|F£|,则是线段入己；若常数小于|F£|,则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：此常数大于|^^|.（强调MR+ML是定长但是大于|F禹|）3、 深入探索，推导方程接下来你们试试推导椭圆的方程？（简单回顾求圆方程的方法和步骤）（1） 建立适半的坐标系，用有序实数对（、,），）表示曲线上任意一点沏的坐标；（2） 写出适合条件P（M）;（3） 用坐标表示条件P（M）,列出方程；（4） 化方程为最简形式.第一步，该如何建立坐标系呢？（学生会说出不同的方案，选取下列方案）

（方案二）MX以两定点q,%的直线为X轴，线段的垂直平分线为），轴，建立直角坐标系.（老师在黑板上画出适当的图，如下图） A（方案二）MX（方案一）这样建系很合理.建立坐标系后的片匕坐标分别是氏（-c,O）,%C,O）,原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；（一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.）为了后面化简方便，我们这里把定长定为2。•下面列出方程：临互亍奇+底寻77=2。让学生将方程化为最简形式.为使方程对称和谐而引入方，同时/，还有几何意义，下节课还要讲.因为a＞c,所以令b2=a2-c2,TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2其中人〉o代入上式，得4+-4=i（。对＞。）因此，我们将方程二+二=icTb~ cT（"对〉0）叫作椭圆的标准方程，焦点坐标F,（-c,0）,F2（c,0）,其中c2=“2_/,2.那么用方案二建立坐标系的话，椭圆的方程该怎样写呢？（让学生思考）只需要将2 2号，互换就可以了,应写成与+与=1（。对＞0）同样有c2=a2-b2.4、指导应用，鼓励创新例1:已知&C是2个定点，BC=10,JI\ABC的周长等于22,求顶点A满足的—个轨迹方程.例2:下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是（ ）. 2 4+m24-m例3：求适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴经过点P（-3,0）,Q（0,-2）；⑵长轴长等于20,焦距16.随堂练习：1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点和顶点坐标.①尤2+4）,2=]6 ②9/+）,2=18课后探索一嫦娥奔月（1）.2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实现第二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210公里，远月点高度约8600公里，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道.己知月球半径约3475公里，试求“嫦娥”二号卫星运行的轨迹方程.（2）.我们假设地球是个球体,半径是6371千米，而且知道“东方红一号”的近地点：430千米；远地点：2075千米，你们能建个坐标系，求出“东方红一号”运行轨道的标准方程吗？5、小结本堂内容定义椭圆是平面内与两定点F”F?的距离的和等于常数（大于"『J）的点的轨迹.标准方程2 2与+谷=1(。〉人〉0)a2b22 2•,+ =1(0〉Z?>0)CTD图▲Jy4形J一JpxM焦点坐标F】(-c,O),F2(c,O)乌（O,-c、）,F2（O,c、）a.b.c之间的大系c2=2j2a-